Sciences mathématique - Contrôle 19, Exercices de Algèbre linéaire
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 May 2014

Sciences mathématique - Contrôle 19, Exercices de Algèbre linéaire

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Sciences mathématique - Contrôle 19. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercices communs.
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Olympiades académiques 2008

Première S mars 2011

Olympiades académiques de mathématiques

1. Exercices communs 3 1-a : Zone Europe-Afrique-Asie : Le singe sauteur. 3 1-b : Zone Europe-Afrique-Asie : Les essuie-glaces. 3 1-c : Zone Océanie : Suite de nombres + 5 1-d : Zone Océanie : La pelouse arrosée 6 1-e : Zone Amériques-Caraïbes : Découpage d’un triangle 6 1-f : Zone Amériques-Caraïbes : Les k-nombres + 7 1-g : Correction : le singe sauteur 7 1-h : Correction : les essuie-glaces 8

2. Amiens 9 2-a : La carte au trésor (non S) 9 2-b : La famille Dupont (non S) 9 2-c : On dérive, on dérive … (S) 9 2-d : La cigale et la fourmi (S) 10

3. Besançon 10 3-a : L’énigme du puzzle (S) 11 3-b : Une corde tout autour de la Terre ! (S) 11

4. Bordeaux 12 4-a : La Fourmi (tous) 12 4-b : C’est gothique (non S) 12 4-c : Viva la Geometria… (S) 13

5. Caen 14 5-a : Calculs en base 8 (S) + 14 5-b : Le réseau informatique (autres que S) + 14 5-c : Mélange de cartes (tous) 15

6. Clermont Ferrand 16 6-a : Code confidentiel (tous) 16 6-b : L’élection du consul de l’Empereur (S) 17 6-c : Tous divisibles par 222 … ou plus (non S) 17

7. Corse 17 7-a : Les carrés « Hénatéleutes » 17 7-b : Chasse au trésor 18

8. Créteil 19 8-a : Partages quasi-équitables (non S) 19 8-b : Les trois dés (tous) 19 8-c : Racines millésimées (S) 20

9. Dijon 20 9-a : Des complices (tous) 20 9-b : Théorème de Pick - Polygones entiers (S) 21 9-c : Jardin à la française (autres que S) 21

10. Grenoble 21 10-a : Promenade dans les aires (tous) 21 10-b : Quel dé choisir ? (non S) 22 10-c : Des nombres qui volent - Conjecture de Syracuse (S) 22

11. Guadeloupe 23 11-a : Le retour du naturel 23 11-b : Géométrie élémentaire 23

12. Guyane 24 12-a : Les mots transformés 24 12-b : Assemblages 24

13. La Réunion 24 13-a : Carrés réunionnais ? (tous) 24 13-b : Cercles tangents (S) 25 13-c : Nombres triangulaires (non S) 26

14. Lille 26 14-a : Au bowling (non S)+ 26 14-b : Les triangles de Lorie Gamy (S)+ 27 14-c : Des couples parfaits (tous)+ 28

15. Limoges 29 15-a : Grille logique ! (tous) 29 15-b : Auto-référence (S) 29 15-c : Les nombres belges (non S) 30

16. Lyon 30 16-a : Carrés et cubes (tous) 30 16-b : Le café de Julie (tous) 30

17. Marseille 31 17-a : Des travaux coûteux (tous)+ 31 17-b : Le solitaire (S) 31 17-c : L’algorithme de Prabekhar (autres que S) + 33

18. Martinique 33 18-a : Jeux de cubes 33 18-b : Jeu de billes 33

19. Montpellier 33 19-a : L’argent de poche (S)+ 33 19-b : La parabole et le triangle rectangle (S)+ 34 19-c : L’argent de poche (autres que S) 34 19-d : Les cartes (autres que S) 34

20. Nancy-Metz 35 20-a : Petites boîtes (tous) 35 20-b : Fonctions (S) 35 20-c : Les bassins (non S) 35

21. Nantes 36 21-a : Terminaison (S) 36 21-b : Paradoxe de Bertrand (S)+ 36 21-c : Nombres sympas (non S) 38 21-d : Grilles (non S) 39

22. Nice 40 22-a : Algorithme (S) + 40 22-b : The Sheep and the Eagle (tous) + 41 22-c : Distances (autres que S) 41

23. Orléans Tours 42 23-a : Marelle cyclique (tous) 42 23-b : Un triangle équilatéral inscrit …(tous) 43

24. Paris 44 24-a : Des bâtons et des pavés (tous) 44 24-b : À la baguette (tous) 44

25. Poitiers 44 25-a : Racines (tous) 44 25-b : Isocoupes (tous) 45

26. Reims (*) 45 26-a : Remplissage par un gel (tous) 45 26-b : Carré grécolatin (non S) 46 26-c : Découpage d’un rectangle (S) 47

27. Rennes 47 27-a : Les Desirus Algebricus (tous)+ 47 27-b : Le jeu de Bruno (S) 47

28. Rouen 48 28-a : Plage et parasols (S) 48 28-b : Fort de café (tous) 49 28-c : Nombres égyptiens (non S) 50

29. Strasbourg 50 29-a : Partir de 1 (S) 50 29-b : Un tour de magie (S) 50 29-c : Code de CB (non S) 51 29-d : Coloriages, carré et quadrillage (non S) 51

30. Toulouse 51 30-a : L’immeuble (non S)+ 51 30-b : Le Mathothon en Borelie (non S)+ 52

30-c : Interdiction de doubler (S) 52 30-d : Tableaux de Hadamard (S) 52

31. Versailles 53 31-a : Fabrique de triplets (S-STI) + 53 31-b : Billard dans un angle (S-STI) 54

31-c : Loto (non S-STI) 54 31-d : Somme et produit se ressemblent (non S-STI)+ 54 31-e : Creusez (Olympiades quatrième) 54

http://www.animath.fr/spip.php?article149

Les sujets des académies accompagnées de (*) ne me sont pas connus.

1. Exercices communs

1-a : Zone Europe-Afrique-Asie : Le singe sauteur.

J’ai un petit singe sauteur qui passe son temps à faire des bonds sur une demi-droite graduée en choisissant d’aller vers l’avant ou vers l’arrière.

Le nombre n est dit atteignable si le singe peut, en partant de l’origine (position d’abscisse 0), atteindre la position d’abscisse n en exactementn bonds successifs (en avant ou en arrière) de longueurs 1, 2, …, n (effectués dans cet ordre) et sans jamais sortir du segment [0 ; n].

Par exemple : Le nombre 1 est atteignable en un bond.

Mais le nombre 2 ne l’est pas car, après avoir fait le bond de longueur 1 (qu’il est obligé de faire vers l’avant), s’il fait un bond de longueur 2 en avant ou en arrière il sort de l’intervalle [0 ; 2].

Le nombre 3 n’est pas atteignable pour une autre raison :après avoir fait un bond de longueur 1 et un autre de longueur 2 vers l’avant, il est obligé de faire un bond de longueur 3 vers l’arrière (sinon il sort de l’intervalle [0 ; 3]) et se trouve sur le nombre 0 au lieu de 3.

Questions

1. Montrer que le nombre 4 est atteignable et ceci d’une seule façon.

2. Montrer que le nombre 5 n’est pas atteignable.

On peut montrer de la même façon que les nombres 6, 7 et 8 ne sont pas atteignables ; ce résultat est admis.

3. Le nombre 9 est-il atteignable ?

Pour la suite, on rappelle que, pour tout nombre entier m, on a : ( 1)

1 2 3 .... 2

m m m

      .

4. Montrer que tous les nombres entiers qui sont des carrés sont atteignables.

a. Montrer que si le nombre entier n est atteignable alors le produit ( 1)n n est divisible par 4. En déduire une

condition sur l’entier n pour qu’il soit atteignable.

b. La réciproque de cette proposition est-elle vraie ?

6. On suppose 6N  et atteignable par une séquence qui commence par 1+2+3 …

Montrer que N + 4 est aussi atteignable.

1-b : Zone Europe-Afrique-Asie : Les essuie-glaces.

Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes.

On se propose de calculer l’aire de la surface essuyée par plusieurs modèles de balais d’essuie-glace d’un véhicule. On considèrera que les pare-brises sont des surfaces planes.

1. Un premier véhicule est équipé d’un seul balai porté par une tige métallique de 60 cm, modélisée par un segment [OB]. Soit A le point de [OB] tel que OA = 15 cm. Le balai en caoutchouc est alors modélisé par le segment [AB] (voir figure 1 ci-dessous).

Déterminer la valeur exacte de l’aire de la surface essuyée par le balai, en admettant que celui ci décrit autour du point Oun angle de 180°. En donner une valeur arrondie au cm2 près.

