Sciences mathématiques - exercices 7, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématique 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction de la variable réelle x, la base orthonormé.
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[ Baccalauréat C Nice juin 1974 \

EXERCICE 1

1. Soit g la fonction de la variable réelle x définie par

g (x)= ex −1− xex .

Montrer que g admet un maximum absolu pour x = 0 et en déduire que g (x) est négatif ou nul pour tout x réel.

2. Soit f la fonction de la variable réelle x définie par

{

f (x) = x

ex −1 six 6= 0

f (0) = 1

a. Montrer que f est continue pour x = 0.

b. Étudier les variations de f .

c. Montrer que la représentation graphique de f admet pour asymptotes les droites d’équations y =−x et y = 0.

d. Tracer la représentation graphique de f dans un repère orthonormé,

EXERCICE 2

Etant données 3 urnes contenant chacune 5 boules numérotées respectivement 1, 2, 3, 4 et 5, on tire au hasard une boule de chaque urne, toutes les boules de chaque urne ayant la même probabilité d’être tirées. Évaluer les probabilités :

1. pour que le numéro 5 ne sorte pas dans le tirage ;

2. pour que les trois numéros tirés soient inférieurs ou égaux à 3 ;

3. pour que le plus grand numéro du tirage soit 4.

PROBLÈME

Toutes les questions sont indépendantes

On désigne par V un espace vectoriel euclidien de dimension 2 et par E un espace

affine euclidien associé à V et rapporté à un repère orthonormé R = (

O, −→ ı ,

−→

)

;

B =

(

−→ ı ,

−→

)

est donc une base orthonormé de V .

Soit M , l’ensemble des matrices 2×2 de la forme

(

a c

b a

)

, a, b, c étant réels.

1. Démontrer que M muni de l’addition des matrices 2×2, a une structure de groupe commutatif.

2. Soit A l’élément de M , tel que a = 2, b = 3 et c =−4.

On désigne par g l’application affine de E dans E laissant O invariant et ad- mettant pour endomorphisme associé l’application linéaire de V dans V de matrice A dans la base B.

Démontrer que g est bijective et que l’image par g d’une droite quelconque de E est toujours une droite. Trouver une équation cartésienne de l’image par g de la droiteD d’équation 3x−4y +1= 0.

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

3. Le réel k non nul étant fixé, on considère l’ensemble Tk des applications li- néaires bijectives de V sur V (ou automorphismes de V ) dont les matrices dans la base B sont les éléments de M , tels que c = kb. La loi ◦ de composi- tion des applications donne-t-elle à Tk une structure de groupe ?

4. Soit un endomorphisme non bijectif de V dont la matrice dans la baseB est un élément de M . On suppose a 6= 0.

a. Préciser le noyau L et l’image L′ de .

b. Montrer qu’il existe un endomorphisme orthogonal s de V , indépendant de a, b, c, tel que L′ = s(L).

5. On désigne par f l’application affine de E vers E, laissant O invariant et asso-

ciée à l’endomorphisme de V dont la matrice dans la base B est

(

a c

b a

)

.

En supposant que f est bijective, montrer que l’image par f de tout cercle est un cercle si, et seulement si, a, b, c vérifient les deux relations :

{

a(b+c) = 0 b = ±c

Montrer que f est alors une similitude. Préciser les cas où elle est directe, in- directe.

36˚ou 36°

Nice 2 juin 1974

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