Sciences mathématiques - exercitation 4, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur la fonction numérique d’une variable réelle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le logarithme népérien, la courbe représentative.
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[ Baccalauréat C Nice septembre 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On considère la fonction numérique d’une variable réelle, f définie par

f (x)= 1

e x−Log x

où e est la base du logarithme népérien, noté Log.

1. Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative (C ) dans un repère orthonormé.

2. Soit λ un nombre réel tel que 0< λ< e. Calculer l’aire A (λ) du domaine plan déterminé par la courbe (C ), l’axe des x, et les droites d’équations respectives x = λ et x = e.

3. Déterminer la limite éventuelle de A (λ) lorsque λ tend vers 0 par valeurs su- périeures.

EXERCICE 2 4 POINTS

On joue avec deux dés cubiques non pipés.

Les faces de l’un sont marquées : 0, 0, π

3 , π

3 , 4π

3 , 4π

3 .

Les faces de l’autre : 0, 0, π

6 , π

6 , π

2 , π

2 .

On lance les deux dés simultanément. On appelle α et β les nombres qui appa- raissent sur les faces supérieures, et on appelle X la variable aléatoire réelle qui à chaque lancer associe le réel sin(α+β).

1. Quelles sont les valeurs prises par X ? (On pourra présenter les résultats sous forme de tableau).

2. Établir la loi de probabilité de X, et calculer son espérance mathématique, sa variance et son écart-type.

PROBLÈME 12 POINTS

Soit E un plan affine rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Partie A

Soit gt l’application affine de E dans E, qui au pointM de coordonnées (x ; y) associe le point M’ de coordonnées (x′ ; y ′) tel que :

{

x′ = x cos t +2y sin t .

y ′ = 1

2 x sin t y cos t

ou t est un nombre réel

1. Démontrer que gt est involutive et que c’est une symétrie dont on détermi- nera les éléments géométriques.

2. Soit s la symétrie d’axe Ox, de directionOy . Déterminer analytiquement gt s.

Partie B

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

Soit ft l’application affine de E dans E, qui au pointM de coordonnées (x ; y) associe le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

tel que :

{

x′ = x cos t −2y sin t .

y ′ = 1

2 x sin t + y cos t

ou t est un nombre réel

On appelle F l’ensemble des applications ft pour t élément de R.

1. Soit ϕ l’application définie par :

ϕ : R → F t 7−→ ft

Démontrer que ϕ est un homomorphisme surjectif de (R, +) dans (F , ◦). Démontrer que (F , ◦) est un groupe commutatif. Quelle est l’application ré- ciproque de ft ?

2. Déterminer l’ensemble K des nombres réels t tels que

ϕ(t)= idE

(idE est l’application identique de E dans E).

Quelle relation doit exister entre t et t ′ pour que ft ′ = ft ? 3. n désignant un entier naturel non nul, on pose :

{

f 1t = ft f nt = f

n−1 t ft n> 2

Démontrer que : ∀n ∈N⋆, f nt = fnt .

On donne à t la valeur t0 = 3

5 2π.

Trouver le plus petit entier n tel que f nt0 = idE.

4. On a toujours t0 = 3

5 2π.

On appelle Γ l’ensemble des cinq points {M0, M1, M2, M3, M4} où M0 a pour coordonnées

(

x0 ; y0 )

M1 = ft0 (M0) M2 = ft0 (M1) M3 = ft0 (M2) M4 = ft0 (M3)

a. Démontrer que Γ est stable par ft .

b. On appelle (Ca) la courbe d’équation x2+4y2 = a2, a étant un nombre réel.

Démontrer que, quel que soit t appartenant à R, (Ca) est invariante par ft .

c. Démontrer que Γ est contenu dans la courbe (Ca) pour la valeur

a = x20 +4y 2 0 .

Partie C

Dans cette partie, on suppose E euclidien et le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

orthonormé.

1. Dans cette question a = x20 +4y 2 0 et t0 =

3

5 2π.

Écrire l’équation de la tangente à (Ca) au pointM0. Quelle est l’image de cette tangente par ft ?

Nice 2 septembre 1979

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

2. Soit A le point de coordonnées (1 ; 0) et soitMt l’image de A par ft . Déterminer l’ensemble (G) des points Mt lorsque ft varie dans F . Représenter (G).

Partie D

F est un espace affine euclidien de dimension trois, rapporté à un repère ortho-

normé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. Soit P le point mobile dont les coordonnées (x ; y ; z) sont

à l’instant t

x = cos t

y = 1

2 sin t

z = p 3

2 sin t

t appartient àR

Montrer que la trajectoire de P est un cercle, intersection d’une sphère (Σ) et d’un plan (π) à déterminer. Quelle est la nature dumouvement de P ?

Nice 3 septembre 1979

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