Fig. 1

2. Le pare-brise d’un second véhicule possède deux essuie-glaces modélisés par deux segments [OB] et [O’B’] de même longueurR, l’un tournant l’un autour d’un point O, l’autre autour d’un point O’, tels que OO’ = R (voir figure 2 ci-après).

Ces balais en caoutchouc couvrent la longueur totale de chaque segment. L’extrémité de chaque segment décrit un demi-cercle au-dessus de la droite (OO’).

Déterminer l’aire de la surface du pare-brise essuyée par les balais.

Fig. 2

3. Un troisième véhicule est équipé d’un essuie-glace dont le support métallique est modélisé par la réunion de deux segments (voir la figure 3 ci-dessous) : un segment [AB], qui porte le balai en caoutchouc sur toute sa longueur, et

un segment [OC] qui relie le centre de rotation O à un point C du segment [AB] tels que OCA = 30°, CB = 4CAet

OC = 3 CA . On pose CA = a.

Fig. 3

a. Démontrer que le triangle AOC est isocèle.

b. Lorsqu’il essuie le pare-brise du véhicule, l’essuie-glace tourne autour du point O. En début de course le balai en caoutchouc est en position horizontale : les points A, B et C coïncident respectivement avec les points M, N et Pdu pare-brisetels que [MN] est horizontal (voir la figure 4 ci-dessous).

En fin de course A, B, C coïncident respectivement avec les points M’, N’ et P’ du pare-brise tels que le segment [OM’] est horizontal.

Déterminer l’angle a dont a tourné le dispositif autour du point O pour passer d’une position à l’autre, puis exprimer en fonction de a l’aire de la surface essuyée par le balai.

Fig. 4

1-c : Zone Océanie : Suite de nombres +

L’exercice consiste à étudier les nombres obtenus en partant du nombre 1 par une succession d’étapes, de la manière suivante : un nombre obtenu à l’une des étapes est remplacé à l’étape suivante soit par sa moitié (étape codée M) soit par son complément à 1 (étape codée C). Ainsi par exemple :

- la première étape consiste toujours à passer de 1 soit à 1

2 (étape M) soit à 0 (étape C) ;

- la succession d’étapes M puis M puis C puis M, notée MMCM, conduit au nombre 3

8 par le chemin

1 1 3 3 1

2 4 4 8     ;

- à partir du nombre 3

8 on peut obtenir, à l'étape suivante, soit

3

16 (étape M) soit

5

8 (étape C).

1. Quels sont les nombres obtenus après chacune des successions :

a. CMM (C puis M puis M) ?

b. MMMCM (M puis M puis M puis C puis M) ?

c. CCCCCC ?

2. Donner tous les nombres que l'on peut obtenir au bout de 3 étapes, puis de 4 étapes.

3. Montrer que tous les nombres obtenus, au bout d’un nombre quelconque d’étapes, sont dans l’intervalle [0 ; 1].

4. Écrire, dans les trois cas suivants, une succession d'étapes permettant d’obtenir les nombres indiqués :

a. 8

3

2 ; b.

253

256 ; c.

2011

2011

2 .

5. Soient n et N deux entiers naturels tels que N est impair et N < 2n.

Écrire un algorithme permettant d’atteindre le nombre 2n N

en un nombre fini d’étapes. Conclure.

1-d : Zone Océanie : La pelouse arrosée

Un jardinier doit arroser une pelouse, assimilée à un quadrilatère convexe ABCD

quelconque (voir la figure ci-contre pour un exemple).

Pour cela, il place un arroseur automatique à chacun des milieux I, J, K et L des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].

La portée du jet de l’arroseur situé en I

est de mesure AB

2 . Le jet commence par

arroser le segment [IA], puis il pivote de 180° pour arroser le segment [IB] ; chacun des trois autres arroseurs est réglé de manière analogue. Les quatre arroseurs arrosent ainsi quatre demi- disques.

1. Montrer que, dans le cas d’une pelouse de forme carrée, toute la surface est arrosée.

2. Est-ce encore vrai dans le cas général ?

1-e : Zone Amériques-Caraïbes : Découpage d’un triangle

Partie A

Soit ABC un triangle rectangle en B, tel que l’angle en A mesure 60°. On supposera de plus que l’aire du triangle ABC est 2.

1. Justifier que la longueur AB vaut 2

3 .

On propose ci-dessous trois découpages, le long d’une ligne en pointillé, du triangle ABC en deux parties de même aire :

découpage 1 découpage 2 découpage 3

Dans les découpages 1 et 2, les lignes (en pointillé) [DE] et [BF] sont des segments.

Dans le découpage 3, la ligne (en pointillé) GH est un arc de cercle de centre A.

2. Déterminer les longueurs des segments [DE] et [BF] et la longueur de l’arc GH . Parmi ces trois lignes, quelle est la plus courte ?

3. Proposer un autre découpage du triangle ABC en deux parties de même aire par une ligne de longueur inférieure aux trois lignes précédentes.

Partie B

Deux demi-droites d’origine A forment un angle aigu  .

Sur les trois figures ci-dessous, la ligne en pointillé délimite entre les demi-droites une surface d’aire de mesure 1.

Les lignes (en pointillé) de longueur f et g sont des segments, la ligne de longueur h est un arc de cercle de centre A.

1. Montrer que h < f (on pourra utiliser le résultat suivant, admis : pour un angle aigu non nul, dont la mesure  est exprimée en radian, alors tan  ).

2. Montrer, de même, que h < g.

3. Un triangle est d'aire de mesure 2 et d'angles de mesures 40°, 60° et 80°.

Proposer, en utilisant l’une des trois méthodes précédentes, un découpage en deux parties de même aire par une ligne la plus courte possible. Préciser la longueur de la ligne obtenue.

1-f : Zone Amériques-Caraïbes : Les k-nombres +

Pour un entier 2k  fixé, on appelle k-nombre tout entier relatif N pouvant s’écrire sous la forme

1 2 3 4 ...N k      .

Exemples :

- si k = 2 les 2-nombres sont 1 – 2 = –1 et 1 + 2 = 3 ;

- si k = 3, les 3-nombres sont 1 –2 – 3 = –4,1 + 2 –3 = 0,1 –2 + 3 = 2 et 1 + 2 + 3 = 6.

Dans cet exercice on pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant :  1

1 2 3 ... 2

k k k

      .

1. a. Donner la liste des 4-nombres rangés par ordre croissant.

b. Le nombre 11 est-il un 5-nombre ?

2. a. Exprimer, en fonction de k,le plus grand k-nombre et le plus petit k-nombre.

b. Quel est le plus petit entier 2k  tel que 51 soit un k-nombre ?

3. a. Pour un entier 2k  fixé, montrer que tous les k-nombres ont la même parité (tous pairs ou tous impairs).

b. Déterminer les entiers 2k  pour lesquels les k-nombres sont impairs.

4. Pour k = 2 et k = 3 on peut remarquer que l’écriture de tout k-nombre N sous la forme 1 2 3 4 ...N k      est unique.

a. Préciser toutes les valeurs de k pour lesquelles cela est le cas.

b. Peut-on trouver un entier k pour lequel il existe un k-nombre N admettant au moins 2011 écritures différentes sous la forme 1 2 3 4 ...N k      ? (on pourra évaluer, pour k fixé, le nombre d’écritures possibles donnant des k-nombres et par ailleurs majorer le nombre de k-nombres.)

1-g : Correction : le singe sauteur

1. Le nombre 4 est atteignable car 1 + 2 – 3 + 4 = 4.

2. Le singe n’a pas le choix : 1 + 2 – 3 + 4 et … il est bloqué !

3. Le nombre 9 est atteignable car on a 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 = 9, sans jamais sortir de l’intervalle [0 ; 9].

4. Les exemples précédents traitent les carrés 4 et 9. Le cas échéant la recherche pour 16 peut donner

1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 + 10 – 11 + 12 – 13 + 14 – 15 + 16,

en remarquant que l’on ne sort jamais de l’intervalle [0 ; 16]. L’observation des sommes produites peut amener la solution générale :

2 21 2 3 ..... ( 1) ( 2) ( 3) ( 4).......... ( 1)n n n n n n n               

2 2( 1) ( 1)1 1 1 .................. 1

2 2 2

n n n n n n n

           ,

d’où n2 est atteignable.

Les seules difficultés sont le comptage des termes valant 1 et la vérification du fait que l’on reste bien dans [0 ; n2].

5. Si le nombre n est atteignable, il existe des ai valant 1 ou –1 tels que 2 3 11 2 3 ...... ( 1) 0na a n a       .

Dans cette somme on sépare les termes positifs dont on note la somme S+ des termes négatifs dont on note la somme S–. On a alors : S+=S–.

On calcule ensuite 1 2 3 ....... ( 1) 2n S S S          , on en déduit que ( 1)

2 2

n n S

  soit ( 1) 4n n S  et donc

4 divise le produit  1n n  . n est donc de la forme 4k ou 4k+1 : par exemple 18 n’est pas atteignable.

