Sciences mathématiques - exercitation 12, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur l’ensemble des entiers naturels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan affine euclidien orienté un triangle isocèle ABC, la mesure de l’angle, la nature du qua...
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[ Baccalauréat C Rennes juin 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit K l’ensemble {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. On note E l’ensemble des entiers naturels s’écrivant en base dix ababab où (a, b) est un couple quelconque de K 2.

1. Quel est le nombre d’éléments de E ?

2. Si n = ababab, démontrer que ab divise n.

3. Quel est le plus grand diviseur commun à tous les éléments de E ?

Quelle est la somme des éléments de E ?

EXERCICE 2 4 POINTS

On considère dans un plan affine euclidien orienté un triangle isocèle ABC rectangle

en A tel qu’une mesure de l’angle (

−−→ AB ,

−−→ AC

)

soit π

2 .

On appelle R la rotation de centre A qui transforme B en C et T la translation de

vecteur −−→ AB .

1. Déterminer F1 =R T et F2 = T R (nature et éléments caractéristiques).

2. Soit M un point du plan, M1 son image par F1 et M2 son image par F2. Quelle set la nature du quadrilatère BCM1M2 ?

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A - Préliminaire

Soit E la fonction qui à tout réel x, associe le plus grand entier inférieur ou égal à x, et g la fonction de R dans R définie par g (x)= x−E(x). Montrer que ∀x ∈R, ∀k ∈Z, E(x+K )= E(x)+K . En déduire que g est périodique. Représenter graphiquement g (en repère orthonormé) sur l’intervalle [−1 ; +1[ de R. Étudier la continuité de g au point 0.

Partie A - Les parties I et II, qui suivent, sont indépendantes

Soit F l’ensemble des applications deR vers R. On rappelle que F muni de l’addition des applications, et de la multiplication par un nombre réel est un espace vectoriel sur R. On note f1, f2, f3 les éléments de F définis par :

f1(t) = E(t) f2(t) = 2t−E(t )

f3(t) = 22(t−E(t ))

où E est la fonction définie dans le préliminaire. On appelle H le sous-espace vectoriel de F engendré par f1, f2, f3.

I

1. Soit B = (

f1, f2, f3 )

. Démontrer que B est une base de H .

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

2. Soit ψ l’application linéaire de H vers H définie dans la base B de la façon suivante : un vecteur quelconque f de coordonnées (x, y, z) a pour imageψ( f ) de coordonnées

(

x′, y ′, z ′ )

telles que :

x′ = y +3z y ′ = −3x+4y +9z z ′ = xy −2z

Montrer que ψ est une projection vectorielle dont on précisera les caractéris- tiques géométriques.

3. Soit f = x f1+ y f2+ z f3 un élément de H . Trouver une condition nécessaire et suffisante sur x, y, z pour que f soit continue sur R.

En déduire queψ(H) l’image deH parψ est aussi le sous-espace vectoriel des applications de H continues sur R.

4. Montrer que les applications deH dérivables surR constituent un sous-espace vectoriel D de H inclus dansψ(H).

II

Soit h l’élément de H défini par : h = f1−2 f2+ f3.

1. a. Montrer que, pour tout k élément de Z, la courbe représentative Γ de h

dans un repère cartésien (

O, −→ ı ,

−→

)

est invariante par la translation Tk

de vecteur Vk = k (

−→ ı i +

−→

)

.

b. Établir le tableau de variations de h sur [0 ; 1] et étudier la dérivabilité de h à droite en 0 et à gauche en 1.

Représenter graphiquement la restriction de h à l’intervalle [−1 ; 3] (le

repère (

O, −→ ı ,

−→

)

sera orthonormé, et on prendra 2 cm pour unité).

2. Démontrer que h est intégrable sur tout intervalle fermé deR, et calculer pour tout n deN :

Un =

n+1

n h(t)dt .

Démontrer que la suite de terme généralUn est une suite arithmétique dont on précisera la raison.

Retrouver ce dernier résultat en donnant une interprétation graphique deUn .

Rennes 2 juin 1979

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