Sciences Math - exercices 7, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 400. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les paires d’entiers strictement positifs, la fonction numérique f de la variable réelle x, le corps...
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1975 Toulouse \

EXERCICE 1

1. Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 400.

2. Soit a et b deux entiers naturels strictement positifs, d leur plus grand com- mun diviseur. Trouver une condition nécessaire et suffisante liant les nombres

a

d et

b

d pour que d soit égal à ab.

3. Trouver les paires d’entiers strictement positifs dont le plus grand commun diviseur est la différence des deux entiers et dont le plus petit commun mul- tiple est 400.

EXERCICE 2

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par

f (x) = ex x−1 pour x < 0 f (x) = 0 pour 06 x < 1

f (x) = Log x

x pour x > 1

1. Montrer que f est continue et dérivable pour x = 0. En est-il de même pour x = 1 ?

2. Etudier les variations de cette fonction et tracer sa courbe représentative dans

un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

.

PROBLÈME

Soit C le corps des complexes. On note z = x− iy le conjugué du nombre complexe z = x+ iy .

Partie A

C est un espace vectoriel sur R. On le rend euclidien en le munissant du produit scalaire défini dans la base (l, i) pour les deux vecteurs quelconques z = x + iy et z = x′+ iy ′ par

< z, z ′ >= xx′+ y y ′.

Il est orienté par la base orthonormée directe (1, i).

1. Résoudre dans le corps C l’équation

z2−2iz−2= 0

Soit z1 la solutiondont la partie réelle est positive, z2 l’autre solution. Calculer :

z1+ z2, zz2, z 8 1 ,

(

z2 )10

Terminale C A. P. M. E. P.

2. On considère l’endomorphisme ϕ de l’espace vectoriel C déterminé par :

ϕ(1)= z1, ϕ(i)= z 2

Montrer que ϕ est le composé d’une homothétie vectorielle par une rotation vectorielle que l’on précisera.

3. On considère l’endomorphisme ψ de l’espace vectoriel C déterminé par :

ψ(1)= z1, ψ(i)= z 2

Caractériser ψ comme composé de deux transformations simples.

Partie B

On associe à C le plan affine euclidien P muni de repère orthonormé (

O, −→

u , −→

v )

: à

tout point M de P de coordonnées (x ; y) est associé le nombre complexe z = x+ iy , appelé affixe deM .

1. Soit g l’application de P dans P qui au pointM d’affixe z associe le point g (M) d’affixe −z. Caractériser g .

2. On considère l’application affine f de P dans P, qui au point M de coordon- nées (x ; y) associe f (M) de coordonnées (X ; Y ) où

{

X = −x+ y −1 Y = x+ y

Caractériser f , préciser ses éléments remarquables.

3. Étudier l’application affine h = g f : nature, éléments remarquables.

On vérifiera que, si M a pour coordonnées (x ; y), son image M ′ par h a pour coordonnées

(

x′ ; y ′ )

avec

{

x′ = xy +1 y ′ = x+ y

4. On se propose d’étudier la nature de la courbe (C ) de P admettant pour équa-

tion cartésienne dans le repère (

O, −→

u , −→

v )

:

x2+ y2−2xy + x−3y = 0.

Dans ce but,

a. Déterminer l’équation cartésienne de la courbe (

C ′ )

image de (C ) par h. (

C ′ )

est une parabole dont on précisera le foyer F′, la directrice ∆′ et le sommet S ′.

b. En déduire une définition géométrique de la courbe (C ). Préciser ses élé-

ments, la construire dans le repère (

O, −→

u , −→

v )

.

Toulouse 2 juin 1975

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