La réciproque est fausse puisque 5 n’est pas atteignable.

6. L’idée est de transformer une configuration de signes + – en – +, cela va ajouter 2 au nombre N.

Ensuite on complète par la suite –(N+1) + (N+2) – (N+3) + (N+4) et on trouve N+4.

On note S(i) la somme partielle des i premiers termes.

Remarquons que la séquence donnant N se termine par –(N–1)+N. La séquence commence par 1+2+3 et le premier signe – apparaît en position i+1.

Alors  1S i i  car  3 4S  . On change alors la sous-séquence  1i i  en  1i i   , ce qui est possible.

On ajoute alors la séquence –(N+1) + (N+2) – (N+3) + (N+4), ce qui assure que N+4 est atteignable.

1-h : Correction : les essuie-glaces

1. L’aire demandée en cm2 est    2 2 2 2 31 .60 .15 15 4 1 .15 3375. 2 2 2 2

         A , soit en valeur approchée

5301 cm2.

2. Soit C l’intersection des deux demi-cercles. Calculons L’aire du triangle équilatéral OO’C de côté de

longueur R, et donc de hauteur 3

2 R :

A1= 21 3 3

2 2 4 R R R      

  .

Calculons l’aire du secteur angulaire d’angle 'O OC de

mesure 3

 en radians, qui est aussi celle du secteur

angulaire d’angle 'COO : 2

2 6

R A

  .

Ainsi l’aire de le portion de plan limitée par la corde [OC] et l’arc OC sera : 2 1A A .

L’aire de la portion de plan commune aux deux demi-disques sera donc A = A2 + A2 – A1 = 2 A2 – A1.

Donc 2 23 3

3 4 A R R

   . L’aire essuyée par les deux balais est donc celle d’un cercle de rayon R privée de A3 soit

2 2 2 23 2 3

3 4 3 4 R R R R

  

              

    A et donc 2

2 3

3 4 R

       

A .

3. a. 1

sin sin 30 2

OCH    donc 1

2

OH

OC  soit

1 3

2 OH a . De même

3 cos 30

2

HC

OC    donc HC =

3 3 3

2 2 a a .

Enfin d’après le théorème de Pythagore dans le triangle HOA rectangle en H on a :

  22 2 2

22 2 2 2 23 3 3

2 2 4 4

a a a OA HA HO HC CA HO a a a

                    

.

Ainsi OA = OC et donc le triangle AOC est isocèle.

b. L’angle dont a tourné le dispositif est la mesure de l’angle 'MOM . En degré elle vaut 180 XOM avec X comme

sur le dessin. Or les angles XOP et OPM sont alternes-internes et le triangle MOP est isocèle ; on en déduit donc

que 2 30 60MOX     : l’angle géométrique 'MOM a pour mesure 180–60= 120°.

La portion de plan essuyée est celle qui est limitée par les segments [MN] et [MN’] et les arcs

'MM et 'NN .

Soient T et T’ les intersections du cercle de centre O passant par M et les segments [ON] et [ON’].

Le cercle étant invariant par la rotation et le segment [ON] ayant pour image [ON’], T a donc pour image T’ ; les points M, T, N ont respectivement pour images M’, T’ et N’ et la conservation des aires par rotation montre que la portion de plan limitée par [MN], [NT] et l’arc

MT a la même aire que celle

limitée par [MN’], [NT’] et

l’arc ' 'M T .

On peut dire aussi que le système étant rigide, les triangles OMP et OMP’ sont isométriques.

Ainsi la portion essuyée a la même aire que celle qui est limitée par les segments [NT] et [NT’] et les arcs de cercle

'NN et 'TT .

L’aire de cette portion de plan est donc    2 2 2 21 . . 3 3

ON OT OB OA

    A ; or 2 2OA a et d’après le

théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OBH,

  2 2

22 2 2 2 2 23 3 3 1214 31 2 2 4 4

a a OB OH HB OH HC CB a a a

                           

L’aire cherchée est donc  2 2 2 231 30 10 3 3

a a a a  

    A , soit 210 aA .

2. Amiens

http://pedagogie.ac-amiens.fr/maths/culture/olympiades/

2-a : La carte au trésor (non S)

Une carte indique qu’un trésor est situé dans un terrain rectangulaire à 1260 m d’un coin, à 320 m du coin opposé et à 1120 m d’un troisième coin.

À quelle distance du quatrième coin se trouve-t-il ?

2-b : La famille Dupont (non S)

Au trente-septième étage d’une tour vivent vingt personnes réparties dans huit appartements disposés comme ci-contre :

Les heureux élus qui ont vue à l’Est, sur le stade, sont, hélas deux fois moins nombreux que ceux dont la vue, au sud, donne sur l’usine d’incinération, mais deux fois plus nombreux que ceux qui, au nord, font face à la prison.

Quant à ceux qui regardent à l’ouest, exactement le tiers de ceux qui font face au sud, ils peuvent se distraire avec l’animation du centre commercial.

Aucun appartement n’est vide ; en revanche, les Dupont, qui sont l’unique famille nombreuse de l’étage, se trouvent à l’étroit dans leur F4.

Au fait, quel appartement habitent les Dupont et combien sont-ils ?

2-c : On dérive, on dérive … (S)

Combien de solutions réelles négatives l’équation 4 3 25 4 7 4 0x x x x     possède-t-elle ?

On pourra étudier les variations d’une certaine fonction … et utiliser la calculatrice.

2-d : La cigale et la fourmi (S)

La Cigale, chantant tout l’été, part tous les matins du sommet A d’un cube (où elle habite) et se déplace d’un sommet à l’autre, en empruntant à chaque sommet, une autre arête au hasard.

Pour varier ses inspirations musicales, la Cigale ne repasse jamais par une arête déjà empruntée (même dans le sens inverse), mais peut repasser par un sommet déjà emprunté.

Partie I : Une courte promenade d’été

On étudie le cheminement de la Cigale sur 4 sommets consécutifs.

Une promenade est codée par la donnée dans l’ordre des sommets atteints : ABCD, ADCG, …

1. Déterminer toutes les promenades possibles de la Cigale (on pourra s’aider d’un arbre).

Promenade

D ------- ABCD

C …

B F …

A …

2. a. Quelle est la probabilité qu’elle finisse sa promenade chez elle en A ?

b. Quelle est la probabilité qu’elle finisse sa promenade chez sa voisine la Fourmi en G ?

Partie II : « La Cigale, ayant chanté tout l’été, se trouva fort dépourvue quand la bise fut venue :

Pas un seul petit morceau de mouche ou de vermisseau.

Elle alla crier famine chez la fourmi sa voisine (en G),

la priant de lui prêter quelque grain pour subsister jusqu’à la saison nouvelle … »

La Cigale (qui part de A) n’a pas le sens de l’orientation et se déplace toujours au hasard sur les arêtes du cube comme en été, sans emprunter un chemin par lequel elle est déjà passée.

Elle continue ainsi son chemin jusqu’à ce qu’elle arrive chez la Fourmi ou qu’elle se trouve bloquée …

1. Lors de son excursion sur le cube, la Cigale peut-elle passer trois fois par un même sommet ?

2. Dans la suite de l’exercice, on suppose que la Cigale commence par se rendre en B. Déterminer alors tous les chemins possibles de la Cigale.

3. La Cigale a-t-elle plus de chance de se retrouver bloquée sans pouvoir avancer ou de trouver la maison de la Fourmi en G ?

4. La bise soufflant, il faut une heure à la Cigale pour parcourir une arête d’un sommet à l’autre. Elle est donc arrivée en B en 1 heure. Quelle est la probabilité qu’elle arrive chez sa voisine :

a. en 4h exactement ?

b. en 5h exactement ?

c. en 6 heures ou plus ?

d. sans repasser par un sommet déjà emprunté ?

3. Besançon

http://artic.ac-besancon.fr/mathematiques/Olympiades-1S/index.htm

3-a : L’énigme du puzzle (S)

Dans un carré de côté c, on construit un puzzle de quatre pièces comme tracé ci-dessus.

On a donc c a b  .

On essaie alors d’assembler les quatre pièces en un rectangle comme tracé ci-dessous.

Le rectangle souhaité aura donc pour longueur 2L a b  et

pour largeur l a .

$1$ Pièce n° 1

Pièce n° 2

Pièce n°3

Pièce n° 4

a + b a

a

a + ba

$1$ Pièce n° 1

Pièce n° 2

Pièce n°3

Pièce n° 4

a

b

a

b

1. a. Reproduire les deux dessins avec 5 cma  et 3 cmb  .

b. Le puzzle est-il exact (c’est-à-dire à l’aide des pièces du carré initial, assemble-t-on exactement un rectangle) ? Justifiez votre réponse.

2. On suppose dans cette question que le puzzle est exact.

a. Trouver une relation liant a et b. On pourra raisonner sur l’aire du rectangle à reconstituer.

b. Déterminer quelle(s) valeur(s) peut alors prendre le quotient a

b .

