Sciences mathématiques - exercices 12, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématique 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des nombres entiers relatifs, le corps des nombres complexes, la droite de P d’équation.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C septembre 1974 Paris \

EXERCICE 1 4 points

On désigne par E un espace affine de dimension 3, par A, B, C trois points fixes de E, non alignés, et l’on donne

– un point P, quelconque de E, – trois nombres réels α, β, γ.

Trouver un point M de E tel que (

M , −−→ MA ,

−−→ MB ,

−−→ MC

)

soit un repère de E et que les

coordonnées du point P dans ce repère soient les nombres α, β, γ [on cherchera, à

cet effet, à déterminer −−→ PM , et l’on discutera l’existence et l’unicité de M selon les

valeurs de α, β, γ et selon la position du point P.]

EXERCICE 2 4 points

Zdésignant l’ensemble des nombres entiers relatifs, et p un nombre premier donné, on considère l’anneau Z/p2Z dont les éléments sont notés

0, 1, 2, ...,p2−2, p2−1.

1. Dans ce qui suit la lettre x représente un entier naturel tel que 0< x < p2.

– Montrer que si x est diviseur de zéro (c’est-à-dire s’il existe dans l’anneau un élément y différent de 0 tel que x . y = 0, alors p divise x.

– Réciproquement, montrer que si p divise x, alors x est diviseur de zéro.

Combien l’anneau Z/p2Z a-t-il de diviseurs de zéro ?

2. a. Quel est l’ensemble des diviseurs de zéro de l’anneau Z/9Z ? Résoudre, dans l’anneau Z/9Z, l’équation

(

2X +5 )(

X +4 )

= 0

b. Endéduire l’ensemble des nombres entiers n pour lesquels (2n+5)(n+4) est divisible par 9.

PROBLÈME 12 points

Soient C le corps des nombres complexes, C⋆ l’ensemble C privé de O, et f l’appli- cation de C⋆ dans C définie par

f (z)= 1

2

(

z − 1

z

)

.

Ondésignepar P unplan affine euclidien rapporté à un repère orthonorméd’origine O ; si un point m de P a pour coordonnées x et y , le nombre complexe z = x + iy est l’affixe de ce point. Soient P⋆ l’ensemble P privé du pointO, et F l’application de P⋆ dans P dans laquelle tout point m de P⋆, d’affixe z, a pour image le point M d’affixe Z = f (z).

1. a. Montrer qu’il existe deuxpoints deP⋆ invariants par F . Quelles sont leurs affixes ?

b. Montrer que tout point M deP, autre que ces points invariants, est l’image par F de deux points de P⋆, dont M est le milieu.

Terminale C A. P. M. E. P.

c. Marquer dans le plan P, en prenant 5 cm pour unité de longueur, 1 le

point m d’affixe z = 1+ i, puis le point m′ d’affixe − 1

z , enfin le point

M = F (m).

2. a. Soit R⋆ l’ensemble des nombres réels privé de 0, et soit ϕ la fonction numérique définie sur R⋆ par :

ϕ(x)= 1

2

(

x − 1

x

)

.

Étudier la variation de la fonction ϕ (on ne demande pas de tracer la courbe représentative).

En déduire l’image par l’application F de l’ensemble des points d’ordon- née nulle de P⋆.

b. Montrer que si z est imaginaire pur (et nonnul), f (z) est aussi imaginaire pur.

On écrit alors f (iy) = iY (y et Y réels), et l’on désigne par g la fonction numérique définie sur R⋆ par g (y)= Y .

Étudier la variation de la fonction g (on ne demande pas de tracer la courbe représentative).

En déduire l’image par l’application F de l’ensemble des points d’abs- cisse nulle de P⋆.

3. a. Soient z ∈C⋆ et Z = f (z).Montrer que si z 6= i, le quotient Z + i

Z − i s exprime

très simplement en fonction de z + i

z − i .

On désigne par U et U′ les points de P d’affixes respectives i et −i. Soient m un point de P⋆ distinct de U et de U′, et M = F (m).

Trouver une relation simple entre les angles (

−−→ mU ,

−−−→ mU′

)

et (

−−−→ MU ,

−−−→ MU′

)

.

b. Soit Γ1 le cercle de diamètre UU′.

En utilisant la relation angulaire précédente, trouver :

– l’image de Γ1 par F ; – l’ensemble γ des points m de P⋆ tels que F (m) appartienne à Γ1 ?

Dessiner γ.

4. a. Soient z = x + iy et f (z)= Z = X + iY (x, y, X , Y réels).

Exprimer X et Y en fonction de x et de y .

b. On désigne par Γr le cercle du plan P de centre O et de rayon r , et l’on suppose r 6= 1.

Trouver la nature de l’image Er de Γr par l’application F (x et y étant les coordonnées d’un point de Γr , on pourra poser x = r cosθ, y = r sinθ).

c. Trouver une relation entre r et r ′ exprimant que Γr et Γr ′ ont la même image, et dessiner alors Γr , Γr ′ et Er lorsque r = 2.

5. Soit D la droite de P d’équation x = y , et D⋆ l’ensemble D privé du point O.

Calculer en fonction du nombre réel non nul x la partie réelle X et la partie imaginaire Y de f (x + ix), puis calculer Y 2−X 2.

Déterminer alors F (

D⋆ )

.

Existe-t-il une autre droite D1 telle que F (

D⋆1 )

= F (

D⋆ )

?

N. B. - Les questions 3., 4. et 5. peuvent être traitées dans un ordre quelconque.

Paris 2 septembre 1974

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