Sciences mathématiques - exercitation 2, Exercices de Logique mathématique

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Exercitation de sciences mathématiques sur le logarithme népérien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les abscisses, la dérivée seconde de f, a tangente.
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[ Baccalauréat C Nantes juin 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit f l ?application de C dans C définie par

f (z)= z3+ (−7+3i)z2+ (12−16i)z+4(1+7i).

On considère

E = {z ; z ∈C, f (z)= 0}.

1. Montrer que E contient un élément de la forme z0 =λi où λ est un réel.

2. Déterminer les éléments z0 ,z1, z2, de E : on notera z1 l’élément de E , autre que z0, qui a une même partie imaginaire que z0.

3. Soit A, B, C les images respectives de z0 ,z1, z2 dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé.

Déterminer les éléments de la similitude directe qui transforme le bipoint

(A, B) en le bipoint (A, C).

EXERCICE 2 4 POINTS

1. Soit deux urnesU1 etU2 ; la première contient 6 boules blanches et 4 boules noires ; la seconde contient 8 boules blanches et 2 boules noires.

D’une des deux urnes, choisie au hasard (il y a équiprobabilité pour ce choix),

on extrait une boule que l’on remet dans l’urne :

si la boule était blanche on recommence le tirage dans la même urne ;

si la boule était noire on recommence le tirage dans l’autre urne.

Cette règle est appliquée à chaque tirage et l’on suppose qu’à l’intérieur de

chaque urne les tirage sont équiprobables.

SoitPn la probabilité pour que len-ième tirage se fasse dans l’urneU1 (

n ∈N⋆ )

.

a. Déterminer P1.

b. Déterminer P2 : on se rappellera que le second tirage s’est fait dans U1 soit parce que le premier tirage a été d’une boule blanche dansU1, soit

parce que le premier tirage a été d’une boule noire dansU2.

c. Démontrer qu’il existe une relation de récurrence vérifiée par la suite (Pn), de la forme :

n, n> 2 : P n = aPn−1+b

a et b sont des réels que l’on déterminera.

2. Soit la suite réelle (un ), dont le terme général est défini pour tout n entier stric- tement positif par

u1 = 1

2

un = 2

5 un−1+

1

5 ∀n, n> 2

a. Déterminer le réel α tel que le suite (Vn), dont le terme général est défini pour n entier strictement positif par Vn = un α soit une suite géomé-

trique.

b. En déduire que la suite (un ) est convergente ; trouver alors la limite de Pn quand n tend vers l’infini.

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

Soit E l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2, à coefficients réels. Si A et B appar-

tiennent à E et si ? est un réel, on note A + B la somme des matrices A et B

A × B le produit de la matrice B par la matrice A dans cet ordre

λ· A le produit de la matrice A par le réel ?.

On rappelle que (E ,+, .) est un espace vectoriel sur R et que (E ,+,×) est un

anneau unitaire, non commutatif, non intègre.

Soit M l’ensemble des matrices de la forme

M(a ; b)=

(

a+b ab

ab a+b

)

a et b sont des réels.

1. Démontrer que (M , +, .) est un espace vectoriel sur R. Préciser la dimension et une base de cet espace vectoriel.

2. Soit A = M(1 ; 0) et B = M(0 ; 1). Calculer A2, B2, A × B, B × A. En déduire que (M , +, ×) est un anneau unitaire, commutatif. Cet anneau est-il intègre ?

3. Soit M1 l’ensemble des éléments inversibles de l’anneau M .

a. Déterminer M1.

b. Quelle est la structure de (M1, ×) ?

Partie B

Soit π un plan vectoriel et B = (

−→ ı ,

−→ )

une base de ce plan.

On considèreϕa, b l’endomorphismedeπdont lamatrice dansB estM(a, b).

1. Déterminer, suivant les valeurs de a et b, le noyau et l’image de ϕa, b .

Dans chaque cas, on indiquera unebase de ces espaces vectoriels, s’il en existe.

2. Déterminer les nombres réels k pour lesquels l’équation ϕa, b (

−→ u )

k −→ u =

−→ 0

(1)

(dans laquelle le vecteur −→ u de π est l’inconnue) admet d’autres solutions que

le vecteur −→ 0 .

On explicitera, pour chacune des valeurs de k trouvées, l’ensemble des solu-

tions de (1).

3. On pose −→ I =

−→ ı

−→ et

−→ J =

−→ ı +

−→ .

Vérifier que B′ = (

−→ I ,

−→ J )

est une base de π. Quelle est la matrice M de ϕa, b

dans B′ ?

4. Déterminer les applications ϕa, b qui sont des projections vectorielles.

Dans chacun des cas, on précisera les éléments caractéristiques de la projec-

tion trouvée en remarquant, le cas échéant, s’il s’agit ou non de sous-espaces

vectoriels propres.

5. Déterminer les applications ϕa, b qui sont des automorphismes involutifs.

Dans chacun des cas, on précisera les éléments caractéristiques de l’involu-

tion trouvée.

Partie C

Nantes 2 juin 1979

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

Soit P un plan affine associé à π, et soit O un point de P. On note respective-

ment (R) et (R′) les repères cartésiens (

O ; −→ ı ,

−→ )

et (

O ; −→ I ,

−→ J )

.

Soit O′ le point de coordonnées (2 ; −2) dans (R). Soit f l’application affine

de P dont l’endomorphisme associé est ϕ 1 2 , 0

et qui transforme O en O′.

1. Définir la nature de f et donner ses éléments caractéristiques.

2. SiM a pour coordonnées (x ; y) dans (R), donner les coordonnées (X ; Y ) dans (R) de f (M).

3. Si M a pour coordonnées (

x′ ; y ′ )

dans (R), donner les coordonnées (X ? ; Y ?)

de f (M) dans (R′).

Partie D

On suppose maintenant que π est euclidien et que la base (B) est orthonor-

mée.

Soit O′′ le point de coordonnées (1 ; 1) dans (R).

Soit g l’application affine de P dont l’endomorphisme associé est ϕ 1 2 , −

1 2 et

qui transforme O en O′′.

1. a. Définir la nature de g et donner ses élément caractéristiques.

b. SiM a pour coordonnées (x ; y) dans (R), donner les coordonnées (ξ ; η) dans (R) de g (M).

2. Soit (C ) le sous-ensemble de P, d’équation dans (R) x2+ y2−2x+2y +1 = 0.

a. Donner une équation dans (R) de l’image (Γ) de (C ) par g . Représenter sur un même dessin les ensembles (Γ) et (C ).

b. Démontrer qu’il existe une rotation unique, centrée sur la droite de di-

rection −→ ı et passant par O, qui transforme (C ) en (Γ). Déterminer les

éléments caractéristiques de cette rotation.

Nantes 3 juin 1979

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