Les mathématiciens ont montré qu’il n’existe pas de solution exacte au puzzle si on veut que les côtés soient tous des nombres entiers.

3. On recherche donc des couples  ,a b d’entiers pour lesquels le puzzle est satisfaisant visuellement sans être

parfaitement exact.

Une solution  ,a b est dite « presque exacte » si 2 2a ab b  vaut 1 ou –1.

a. Le puzzle réalisé en question 1.a. est-il presque exact ?

b. Démontrer que si  ,a b est une solution presque exacte, alors  ,a b a est aussi une solution presque exacte.

c. Trouver ainsi quelques solutions presque exactes.

3-b : Une corde tout autour de la Terre ! (S)

R

h

Terre corde

Tour

sommet de la tour

corde

Terre

A

B

Figure 1 Figure 2

Dans cet exercice on estimera la circonférence de la Terre à 40 000 km.

On tend une corde tout autour de la Terre (celle-ci est supposée parfaitement sphérique).

Question 1 (cf. Figure 1)

De quelle longueur faut-il allonger la corde pour pouvoir à présent la fixer au sommet de piquets d’un mètre de haut répartis tout autour de la Terre (on suppose que la forme de la corde reste circulaire).

Question 2 (cf. Figure 2)

La corde ayant été ainsi rallongée, on décide de supprimer les piquets et de tendre à nouveau la corde autour de la Terre. On arrime alors la corde au sommet d’une tour.

Quelle est la hauteur de la tour, sachant qu’aux points de contact A et B, la corde est tangente au cercle ?

Indications pour la question 2 : noter O le centre du cercle, S le sommet de la tour et  la moitié de l’angle au

centre AOB .

a. Calculer la longueur de chacun des deux segments  AS et  SB en fonction de  .

b. Calculer en fonction de  la longueur de l’arc de cercle d’extrémités A et B où la corde reste en contact avec la

Terre.

c. En déduire une équation vérifiée par l’angle  .

d. On admettra que l’angle  est suffisamment petit pour utiliser l’approximation :   3

tan 3

    .

En déduire, à l’aide de votre calculatrice, une valeur approchée de l’angle  et finir l’exercice.

4. Bordeaux

http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/elv/jeux/olymp/olymp.html

4-a : La Fourmi (tous)

(inspiré du rallye de la fête des maths –Lyon1993)

Le plan est rapporté à un repère ( ; , )O i j .

Une fourmi se promène sur ce plan de la façon suivante : lorsqu’elle repart d’un point de coordonnées  ;x y

elle était arrêtée, elle marche en ligne droite jusqu’au point de coordonnées  3 ; 7x y x ky   où k est un nombre

entier fixé pour toute la promenade.

1. On prend k = 1.

a. La fourmi part du point A(1 ; 1) et fait trois déplacements. Dessiner son trajet. Sur quel point arrive-t-elle ?

b. De quel point doit partir la fourmi pour arriver en trois déplacements sur le point B(16 ; 0) ?

2. Sur quel point doit se placer la fourmi pour ne pas bouger quelle que soit la valeur de k ?

3. On prend k = 2.

a. La fourmi part du point A(1 ; 1) et fait trois déplacements. Dessiner son trajet. Sur quel point arrive-t-elle ?

b. Est-ce que la fourmi revient toujours à son point de départ au bout de trois déplacements ?

4. Pour quelle(s) valeur(s) de k la fourmi se retrouve t-elle à son point de départ en trois déplacements quel que soit son point de départ ?

4-b : C’est gothique (non S)

Le professeur d’Arts Plastiques a demandé à ses élèves de dessiner une croix stylisée incluse dans un carré ABCD de 10 cm de côté.

On rappelle que l’aire d’un triangle est donnée par la formule A= 2

base hauteur

1. Olivia a choisi le motif suivant où I, J, K et L sont les milieux des côtés et P un point quelconque intérieur au carré que l’on a joint aux points A, I, B, J, C, K, D et L.

Calculer en cm2 l’aire de la partie noire du dessin.

2. Ivan a préféré ce motif où :

- P est un point intérieur au carré,

- les droites (KG), (IE), (FJ) et (HL) passent toutes par P,

- (KG) est parallèle à (DC), (EI) est parallèle à (AD),

- (FJ) et (HL) sont les bissectrices des secteurs EPG et

EPK ,

- DI < DK < 5.

On pose DI = x et DK = y.

Calculer en cm2 l’aire de la partie noire du dessin.

4-c : Viva la Geometria… (S)

ABC est un triangle équilatéral.

On se propose de construire P intérieur au triangle tel que

1 3 PB= PA et PC= PA

2 2 .

Première partie

On suppose que le point P placé sur la figure satisfait à ces deux conditions.

On désigne par r la rotation de centre C et d’angle 60°. Q est l’image de P par r.

1. Démontrer que le triangle BPQ est rectangle en P. En déduire que le triangleBQC est rectangle en Q, puis que le point P est sur le cercle de diamètre [AC].

2. I est le milieu de [BQ], J celui de [AB].

a. Démontrer que le triangle PIC est rectangle en P. En déduire l’alignement des points A, P et I.

b. Justifier que P est le centre de gravité du triangle ABQ. En déduire l’alignement des points Q, P et J.

c. Justifier que le point P est sur le cercle de diamètre [BJ].

Deuxième partie

ACB triangle équilatéral.

J est le milieu de [AB] ; P le point d’intersection, autre que J, des cercles de diamètre [AC] et [BJ]. Q est l’image de P par la rotation r de centre C et d’angle 60°.

On se propose de prouver que P vérifie bien les deux

conditions 1 3

PB= PA et PC= PA 2 2

.

1. Montrer que 30JPA   ; en déduire et BPA BPC .

En déduire la nature du triangle BPQ.

2. Justifier que le triangle BQC est rectangle en Q. En

déduire BQP .

3. En déduire que le point P vérifie les deux conditions requises.

5. Caen

http://maths.discip.ac-caen.fr/spip.php?rubrique24

5-a : Calculs en base 8 (S) +

Yohann , d’un naturel original, aime écrire les entiers sans utiliser les chiffres 8 et 9. Pour cela, il a l’habitude de décomposer un nombre en utilisant les puissances de 8.

Exemple : 1659 = 3×83 + 1×82 + 7×8 + 3.

On dit que le nombre 1659 a pour écriture 3173 en base 8 (1659 est son écriture en base 10).

De même 508 = 7×82 + 7×8 + 4 donc le nombre 508 a pour écriture 774 en base 8.

Réciproquement le nombre 131 écrit en base 8 devient 1×82 + 3×8 + 1 = 89 en base 10.

D’une manière générale, dire que l’entier x a pour écriture 1 2 1 0...n na a a a a en base 8 signifie que

2 1 0 1 2 18 8 ... 8 8

n n n nx a a a a a

           où 0a , 1a , …, na sont des entiers naturels strictement inférieurs à

8.

1. a. Déterminer l’écriture en base 8 du nombre 1044.

b. Déterminer l’écriture en base 10 du nombre 5432 .

2. A la manière de Yohann, poser et effectuer les calculs suivants en base 8 : 131 774 , 131 774 , 131 774 .

3. a. N est un entier naturel dont l’écriture en base 8 est 12345676543210 . N est-il divisible par 8 ?

b. Soit x un entier naturel et 1 2 1 0...n nx a a a a a son écriture en base 8.

Quelles sont les valeurs possibles de a0 pour que x soit divisible par 4 ?

c. Le nombre N défini à la question 3. a. est-il divisible par 4 ?

4. a. En remarquant que pour tout entier 1k  , le reste dans la division par 7 de 8k est toujours 1, déterminer un

critère de divisibilité par 7 d’un entier naturel x écrit en base 8.

b. Le nombre N défini à la question 3. a. est-il divisible par 7 ?

5-b : Le réseau informatique (autres que S) +

Inspiré de « Graphes à deux voix », APMEP.

Le plan d'un bâtiment comportant douze salles se présente de la façon suivante :

Le réseau informatique existant est quelque peu désordonné et, de ce fait, nécessite de relier les ordinateurs en un étrange « poste à poste ». Il a les caractéristiques suivantes :

- Des prises (symbolisées par des lettres) sont installées dans toutes les salles et toutes les prises sont opérationnelles sauf les prises B et H que l’on vient d’installer respectivement dans les salles 2 et 8, salles que l’on souhaite connecter entre elles.

- Des gaines contenant des câbles relient entre elles certaines salles de classes par les faux-plafonds ou par le sous- sol. Dans l’état actuel des choses, les salles 1 et 3 sont reliées et on note AC (ou bien CA) la liaison existante. De même, existent et fonctionnent les liaisons AD, AF, CD, CF, DE, DI, EF, EK, GI, GL, IJ, JK, KL.

