Sciences Math - exercices 5, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur la fonction logarithme népérien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coordonnées, les images.
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[ Baccalauréat C juin 1975 Tel Aviv \

EXERCICE 1

1. Résoudre dans R l’équation tg 4x + tg x = 0, x étant l’inconnue.

2. Donner l’expression de tg 2x en fonction de tg x, puis celle de tg 4x en fonction de tg x.

3. Résoudre dans R l’équation y4−10y2+5= 0.

4. En utilisant les trois questions précédentes donner des valeurs numériques

approchées de tg (

k π

5

)

, pour k = 1, 2, 3, 4.

(Le candidat indiquera éventuellement l’instrument - règle ou table - qu’il a utilisé pour faire le calcul demandé.)

EXERCICE 2

1. Donner une définition de la fonction logarithme népérien.

2. Montrer que, quels que soient les réels a et b tels que 0< a < b. on a

1

b (ba)<

b

a

1

t dt <

1

a (ba).

3. Montrer que pour tout entier strictement positif n on a

1

n+1 < Log (n+1)−Logn <

1

n

(Le symbole Log désigne le logarithme népérien.)

4. Déduire de ce qui précède que

Log (n+1)< 1+ 1

2 +

1

3 + . . .+

1

n .

5. Donner une valeur de n pour laquelle

1+ 1

2 +

1

3 + . . .+

1

n > 10.

PROBLÈME

Soit un plan affine P rapporté au repère (

O, −→

ı , −→

)

; on considère l’application T de

P dans P qui à chaque point M(x ; y) fait correspondre le point M ′ (

x′ ; y ′ )

par les relations :

{

x′ = a+αx+βy

y ′ = b+γx+δy

(a, b, α, β, γ, δ sont des réels).

Partie A

1. Montrer que l’application T est définie par la donnée des images des trois points O(0 ; 0), A (1 ; 0) et B (0 ; 1).

Terminale C A. P. M. E. P.

2. On considère le point C(c ; d) et on donne les images par T des trois points O, A et C.

Peut-on ainsi définir T quel que soit le point C choisi dans le plan ?

3. À quelle condition la donnée de trois points du plan et de leurs images définit- elle une application affine de ce plan dans lui-même ? Pouvait-on le prévoir ?

Partie B

1. Écrire la condition pour que T ait un point invariant et un seul. Écrire les conditions pour que T ait une droite de points invariants.

2. a. On donne les images O′(m ; n), A′(2 ; 3) et B′(2 ; 5) des trois points O, A, B.

Discuter suivant la position du point O′ dans le plan le nombre de points invariants de l’application T ainsi définie.

b. Répondre à la même question lorsque, A′ restant inchangé, on prend le point B′ de coordonnées (2 ; 7). Montrer que, dans ce cas-là, si O′ décrit une droite Ω l’application T admet une droite ∆ de points invariants et que cette droite ∆ passe par un point fixeω lorsque O′ décritΩ.

Partie C

Plus généralement on choisit O′(m ; n), A′(2 ; 3) et B′(p ; q) comme images de O, A et B.

1. Écrire la condition liant les coordonnées de O′ et B′ pour que T n’ait pas un point double unique.

2. Cette condition étant réalisée, montrer que O′ doit être choisi sur une droite fixeΩ si l’on veut que T possède une droite ∆ de points invariants.

3. O′ étant choisi surΩmontrer que B′ doit être pris sur une droiteD parallèle à Ω pour que T ait une droite ∆ de points invariants.

Le point O′ peut-il être pris quelconque surΩ ?

4. Unedroite quelconqueduplanpeut-elle être unedroite∆pour un choix conve- nable de O′ et de B′ ?

Tel Aviv 2 juin 1975

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