Rapide révision de l’algèbre linéaire, Examens de Probabilités et statistiques
Caroline_lez
Caroline_lez7 février 2014

Rapide révision de l’algèbre linéaire, Examens de Probabilités et statistiques

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Notes sur les probabilités et les statistiques concernant une révision de l’algèbre linéaire. Notions élémentaires de probabilités. exercices, les solutions du système d’équations linéaires, la méthode de Gauss-Jordan.
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ACT 2121 - Actuariat I

Rapide révision de l’algèbre linéaire

Professeur : Jacques Labelle

Le concept le plus important en algèbre linéaire est celui de matrice (de nombres réels).

Définition Pour n ≥ 1 et m ≥ 1, des entiers, une matrice n×m (lire n par m) est un tableau de nm nombres réels placés en n lignes toutes de longueur m (ou m colonnes de longueur n).

On écrit A = [aij ]1≤i≤n 1≤j≤m

(et on dit que A est de format n×m). On a aussi :

A =

 a11 a12 · · · a1m a21 a22 · · · a2m ...

... ...

an1 an2 · · · anm

 . Il existe une algèbre dite matricielle : où un scalaire c fois la matrice A, et la somme

A + B de deux matrices A et B de même format, sont définis par :

cA = [caij ] et A + B = [aij + bij ].

Pour A et B de format m× r et r× n respectivement, on définit la matrice produit A×B (de format m× n) par : A×B = [cij ], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, où cij =

rk=1

aikbkj .

C’est dire que pour pouvoir multiplier A par B, il faut que r (le nombre de colonnes ou

encore la longueur des lignes de A) soit aussi le nombre de lignes ou la longueur des colonnes de

B.

Noter que même pour des matrices carrées n par n, on n’a pas toujours A × B = B × A. (La multiplication matricielle n’est pas commutative).

Voyons maintenant cinq problèmes typiques d’algèbre linéaire où les matrices sont utilisées.

I. La résolution d’un système d’équations linéaires avec la méthode de réduction de

Gauss.

II. La résolution d’un système d’équations linéaires avec la méthode de réduction de

Gauss-Jordan.

III. L’inversion d’une matrice carrée.

IV. Le calcul de probabilités dans un châıne de Markov grâce aux puissances de sa matrice

de transition.

1

V. Le calcul du nombre de chemins dans un graphe orienté grâce aux puissances de la

matrice d’adjacence.

Pour I, II et III, nous prendrons des exemples provenant du livre : « Advanced Mathematics for engineering » par L.D. Kovach.

I) Trouver les solutions du système d’équations linéaires :

2x1 4x2 + x3 = 0 x1 + x2 + 4x3 = 5 ()

3x1 + x2 3x3 = 1

Solution

En posant A =

 2 4 11 1 4 3 1 3

 , X =  x1x2

x3

 , B =  05 1

, on peut écrire simplement () par A · X = B. La matrice dite augmentée est 2 4 1 01 1 4 5

3 1 3 1

 . On fait des opérations-ligne sur la matrice augmentée pour la rendre échelonnée.

Opérations-ligne :

– intervertir deux lignes ;

– remplacer la ligne li par cli où c &= 0 ; – remplacer la ligne li par li + clj où i &= j.

 2 4 1 01 1 4 5 3 1 3 1

  1 1 4 52 4 1 0

3 1 3 1

  1 1 4 50 6 7 10

3 1 3 1

  1 1 4 50 6 7 10

0 2 15 16



 1 1 4 50 1 76 106 0 2 15 16

  1 1 4 50 1 76 106

0 0 383 38 3

  1 1 4 50 1 76 106

0 0 1 1

 (matrice dite échelonnée) i.e

x1 + x2 + 4x3 = 5

x2 + 7 6 x3 =

10 6

x3 = 1

2

Jusqu’ici c’est la méthode de Gauss.

Maintenant, on résout successivement :

x3 = 1, x2 + 7 6

· 1 = 10 6

=⇒ x2 = 36 = 1 2

x1 + 1 2

+ 4 = 5 =⇒ x1 = 12 La seule solution est (x1, x2, x3) =

( 1 2 ,

1 2 , 1

) .

II. Avec la méthode de Gauss-Jordan, on continue : 1 1 4 50 1 76 106 0 0 1 1

  1 0

17 6

20 6

0 1 76 10 6

0 0 1 1

  1 0 0

3 6

0 1 76 10 6

0 0 1 1

  1 0 0

1 2

0 1 0 12 0 0 1 1

 (matrice échelonnée réduite)

D’où l’on trouve : x1 = 12 , x2 = 1 2 , x3 = 1.