- Pour l'instant, les salles 2 et 8 ne sont connectées à aucune autre. Afin de les connecter entre elles, on va devoir faire passer de nouveaux câbles dans des gaines existantes. De plus, on ne peut raccorder directement la prise B qu’à la prise A ou bien à la prise C. De même, on ne peut raccorder la prise H qu’à la prise G ou bien à la prise I.

Une entreprise a évalué le coût (main d'oeuvre et fourniture) de chaque liaison intermédiaire pour le passage de nouveaux câbles :

Liaison AB AC AD AF BC CD CF DE DI

Coût 1000 € 800 € 1200 € 700 € 1300 € 600 € 500 € 800 € 1900 €

Liaison EF EK GH GI GL HI IJ JK KL

Coût 400 € 1100 € 900 € 1000 € 500 € 1500 € 700 € 300 € 500 €

Comment l’entreprise doit-elle procéder pour relier les salles 2 et 8 afin d’effectuer les travaux à moindre coût ?

5-c : Mélange de cartes (tous)

Le principe du « mélange parfait », en magie des cartes, consiste tout d’abord à couper le jeu en 2 paquets contenant le même nombre de cartes ; on procède ensuite au mélange en intercalant exactement les cartes de chacun des paquets (c’est un geste extrêmement difficile qui nécessite, bien évidemment, beaucoup de pratique...).

Exemple de « mélange parfait » avec un jeu de 6 cartes ( la 1ère est l'as de pique et la 6ème est le 6 de pique ) :

Fig 1 : Jeu de départ Fig 2 : Division en deux

paquets de 3 Cartes Fig 3 : Cartes intercalées Fig 4 : Fin du mélange

1. a. Quelle sera la position des 6 cartes de l’exemple précédent après un deuxième mélange parfait ?

b. En combien de mélanges identiques les cartes reviendront-elles à leur position initiale ?

On utilisera pour la suite la notation suivante : Uk(x) est l’entier indiquant la position, après k mélanges, de la carte située en xième position du jeu de départ.

Ainsi, dans le mélange de 6 cartes de la question précédente U1(2)=3 signifie que la carte en 2ième position en comptant à partir de la gauche du jeu de départ (le 2 de pique, Fig 1) est, après un mélange parfait, en 3ième position (Fig 4).

2. Dans cette question, on considère que le magicien a un jeu de 16 cartes.

a. Que vaut U1(2) ? U2(2) ?

b. Quelle est la valeur minimum de l’entier k strictement positif pour que Uk(2)=2 ?

3. Dans cette question, on considère un jeu de 2n cartes, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 1.

a. Après un mélange, à quelles positions se retrouvent la première et la dernière carte du jeu ?

b. Quelle sera la position U1(x), après un mélange parfait, d’une carte située à la position x au départ ? Indication :

on pourra raisonner sur 2 paquets (premier paquet avec 1 x n  , second paquet avec 1 2n x n   ).

c. Vérifier les réponses obtenues à la question 3.a.

4. Dans cette question, on utilise un jeu de 8 cartes.

On étudie les positions successives de la carte située en 2ième position au départ.

a. En combien de mélanges revient-elle à sa position initiale ?

b. Vérifier que le même nombre de mélanges ramène également la carte située au départ en 3ème position, à sa position initiale.

5. Nous admettrons que si la carte en position 2 revient après M mélanges à sa position initiale, alors toutes les cartes du jeu sont revenues dans leur position initiale après ces M mélanges parfaits.

Écrire un algorithme permettant de savoir combien le magicien utilisera de mélanges parfaits pour revenir à l'état initial d'un jeu de 52 cartes.

Note : pour en savoir plus sur ce sujet, vous pourrez consulter le site internet du CNRS « Images des Mathématiques » http://images.maths.cnrs.fr/Melange-de-cartes-et.html

6. Clermont Ferrand

http://www3.ac-clermont.fr/pedago/maths/pages/sampleolymp1.php

6-a : Code confidentiel (tous)

On appelle code un nombre à quatre chiffres choisis dans la liste {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, chaque chiffre pouvant être répété à l’intérieur d’un même code.

Par exemple 1903 et 8855 sont des codes possibles, l’écriture générale étant abcd (on met un trait au dessus pour

ne pas confondre l’écriture du nombre avec le produit a b c d   )

À ce code est associée une clé C calculée à l’aide de l’algorithme suivant :

Entrée : N est le code à quatre chiffres

Initialisation : Affecter à P la valeur de N

Affecter à S la valeur 0

Traitement : Pour K de 1 à 4, faire :

Affecter à U le chiffre des unités de P

Si K est pair

alors affecter à S la valeur S + (K + 3)  U

sinon affecter à S la valeur S + (K + 1)  U

Fin si

Affecter à P la valeur 10

P U

Fin faire

Affecter à R le reste de la division euclidienne de S par 9

Affecter à C la valeur 9 – R

Sortie : Afficher C

Le code et sa clé constituent un identifiant permettant l’ouverture d’une salle confidentielle.

1. Faire fonctionner l’algorithme avec N = 2282 et vérifier que la clé qui lui correspond est 6.

2. Une personne s’identifie en entrant le code 4732 suivi de la clé 4. L’accès à la salle lui est refusé.

La personne est sûre des trois derniers chiffres du code et de la clé, l’erreur porte sur le premier chiffre du code (qui n’est donc pas égal à 4). Quel est ce premier chiffre ?

3. Est-il vrai que toutes les personnes ayant un code de la forme abba ont pour clé 9 ? (a et b sont des entiers tels

que 0  a  9 et 0  b  9)

4. Déterminer les couples (c ; d) d’entiers tels que les codes de la forme ccdd soient associés à la clé 4. (c et d sont

des entiers tels que 0  c  9 et 0  d  9)

6-b : L’élection du consul de l’Empereur (S)

Sur la planète Xycha, le Grand Conseil se réunit pour élire, en son sein, le consul de l’Empereur : plusieurs prétendants, d’âges deux à deux distincts, sont en présence. Chaque conseiller vote pour un prétendant et un seul : il n’y a ni abstention, ni bulletin blanc.

Un prétendant est élu au premier tour lorsqu’il obtient au moins 50 % des voix. En cas d’égalité le plus jeune est élu. Sinon un second tour sera nécessaire.

1. Vrai ou faux : dire pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

a. Si un seul prétendant se présente alors un second tour n’est pas nécessaire.

b. Si deux prétendants se présentent alors un second tour n’est pas nécessaire.

c. Si trois prétendants se présentent alors un second tour n’est pas nécessaire.

On suppose désormais que le nombre de prétendants en présence est supérieur ou égal à trois.

2. Chaque prétendant en présence au premier tour réunit exactement deux fois moins de voix que celui qui lui est immédiatement supérieur. Un deuxième tour sera-t-il nécessaire ?

3. Chaque prétendant en présence réunit exactement les trois quarts des voix de celui qui lui est immédiatement supérieur. Un deuxième tour sera-t-il nécessaire ?

On pourra utiliser la formule : si 1q  et n est entier, 1

2 11 ... 1

n n qq q q

q

     

 .

6-c : Tous divisibles par 222 … ou plus (non S)

1. En utilisant une seule fois chacun des trois chiffres 1, 2 et 3, écrire tous les nombres entiers naturels possibles de trois chiffres : 123 ; 132 ;…etc.

- Faire la somme S de tous les nombres obtenus.

- Vérifier que cette somme S est un multiple de 222.

2. Reprendre la question avec trois chiffres non nuls et distincts deux à deux de votre choix.

3. La propriété découverte à la question 1. reste-t-elle vraie quels que soient les trois chiffres non nuls distincts deux à deux choisis ? Justifier votre réponse.

4. On considère maintenant quatre chiffres non nuls et distincts deux à deux. Énoncer et démontrer une propriété analogue.

7. Corse

http://www.ac-corse.fr/math/Olympiades-2010_a83.html

7-a : Les carrés « Hénatéleutes »

(du Grec hen = un et téleute = la fin)

Dans cet exercice on s’intéresse, parmi les carrés de nombres entiers, à ceux dont le chiffre des unités dans l’écriture décimale est 1 : 1, 81, 121, …841, ... .On note E la liste ordonnée en ordre croissant de tous ces carrés.

1. Quel est le nombre suivant 841 dans la liste E ?

2. Démontrer que la différence de deux nombres quelconques de E est un multiple de 40.

3. Quel est le 2011ème nombre de la liste E.

4. Existe-il des nombres de E se terminant par 11, c'est-à-dire dont les chiffre des dizaines et des unités sont égaux à 1 ?

Solution

1. 841=292, le nombre suivant sera donc 312 soit 961.

2. Les nombres dont le carré a 1 pour chiffre des unités ont eux mêmes 1 ou bien 9 pour chiffre des unités ; ce sont donc les nombres entiers de la forme (10n+1)2 ou de la forme (10n+9)2, ou n désigne un entier naturel.

