Sciences mathématiques - exercitation 9, Exercices de Logique mathématique

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Sciences mathématiques - exercitation sur le système de numération à base six. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Démontrer que f est dérivable dans R, Étudier la fonction f , Préciser F0.
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[ Baccalauréat C Poitiers juin 1979 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit A l’entier naturel qui s’écrit 1 x 5 y 4 dans le système de numération à base six. Déterminer tous les couples (x ; y) deN×N tels que :

1. A soit divisible par 33.

2. A soit divisible par 70.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit f la fonction définie par

f (x)= (x−1)+ (x+1)e−x .

1. Démontrer que f est dérivable dans R et étudier le sens de variations de sa fonction dérivée f ′. En déduire le signe de f ′.

2. Étudier la fonction f , et tracer sa courbe représentative C dans un repère or- thonormé,

3. Démontrer que f possède une fonction réciproque g , que l’on ne cherchera pas à calculer et dont on précisera les propriétés (ensemble de définition, sens de variations, continuité, dérivabilité).

PROBLÈME 13 POINTS

Soit P unplan affine euclidienorientémuni d’un repère orthonormédirect (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On désigne par B l’ensemble des éléments z du corps C des nombres complexes tels que |z| < 1. Pour tout nombre complexe a, on appelle fa la fonction de C dans C définie par :

fa(z)= z+a

az+1

et on désigne par Fa la fonction de P dans P qui au pointM d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ = fa (z). On rappelle que, si M a pour coordonnées (x ; y), son affixe est z = x+ iy

Partie A

1. Préciser F0 ; pour quelles valeurs de a, Fa est-elle une fonction constante ?

2. Quel est, suivant les valeurs de a, l’ensemble des points invariants par Fa ?

3. On suppose que a est un nombre réel de l’intervalle ]−1 ; 1[.

a. Montrer que la restriction ha de fa à B est une fonction de B dans B.

Vérifier que son ensemble de définition est B.

b. On appelle H l’ensemble des applications ha lorsque a décrit ]−1 ; 1[.

Montrer que H muni de la composition des applications, est un groupe commutatif en précisant l’élément neutre et le symétrique d’un élément ha quelconque de H.

Le nombre complexe a étant de nouveau quelconque, montrer que la restric- tion ga de a à R est une fonction à valeurs réelles si et seulement si a est un réel.

Partie B

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

On suppose désormais que a est un nombre réel non nul appartenant à ]−1 ; 1[.

On pose ga(x) = x+a

ax+1 pour x ∈ R et on note Ca la courbe représentative de ga

dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Étudier la fonction ga , et tracer sur le même dessin les deux courbes C 1 2 et

C −

1 2 .

2. Montrer que Ca et C−a sont isométriques.

3. Trouver un réel b tel que : x+a

ax+1 =

1

a +

b

ax+1 pour tout x de R.

4. Calculer l’aire géométrique de la partie du plan délimitée par Ca et C−a .

Partie C

Soit ϕ l’application affine de P dans P qui au pointM de coordonnées (x ; y) associe le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

telles que : 

x′ = x+ y − 1

a

y ′ = −x+ y − 1

a

1. Préciser la nature de ϕ et ses éléments caractéristiques.

2. Déterminer une équation de l’image C′a de Ca par ϕ. Quelle est la nature de C′a ? Préciser ses éléments caractéristiques.

Construire C′a en prenant a = 1

2 .

Poitiers 2 juin 1979

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