Soit A une matrice carrée n× n et In =

 1 0 · · · · · · 0 0 1 · · · · · · 0

· · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · 1

 la matrice identité. L’inverse A−1 de A est la matrice (si elle existe A est dite inversible) telle que

AA−1 = In = A−1A

Dans tout bon cours d’algèbre linéaire, on apprend qu’à une matrice carrée A, on peut

associer un nombre, noté dét A, (et appelé le déterminant de A). La matrice A est inversible

si et seulement si dét A est non-nul.

III. Trouvons A−1 pour A =

 1 1 12 1 2 3 2 1

. Solution :

[A : I3] =

 1 1 1 1 0 02 1 2 0 1 0 3 2 1 0 0 1

  1 1 1 1 0 00 3 0 2 1 0

0 5 4 3 0 1

  1 0 1

1 3

1 3 0

0 1 0 23 13 0 0 0 4 13 53 1



 1 0 1 1 3

1 3 0

0 1 0 23 13 0 0 0 1 112 512 14

  1 0 0

5 12 112 14

0 1 0 23 13 0 0 0 1 112 512 14

 = [I3 : A−1] .

3

D’où A−1 = 112

 5 1 38 4 0 1 5 3

 . Pour résoudre : x1 − x2 + x3 = b1

2x1 + x2 + 2x3 = b2 3x1 + 2x2 − x3 = b3

.

Posons A =

 1 1 12 1 2 3 2 1

 , X =  x1x2

x3

 et B =  b1b2

b3

 . On a A · X = B ⇐⇒ A−1AX = A−1B ⇐⇒ X = A−1B.

Comme A−1 = 112

 5 1 38 4 0 1 5 3

 ; la solution est : X =  x1x2

x3

 = 

5 12b1 − b212 + b34 23b1 + 13b2

1 12b1 +

5 12b2 14b3

 . Autre exemple : (un système dit homogène (i.e. les bi sont tous nuls)).

x1 2x2 + 2x3 = 0 2x1 + x2 2x3 = 0 3x1 + 4x2 6x3 = 0

3x1 11x2 + 12x3 = 0

 1 2 2 2 1 2 3 4 6 3 11 12

 

1 2 2 0 1 65 0 0 0 0 0 0

 D’où x1 2x2 + 2x3 = 0 et x2 65 x3 = 0. En posant x3 = k (une constante quelconque), on trouve x2 = 65k et x1 =

2 5k.

L’ensemble solution est : { k

( 2 5 ,

6 5 , 1

) | k est une constante}. C’est une droite passant par l’origine dans R3.

Pour IV voici l’exemple du gars saoul qui quitte un bar à 3 hres a.m. et “titube aléatoirement”

(un déplacement aux 15 minutes) selon la châıne de Markov suivante :

4

P =



0 12 0 1 2 0 0 0 0 0

1 3 0

1 3 0

1 3 0 0 0 0

0 12 0 0 0 1 2 0 0 0

1 3 0 0 0

1 3 0

1 3 0 0

0 14 0 1 4 0

1 4 0

1 4 0

0 0 13 0 1 3 0 0 0

1 3

0 0 0 12 0 0 0 1 2 0

0 0 0 0 13 0 1 3 0

1 3

0 0 0 0 0 12 0 1 2 0



(la matrice de transition)

Si on calcule l’entrée 1-5 de P 2, on trouve la probabilité que le gars saoul se retrouve au

sommet 5 à 3h30 a.m. (Soit 16 + 1 6 =

1 3).

Si on calcule (P 2)(P 2) = P 4 (deux multiplications) alors l’entrée 1-9 nous donne la proba-

bilité qu’il soit chez lui à 4hres a.m.

De même (P 4)(P 4) = P 8 a pour entrée 1-1 la probabilité qu’il soit revenu au bar à 5hres a.m. !

(possiblement pour la quatrième fois).

Pour V, si on remplace dans P toutes les probabilités par 1 (et les zéros restent des zéros),

on obtient la matrice d’adjacence M du graphe orienté des déplacements possibles (à chaque 15

minutes).

M =



0 1 0 1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0 1 0

0 0 1 0 1 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 1 0 1 0



(la matrice d’adjacence)

L’entrée i-j de Mn est alors le nombre de chemins (différents) de longueur n du ie au je

sommet.

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