Considérons la différence de deux carrés de ce type consécutifs.

S’ils sont dans la même dizaine :

       2 2(10 9) (10 1) 10 9 10 1 10 9 10 1 8 20 10 80 2 1n n n n n n n n             

S’ils ne sont pas dans la même dizaine :

          2 2

10 11 10 9 2 10 11 10 9 2 20 20 40 1n n n n n n          

Ainsi la différence de deux éléments de E est une somme de multiples de 40 donc elle-même un multiple de 40.

3. Il y a 2 nombres dont le carré se termine par 1 dans une dizaine de 10n à 10n+9.

2010=2  1005. Donc dans les 1005 premières dizaines il y a 2010 nombres dont le carré se termine par 1. Le 2010ème est 10  1004+9=10049. Le 2011ème est 10051. Le 2011ème élément de E est donc 100512

4. Nous cherchons les carrés se terminant par 11. Ils sont de la forme 100N+11 où N est un entier naturel. Supposons qu’il existe des entiers n et N tels que

  2

10 1 100 11n N   ou   2

10 9 100 11n N  

 

 

2 2 2

2 2 2

10 1 100 11 100 20 1 100 11 10 2 10 1

10 9 100 11 100 180 1 100 11 10 18 10 1

n N n n N n n N

n N n n N n n N

           

           

On aboutit a une absurdité, 1 n’étant pas pair.

Il n’existe donc pas d’entiers de E se terminant par 11.

7-b : Chasse au trésor

Sur un terrain, symbolisé par quadrillage se trouve caché un trésor. Un chasseur de trésor fouille le terrain pour découvrir un trésor de pièces métalliques, enterré dans une des case (marquée d'un x sur l'exemple) à l’aide d’un détecteur à métaux.

Soit le détecteur est placé sur la bonne case et indique la présence du trésor dans celle-ci, soit s’il est placé sur une case où le trésor ne se trouve pas, il indique par des signaux sonores différents trois types de renseignements ( voir figure 1)

- il indique la présence du trésor dans la « zone  » si celui-ci se trouve sur une des huit cases directement adjacentes.

- ou bien il indique la présence du trésor dans la « zone  » si celui-ci se

trouve deux cases plus loin (voir l'exemple).

- ou bien il n'indique rien si le trésor est encore plus loin, et nous dirons alors qu'il est dans la « zone  ».

Ainsi lorsqu’il est au dessus d’une case le détecteur a quatre états possibles.

Fig. 1

Exemple sur un terrain de 7 7 cases où x désigne la position du trésor

Fig. 2

On cherche une stratégie permettant au chasseur de déterrer à coup sûr le trésor en un nombre de tentatives minimum.

1. On commence par un terrain carré de dimension 5  5 cases et on repère les cases où les lettres indiquent les colonnes et les nombres indiquent les lignes (voir Figure 2).

a. Reproduire et compléter le tableau suivant ( Figure 3), dans lequel on note, pour chaque case du terrain indiquée sur la première colonne du tableau, le nombre de cases se trouvant respectivement dans les zones α, β et γ.

Par exemple, la zone α de la case a1 est constituée des cases a2, b1 et b2 qui sont donc au nombre de trois.

b. On entoure, sur chaque ligne, le plus grand des trois entiers.

On appelle choix raisonnable la case du terrain 5  5 pour laquelle l'entier entouré est le plus petit possible.

Quel est l'unique choix raisonnable du tableau précédent ?

Fig. 3

c. Expliquer pourquoi il est alors possible de déterminer sans tableau supplémentaire toutes les cases du terrain 5 5 qui sont des choix raisonnables, et colorier sur le quadrillage 5  5 les choix raisonnables.

2. On décide, à la première tentative, de fouiller la case b2 et on suppose que le détecteur indique la présence du trésor dans la zone α.

Fig. 4

a. Compléter le tableau suivant ( Figure 4), construit sur le même modèle que le précédent, mais dans lequel on ne compte plus que les cases, dans chaque zone, susceptibles de contenir le trésor.

b. Indiquer dans ce cas un choix raisonnable pour la deuxième étape.

Y a-t-il un seul choix raisonnable ?

c. Poursuivre l'étude de ce cas et montrer ainsi que le trésor sera découvert en quatre tentatives maximum, quelque soit son emplacement.

3. A la première tentative, on fouille la case b2 et on suppose désormais que le trésor se trouve dans la zone γ.

Mener une étude similaire (on pourra construire un tableau contenant les cases c5, d5, e5, b4, c4 et d4) et en conclure à nouveau que la stratégie du choix raisonnable permet de découvrir le trésor en quatre tentatives maximum.

4. Terminer l'étude de la case b2 comme premier choix. On pourra présenter la stratégie complète dans un arbre à quatre lignes :

5. Est-il possible de déterrer le trésor à coup sûr en quatre tentatives si on commence par fouiller la case c2 ?

6. On considère désormais un terrain de taille nn , et on note Tn le nombre de tentatives nécessaires pour déterrer à coup sûr le trésor sur ce terrain (par exemple T5 = 4).

a. Montrer que : 161765 ≤ T2011 ≤ 162410.

b. Question pour les premières S uniquement

A l'aide d'inégalités, montrer que la suite 2

nT

n tend vers 1/25 lorsque n tend vers l'infini.

8. Créteil

http://maths.ac-creteil.fr/spip/spip.php?rubrique59

8-a : Partages quasi-équitables (non S)

Adrien veut partager ses billes entre plusieurs de ses amis (au moins deux), lui n’en gardant aucune. Il considère qu’un partage est quasi équitable si les nombres de billes reçus par deux amis quelconques ne diffèrent jamais de plus d’une unité. On appellera de tels partagesdes partages quasi équitables.

Ainsi, s’il a sept billes et les partage entre deux de ses amis, le partage quasi équitable se fera obligatoirement en 3 + 4. S’il les partage entre trois amis, le partage quasi équitable se fera en 2 + 2 + 3.

On considère comme identiques les partages 3+2+2 ; 2+3+2 et 2+2+3 et on écrira désormais chaque partage sous la forme d’une somme dont les termes sont rangés en ordre croissant.

1. Écrivez les partages quasi équitables possibles des sept billes entre quatre amis, cinq amis, six amis, sept amis.

2. Combien existe-t-il de partages quasi équitables possibles s’il veut donner 8 billes, 9 billes, 10 billes ?

3. Combien existe-t-il de partages quasi équitables possibles pour 2011 billes ? Justifier votre réponse par une démonstration précise.

8-b : Les trois dés (tous)

On lance trois fois de suite un dé non truqué dont les six faces sont numérotées 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 6.

Une issue de cette expérience aléatoire est donc un triplet  , ,a b c a est le résultat obtenu au premier lancer, b le

résultat obtenu au second lancer et c le résultat obtenu au troisième lancer.

1. Déterminer le nombre d’issues possibles pour cette expérience aléatoire.

2. Si le résultat des trois lancers est le triplet  , ,a b c , on considère l’équation ² 0ax bx c   , d’inconnue x.

Par exemple, si le résultat des trois lancers est (3, 5, 3), on considère l’équation 3 ² 5 3 0x x   .

a. 0 peut-il être une solution d’une équation ² 0ax bx c   ?

b. Justifier que quelque soit le triplet  , ,a b c , l’équation ² 0ax bx c   n’admet aucun nombre réel positif ou nul

pour solution.

c. Existe-t-il un triplet  , ,a b c pour lequel le nombre –1 soit une solution de l’équation ² 0ax bx c   ? Si oui

donner un tel triplet  , ,a b c .

Quelle est la probabilité de l’événement « –1 est solution de l’équation obtenue après le lancer des trois dés » ?

3. On souhaite construire maintenant avec le triplet  , ,a b c obtenu le triangle (éventuellement aplati) dont les

trois côtés ont pour mesures respectives a, b et c (le triplet  , ,b c a donne un autre triangle).

a. Parmi les résultats suivants, indiquer dans chaque cas si une telle construction est possible :

1. (3,5,3)

2. (2,5,2)

3. (4,2,6)

4. (6,3,5)

5. (6,1,4)

On admet qu’il y a 156 triplets  , ,a b c permettant de réaliser la construction d’un triangle, et on suppose par la

suite cette condition réalisée.

b. Quelle est la probabilité que le triangle construit soit équilatéral ?

c. Quelle est la probabilité que le triangle construit soit rectangle ?

d. Pierre pense qu’il est plus probable que le triangle obtenu soit isocèle plutôt que non isocèle. A-t-il raison ?

8-c : Racines millésimées (S)

On appelle partie entière d’un réel x, notée  E x , le plus grand entier inférieur ou égal à x, c’est-à-dire que l’on

a :

pour tout réel x,     1E x x E x   .

Par exemple :  2,4 2E  ;  2,4 3E    ;  2 1E  ;  5 5E  et   4E    .

