Sciences mathématiques - exercitation 10, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur l'entier naturel non nul. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les trois points non alignés d’un plan affine P, les deux applications de R dans R.
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[ Baccalauréat C Pondichéry juin 1979 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit B un entier naturel non nul. Dans tout ce qui suit, les écritures surlignées représentent des nombres écrits en base B .

1. Montrer que 132 est divisible par B +1 et B +2. Pour quelles valeurs de B, 132 est-il divisible par six ?

2. Montrer que A = 1320 est divisible par six. 3. On pose C = 1430. Quelle est le p. g. c. d. de A et C ?

EXERCICE 2 4 POINTS

A, B, C sont trois points non alignés d’un plan affine P et P′ le plan P privé de la droite AB.

1. Soit E l’ensemble des couples (a, b) de R2 tels que a+b+1 6= 0. Démontrer que l’application f qui à tout élément (a, b) de E associe le bary- centre G de (A, a), (H, b), (C, 1) est une bijection de E sur P′.

2. On considère l’application g de P′ dans P′ qui au point G associe le point G′

barycentre de (A, b), (B, a), (C, 1).

a. Déterminer l’ensemble des points invariants par g .

b. Démontrer que −−→ GG′ appartient à une direction indépendante de G.

c. Démontrer que lemilieu de (G, G′) est sur une droite fixe et en déduire la nature de g .

PROBLÈME 13 POINTS

On rappelle que l’ensemble A des applications de R dans R, muni de l’addition des applications, et du produit d’une application par un réel est un espace vectoriel sur R.

Partie A

On note e1 et e2 les deux applications de R dans R définies respectivement par

e1(x)= e− x 2 sinx et e2(x)= e−

x 2 cosx,

et on appelle F le sous-espace vectoriel de A engendré par e1 et e2.

1. Démontrer que (e1, e2) est une base de F .

a. Démontrer que tout élément f de F est dérivable, et que sa dérivée f

appartient à F .

b. Écrire la matrice dans la base (e1, e2) de l’endomorphisme D de F , qui à f associe f ′.

Établir que D est bijective, et définir l’application réciproqueD−1.

c. Utiliser le résultat précédent pour calculer l’intégrale

I0 = ∫ 3π

4

π4 e−

x 2 (sinx+cosx)dx.

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

Partie B

Dans cette partie, on désigne par f l’application de J = [

π

4 ; +∞

[

dans R définie par

f (x)= e− x 2 (sinx+cosx),

et par C la courbe représentative de f dans un plan affine euclidien rapporté à un

repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Résoudre dans J l’équation f (x)= 0.

Étudier le sens de variation de f sur l’intervalle

[

π

4 ; +

7π

4

[

.

On noteraα le réel de l’intervalle [

0 ; π

2

]

tel que tgα= 1

3 , et on prendraα=

π

9 ;

d’autre part, on ne cherchera pas à déterminer les valeurs maximale el mini- male).

2. a. Démontrer que, pour tout x appartenant à J, | f (x)|6 p 2e−

x 2 .

En déduire que f admdet une limite finie en +∞.

b. Soit Γ et Γ′ les représentations graphiques dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

des

applications g et h de J dans R définies par

g (x)= p 2e−

x 2 ety h(x)=−

p 2e−

x 2

Calculer les abscisses des points comuns à C et Γ d’une part, à C et Γ′

d’autre part.

Établir qu’en tout point commun à C et Γ (respectivement : à C et Γ′), les deux courbes admettent la même tangente.

c. Soit M le point de coordonnées (x ; y) sur C ; calculer en fonction de y l’ordonnée du point M ′ d’abscisse x+2π sur C.

d. Utiliser les résultats précédents pour construire C, On commencera par mettre en place les courbes Γ et Γ′, puis l’arc de C correspondant à l’in-

tervalle

[

π

4 ; +

7π

4

[

.

On donne :

x − 9π

8 −π

5π

8 − π

2 − π

8

ex 0,03 0,04 0,14 0,21 0,67

Partie C

Les solutions dans l’intervalle J = [− π

4 ; +∞[ de l’équation f (x)= 0 forment la suite

de réels (

π

4 +

)

, k ∈N. On note comme au A :

I0 = ∫ 3π

4

π4 f (x)dx puis I1 =

∫ 7π 4

3π 4

f (x)dx

et d’une manière générale, pour tout entier naturel k :

Ik = ∫− π4 +(k+1)π

π4 +kπ f (x)dx.

Pondichéry 2 juin 1979

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

1. En utilisant les résultats du A, trouver une primitive F de f sur J, ayant la pro- priété suivante : il existe un réel λ strictement positif tel que, pour tout réel x appartenant à J, F (x+π)=−λF (x). En déduire une expression simple de Ik+1 en fonction de Ik et de λ.

2. Pour tout n ∈N, on pose Sn = n−1 ∑

k=0 |Ik |.

Exprimer Sn en fonction de I0, λ et n.

Sn admet-elle une limite lorsque n tend vers +∞ ?

Pondichéry 3 juin 1979

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