Sciences mathématiques - exercitation 3, Exercices de Logique mathématique

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Exercitation de sciences mathématiques sur l'application de C dans C. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'élément de la forme, les éléments de la similitude directe.
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[ Baccalauréat C Nice juin 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On considère la fonction numérique d’une variable réelle f définie par

f (x)= log (

2+ 1

x

)

où log désigne le logarithme népérien.

1. Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative (C ) dans un

repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

. (On donne log2≈ 0,7).

2. Montrer que la fonction x 7−→ Log(2+ x)−Log2

x admet pour limite

1

2 en 0.

3. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’aire A (λ) de la portion du plan comprise entre la courbe (C ), la droite d’équation y = Log2, et les droites d’équations respectives x = −1 et x = λ λ est un nombre réel strictement inférieur à −1. Déterminer la limite éventuelle de A (λ) quand λ tend vers −∞.

EXERCICE 2 3 POINTS

C désigne le corps des nombres complexes et A le point du plan complexe d’affixe z = a+ ib (a ∈R, b ∈R). On considère l’équation :

z2+ (1−b)z+a = 0.

1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur a et b, pour que l’équation admette une racine double.

Représenter dans le plan complexe l’ensemble (Γ) des points A (d’affixe a+ib) correspondants.

2. Préciser suivant le position du point A dans le plan la nature des racines de l’équation.

PROBLME 13 POINTS

Partie A

Soit a, b, c trois nombres réels. On note f l’application de R dans R définie par

x ∈R, f (x)= a cos (πx

2

)

+b sin (πx

2

)

+c.

1. a. Démontrer par récurrence que

n N⋆,∀x ∈R, f (n)(x)= (π

2

)n [

a cos (π

2 x+n

π

2

)

+b sin (π

2 x+n

π

2

)]

sachant que f (n) désigne la fonction dérivée n-ième de f .

b. On pose ∀n ∈N⋆,un = 1

4n f (2n)(0).

Calculer u1. Montrer que la suite (un )nN⋆ , est une suite géométrique de

raison − π2

16 .

Calculer, si elle existe, lim n→+∞

(u1+u2+·· ·+un ) en fonction de a.

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

2. On pose a = 4α, b = 7β, c =− p 2

2 .

Écrire l’expression de f (x).

Déterminer l’ensemble des couples (α, β) appartenant àZ2 tels que f

(

1

2

)

= 0.

3. On pose a = 1, b = c = 0 et on note ϕ la restriction de f à [0 ; 2]. Écrire l’expres- sion de ϕ(x).

a. Montrer que ϕ admet une fonction réciproqueψ.

b. Quel est l’ensemble de définition deψ ? Préciser son sens de variation et tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

c. Sur quel ensemble ψ est-elle dérivable ?

4. On pose a = c = 0, b = 1. Écrire l’expression de f (x). Calculer ∫1

0 [ f (x)]2 dx.

5. On appelle f1 la fonction f obtenue pour a = 1, b = c = 0. On appelle f2 la fonction f obtenue pour a = c = 0, b = 1. On considère

S1 = 4 ∑

k=0 f1

(

4k

9

)

et S2 = 4 ∑

k=0 f2

(

4k

9

)

.

a. Exprimer S1+iS2 en fonction dunombre complexe z demodule 1 et d’ar- gument

π

9 .

b. En déduire S1.

Partie B

On note E l’ensemble des fonctions fa,b,c de R dans R définies par

x ∈R, fa,b,c (x)= a cos (π

2 x )

+b sin (π

2 x )

+c

avec (a, b, c) appartenant à R3.

1. On rappelle que l’ensemble des fonctions de R dans R, muni de l’addition et de la multiplication par un réel, est un espace vectoriel sur R. Cet ensemble sera noté F .

a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de F .

b. Déterminer la dimension de E .

2. On note f g le réel 1

4 [2 f (0)g (0)+ f (1)g (1)+ f (−1)g (−1)].

a. Montrer que l’application : E ×E → R ( f , g ) 7−→ f g est un produit scalaire

sur E .

Dans toute la suite, on considérera E muni de ce produit scalaire ; le réel √

f f sera noté ‖ f ‖. b. Soit les fonctions :

e1 : R → R e2 : R → R x 7−→ 1 x 7−→

p 2sin

(π

2 x )

e3 : R → R x 7−→ −2cos

(π

2 x )

+1

Montrer que (e1, e2, e3) est une base orthonormée de E.

Montrer que :

Nice 2 juin 1979

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

fa, b, c = (a

2 +c

)

e1+ b p 2

2 e2−

a

2 e3.

En déduire que :

fa, b, c fa′ , b′, c ′ = (a

2 +c

)

(

a

2 +c

)

+ bb

2 +

aa

4 .

3. On suppose que E est orienté et que (e1, e2, e3) est une base orthonormée di- recte.

Soit τ l’endomorphisme de E défini par

τ(e1) = f0, 0, 1 τ(e2) = f−1,

p 6 2 ,

1 2

τ(e3) = f−p3, − p 2 2 ,

p 3 2

Montrer que τ est une isométrie vectorielle dont on déterminera la nature et les éléments caractéristiques.

4. Soit P un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (R).

Déterminer l’ensemble Γ des points M de coordonnées (x ; y) dans (R) tels que les vecteurs fy, x, 1 et f2y, 23 x, −

y 2 de E soient orthogonaux.

Représenter cet ensemble dans (R).

Nice 3 juin 1979

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