Soit f la fonction définie pour tout réel x par   2 46 ( ) 13f x x E x   .

L’objet de cet exercice est la résolution de l’équation   0f x  notée (1).

1. Déterminer la partie entière de 2057 puis vérifier que ce réel est solution de l’équation   0f x  .

2. a. Montrer que le réel 1 n’est pas solution de l’équation   0f x .

b. Montrer que si x<1 (dans ce cas E(x)  0), l’équation   0f x n’admet pas de solution.

On note p le trinôme défini pour tout réel x par   2 46 13p x x x   .

3. a. En utilisant l’inégalité  E x x , montrer que, pour tout réel x,    p x f x .

b. En déduire que si x est un réel vérifiant :   0p x  , alors le réel x n’est pas solution de l’équation   0f x  .

4. Pour tout réel x, donner sous forme de tableau le signe de  p x .

En déduire que toute solution de   0f x  est strictement inférieure à 46.

5. a. Déduire de l’inégalité  1x E x  que, pour tout réel x,     46f x p x  .

b. Montrer alors que toute solution de l’équation   0f x  est strictement supérieure à 44 .

6. a. Quelles sont les valeurs possibles pour la partie entière des solutions de l’équation   0f x  ?

b. En déduire que l’équation   0f x  admet deux solutions, 2057 et une autre  dont on précisera la valeur

exacte.

9. Dijon

http://mathematiques.ac-dijon.fr/

9-a : Des complices (tous)

On dit que deux entiers naturels a et b sont complices s’il existe un entier naturel n tel que ab + 1 = n2.

Dans ce cas, on dit que l’entier n est associé au couple de complices (a, b).

1. Complices d’un entier.

a. Déterminer tous les couples d’entiers complices compris, au sens large, entre 0 et 10.

b. L'entier 2011 admet 2009 comme complice. Citer deux autres complices de 2011.

c. Démontrer que tout entier naturel supérieur ou égal à 3 admet au moins trois complices.

2. Couples de complices associés à un entier donné.

L’entier 100 admet plusieurs couples d’entiers complices qui lui sont associés.

Ainsi, les couples (9 ; 1111) et (11 ; 909) sont des couples d'entiers complices associés au nombre 100.

a. Démontrer que tout entier naturel n non nul admet au moins un couple de complices (a ; b) associé, c'est-à-dire tel que ab + 1 = n2.

b. Déterminer tous les couples d'entiers complices associés au nombre 2011.

9-b : Théorème de Pick - Polygones entiers (S)

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unité 1 cm, on dit qu'un point est entier si ses coordonnées sont des nombres entiers ; on dit qu'un polygone est entier si ce polygone est convexe (c'est-à-dire « sans creux ») et si tous ses sommets sont des points entiers.

Pour un polygone entier (P) on note A l'aire en cm2 de ce polygone, C le nombre de points entiers situés sur les côtés du polygone (sommets compris), et I le nombre de points entiers situés strictement à l'intérieur du polygone.

Le but de l'exercice est de déterminer une relation entre les nombres A, C et I.

1. Déterminer les nombres A, C et I dans les cas suivants :

a. (P) est le rectangle de sommet les points (0 ; 0), (10 ; 0), (10 ; 7), (0 ; 7).

b. (P) est le triangle de sommets les points (0 ; 0), (5 ; 2), (2 ; 4).

c. (P) est le pentagone de sommets les points (2 ; 0), (7 ; 1), (5 ; 5), (2 ; 5), (1 ; 4).

2. Dans cette question (P) est un rectangle entier dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées, et dont les

dimensions (en cm) sont notées n et p ( 1n et 1p  ).

Exprimer les nombres A, C et I en fonction de n et p.

En déduire une relation entre A, C et I indépendante de n et p.

3. Dans cette question (P) est un triangle rectangle entier dont les côtés de l'angle droit sont parallèles aux axes de coordonnées.

Démontrer que la relation entre A, C et I trouvée à la question 2. est encore valable pour ce triangle.

4. Montrer que si la formule précédente est valable pour deux polygones entiers ayant une frontière commune, elle est encore valable pour le polygone obtenu en éliminant entre eux cette frontière commune, à condition que ce nouveau polygone soit lui aussi convexe.

5. En déduire que la relation trouvée à la question 2 demeure vraie pour tout polygone entier.

9-c : Jardin à la française (autres que S)

La figure ci -contre représente le plan d’un jardin ABCD de forme carrée.

24 arbustes sont plantés sur le pourtour, un en chaque sommet, cinq autres sur chaque côté, régulièrement espacés.

Chaque ligne du plan est rectiligne, et a pour extrémité deux arbustes, comme sur le dessin.

Les zones blanches sont les allées, les zones sablées sont des parterres de fleurs, le quadrilatère central EFGH (en grisé) représente un bassin.

1. Les lignes (AX) et (JT) qui bordent l’une des allées sont-elles parallèles ?

2. Le bassin EFGH est il carré ?

3. Les points K, E, M sont-ils alignés ?

10. Grenoble

http://www.ac-grenoble.fr/maths/

10-a : Promenade dans les aires (tous)

Une formule simple était utilisée par les arpenteurs Egyptiens pour évaluer l’aire d’un quadrilatère :

« calculer le produit des moyennes des longueurs des côtés opposés » (formule A).

Une autre formule demande de

« calculer le demi produit des longueurs des diagonales » (formule B).

Il s’agit dans cet exercice d’étudier la validité de ces formules.

1. Pensez-vous qu’il soit possible de calculer la valeur exacte de l’aire d’un quadrilatère quelconque à l’aide des seules mesures de ses côtés ? Justifier.

2. Trouver un quadrilatère pour lequel la formule A est exacte et un quadrilatère pour lequel elle ne l’est pas. Justifier les réponses.

3. Même question pour la formule B.

4. Quels sont les rectangles pour lesquels les deux formules donnent le même résultat ?

5. Montrer que l’aire du quadrilatère est toujours inférieure ou égale au résultat trouvé à l’aide de la formule B. Dans quels cas l’égalité a-t-elle lieu ?

6. Soient Q un quadrilatère quelconque et Q’ le quadrilatère dont les sommets sont les milieux des côtés de Q.

a. Quelle est la nature du quadrilatère Q’ ? Démontrer ce résultat.

b. Comparer l’aire du quadrilatère Q’ à celle de Q.

c. En déduire que l’aire du quadrilatère Q est toujours inférieure ou égale au résultat trouvé à l’aide de la formule A. Dans quels cas l’égalité a-t-elle lieu ?

10-b : Quel dé choisir ? (non S)

Dans ce jeu, qui se joue à deux, les joueurs choisissent à tour de rôle un dé à six faces parmi les trois dés proposés ci- dessous puis les lancent en même temps.

Le gagnant est celui des deux joueurs qui obtient le résultat le plus élevé.

Dé Rouge : six faces numérotées 4 – 4 – 4 – 4 – 4 - 4

Dé Bleu : six faces numérotées 2 – 2 – 2 – 2 – 8 – 8

Dé Vert : six faces numérotées 0 – 0 – 6 – 6 – 6 – 6

Ces trois dés sont supposés équilibrés.

Le maître du jeu dit que la numérotation des faces a été faite de façon à ce que le jeu soit équitable puisque la moyenne des chiffres inscrits sur les faces est la même quelque soit le dé choisi.

Il prétend même vous avantager en vous demandant de faire votre choix en premier.

1. Quelle est la probabilité que le résultat obtenu avec le dé Bleu soit supérieur à celui obtenu avec le dé Rouge ?

2. Quelle est la probabilité que le résultat obtenu avec le dé Bleu soit supérieur à celui obtenu avec le dé Vert ?

3. Le maître du jeu vous demande de choisir un dé puis choisit le sien.

a. Montrer que quelque soit votre choix, il a plus de chance de gagner que vous.

b. La participation au jeu coûte 1 € et vous recevez 2,50 € en cas de gain. Ce jeu vous est-il favorable ?

4. Le jeu est modifié de la façon suivante : le dé vert vous est attribué et le maître du jeu tire au hasard l’un des deux dés restants.

Qui a maintenant le plus de chances de gagner ?

10-c : Des nombres qui volent - Conjecture de Syracuse (S)

Soit N un nombre entier naturel non nul. On s'intéresse à la liste de nombres, numérotés u0, u1, u2, u3, …, construite de la façon suivante :

u0 = N. Si un élément a de la liste est pair, son suivant est 2

a et s'il est impair son suivant est 3a + 1.

Ainsi, on a pour N = 5 : u0 = 5, u1 = 16, u2 = 8 , u3 = 4 , u4 = 2 , u5 = 1 , u6 = 4 , u7 = 2 …

et pour N = 7 : u0 = 7, u1 = 22, u2 = 11 , u3 = 34 , u4 = 17 , u5 = 52, u6 = 26 , u7 = 13, u8 = 40, …

1. On suppose que N = 3.

a. Déterminer les cinq premiers termes de la liste associée à ce nombre.

b. Quel est le plus petit entier m tel que um = 1 ?

c. Que peut-on dire des termes suivants ?

2. On suppose que N = 7.

a. Déterminer le plus petit entier m tel que um = 1. On dit que m est la durée de vol du nombre N.

b. Représenter graphiquement les 20 premiers termes de la liste.

On portera en abscisse l'entier i et en ordonnée le nombre ui.

c. Quel est le plus grand terme de cette liste ? Il s'agit de l'altitude maximale du vol du nombre N.

d. Quel est le plus petit entier i tel que ui+1 < N ? i est la durée de vol de N en altitude. Illustrer sur votre graphique.

3. On suppose que N = 11.

a. Quelle est sa durée de vol ?

b. Quelle est sa durée de vol en altitude ?

c. Quelle est l'altitude maximale de son vol ?

Si N est un entier naturel non nul, on dit que sa durée de vol est finie s'il existe un entier naturel m tel que um = 1.

La conjecture de Syracuse affirme que tout nombre a une durée de vol finie. Elle n'a pas été complètement démontrée à ce jour (il existe quelques nombres pour lesquels un doute subsiste).

4. On suppose que le nombre N a une durée de vol finie. Écrire un algorithme qui permette de calculer sa durée de vol.

5. Montrer que pour tout entier naturel non nul p, il existe au moins un entier N ayant une durée de vol égale à p.

6. Quels sont les nombres ayant une durée de vol en altitude nulle ?

7. Soit N un entier naturel supérieur ou égal à 2 ayant une durée de vol finie. Justifier qu'il a une durée de vol en altitude finie.

8. Soit N un entier naturel supérieur ou égal à 2, tel que :

- tout nombre entier inférieur à N a une durée de vol finie,

- N a une durée de vol en altitude finie.

Montrer que N a une durée de vol finie.

9. On peut écrire tout nombre entier naturel N sous l'une des formes 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3 avec k entier positif.

a. Montrer pour trois de ces quatre cas que le nombre N a une durée de vol en altitude finie.

b. Quels sont les nombres entiers naturels non nuls ayant une durée de vol en altitude égale à 2 ?

On démontre (ce résultat est ici admis) à partir des questions 8 et 9, que si N est un entier naturel non nul quelconque, les affirmations suivantes sont équivalentes :

a. Tout nombre inférieur ou égal à N a une durée de vol finie.

b. Tout nombre inférieur ou égal à N a une durée de vol en altitude finie.

10. a. Expliquer pourquoi, pour vérifier que les 10 000 premiers nombres entiers non nuls ont une durée de vol finie, il suffit de faire des calculs pour 2 500 nombres.

b. Écrire un algorithme qui permette, en effectuant le moins de calculs possibles, de déterminer l'entier naturel non nul inférieur ou égal à 10 000 ayant la durée de vol en altitude la plus longue. Justifier votre choix.

11. Proposer une méthode qui permette de limiter encore de façon significative les calculs à faire pour vérifier si les 10 000 premiers nombres entiers non nuls ont une durée de vol finie.

11. Guadeloupe

http://pedagogie.ac-guadeloupe.fr/mathematiques

11-a : Le retour du naturel

Dans cet exercice le mot entier désigne un entier naturel.

1. Le nombre 2011 peut-il s’écrire comme le produit de deux entiers consécutifs ?

2. Vérifier que 2070 est le produit de deux entiers consécutifs.

3. Quels sont les chiffres possibles pour le chiffre des unités du produit de deux entiers consécutifs ?

4. Combien y a t-il d’entiers inférieurs à 100, qui sont le produit de deux entiers consécutifs ?

5. Quels sont les entiers compris entre 2000 et 2100 qui sont le produit de deux entiers consécutifs ?

6. Montrer que le nombre a n’est un entier produit de deux entiers consécutifs que si 1 4a est un entier impair.

11-b : Géométrie élémentaire

Dans la figure ci-contre I est le milieu de [AB], le triangle ABE est rectangle et isocèle en E, le quadrilatère ABCD est un rectangle tel que BC=BE.

On désigne par M le point de concours des droites (IC) et (BD).

1. Quelle est la nature du quadrilatère IEBC ?

2. Que vaut le rapport BM

BD ?

3. Quelle est la nature du triangle IMB ?

12. Guyane

12-a : Les mots transformés

Une transformation sur les mots consiste à enlever les deux dernières lettres pour les placer devant dans l’ordre inverse. Ainsi par exemple, le mot JEU devient UEJ et le mot MATHS devient SHMAT.

On notera alors les résultats de ces transformations de la façon suivante :

JEU → UEJ et MATHS → SHMAT

Après un certain nombre de transformations successives, toutes les lettres reprennent leur place initiale dans le mot. Par exemple :

• Après 2 transformations, les lettres du mot JEU reprennent leur place initiale : JEU → UEJ → JEU.

• Après 6 transformations, les lettres du mot MATHS reprennent leur place initiale :

MATHS → SHMAT → TASHM → MHTAS → SAMHT → THSAM → MATHS.

1. Déterminer le nombre minimum de transformations successives nécessaire pour que les lettres des deux mots suivants reprennent leur place initiale :

a. Le mot MATHEUX

b. le mot OLYMPIADE.

2. Qu’obtient-on lorsqu’on a transformé 2011 fois successivement le mot MATHEMATIQUES ?

12-b : Assemblages

Quatre petits carrés sont assemblés pour former une pièce en forme de L (voir dessin ci-contre).

Les côtés des carrés formant le contour de la pièce sont appelés les arêtes.

Cette pièce a donc 10 arêtes.

Le jeu consiste à assembler plusieurs pièces identiques en respectant les deux règles suivantes :

Règle 1 : Deux pièces doivent avoir au moins une arête commune.

Règle 2 : L’assemblage ne doit pas avoir de « trou ».

Les pièces peuvent naturellement être retournées.

Exemples

AutoriséNon autorisé (Règle 1) Non autorisé (Règle 2)

On appelle périmètre de l’assemblage, le nombre d’arêtes formant le contour extérieur de cet assemblage. Par exemple, l’assemblage de deux pièces autorisé ci-dessus a pour périmètre 16.

Dans les questions 1 à 3, il n’est demandé aucune justification.

1. Dessiner un assemblage de périmètre 16 avec 3 pièces.

2. Dessiner un assemblage de périmètre 18 avec :

a. 2 pièces.

b. 3 pièces.

c. 4 pièces.

3. Dessiner un assemblage de périmètre 22 avec :

a. Le moins de pièces possible.

b. Le plus de pièces possible.

4. Montrer qu’il est possible de faire un assemblage de périmètre 100.

5. Quels sont les entiers qui peuvent être le périmètre d’un assemblage de telles pièces ?

13. La Réunion

http://maths.ac-reunion.fr/Concours-et-Rallyes/Olympiades-de-Mathematiques/

13-a : Carrés réunionnais ? (tous)

On écrit des entiers dans toutes les cases d’un tableau, de façon à ce qu’il y ait parmi eux au moins un entier pair et au moins un entier impair.

Exemple :

On dit que deux cases sont voisines si elles ont un côté commun : par exemple la case contenant le 17 est voisine de celle contenant le 9, mais pas de celle contenant le 6.

On fabrique ensuite un deuxième tableau à partir du premier de la façon suivante : on additionne les nombres écrits dans les cases voisines d’une case du tableau initial, et on écrit cette somme dans la case correspondante du nouveau tableau. On fait de même avec les huit autres cases.

Exemple : à partir du tableau donné dans l’exemple précédent, on obtient le nouveau tableau :

1. Donner le tableau obtenu à partir du tableau initial suivant :

2. On s’intéresse aux tableaux à trois lignes et trois colonnes. Avec les conditions données au départ, peut-on obtenir :

a. Un tableau dont les cases contiennent toutes des nombres pairs ?

b. Un tableau dont les cases contiennent toutes des nombres impairs ?

3. A traiter par les élèves de la série S uniquement

On s’intéresse aux tableaux à trois lignes et quatre colonnes. Avec les conditions données au départ, peut-on obtenir un tableau dont les cases contiennent toutes des nombres pairs ?

13-b : Cercles tangents (S)

Dans la figure suivante, on souhaite déterminer le côté du carré, sachant que les trois cercles ont pour rayon 1.

On pourra utiliser l’une des deux méthodes ci-dessous.

Méthode 1

1. Déterminer de manière exacte cos 12

     

en utilisant la formule suivante : 2 1 cos2

cos 2

x x

  .

2. En déduire la valeur du côté du carré.

Méthode 2

On pose . AI = x.

Déterminer de deux manières différentes l’aire du carré AIJK et en déduire la valeur de x. Donner alors la valeur du côté du carré. AIJK.

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