Sciences statistiques –  Contrôle  10, Examens de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 mai 2014

Sciences statistiques – Contrôle 10, Examens de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques – Contrôle 10 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Sections de cônes et cylindres, le logiciel de géométrie.
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Concours Fesic

Terminale S/ES mars 2013

Concours Sciences-Po Paris

Calculatrice autorisée ; durée 3 heures.

Exercice Vrai-Faux

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.

1. On considère la suite géométrique (un)de premier terme 0 1u   et de raison 4

5 , et on pose

0 1 ...n nS u u u    pour tout entier naturel non nul n. La suite (Sn) converge vers 5.

2. On considère les suites (un)et (vn) définies par 0 1u , 1 2 3n nu u   et 3n nv u  pour tout entier

naturel n. La suite (vn) est géométrique.

3. On considère les suites (wn) et (vn) définies par 0 1u  , 1 1n nu u   et un

nt e

 pour tout entier naturel

n. La suite (vn) est convergente.

4. Une entreprise de sondage réalise une enquête par téléphone. On admet que la probabilité que la personne contactée accepte de répondre est égale à 0,2.

Si un enquêteur contacte 50 personnes, la probabilité qu'au moins six personnes acceptent de lui répondre est supérieure à 0,95.

5. Toute suite non majorée diverge vers  .

6. L'équation      ln ln 1 ln 2x x   admet le réel 1 pour unique solution.

7. On considère la fonction f définie sur  par     2

1 xf x x e  . La tangente à la courbe représentative

de f au point d'abscisse 0 est parallèle à la droite d'équation y = 3x.

8. L'équation 3 24 4 2x x x    a exactement trois solutions réelles.

9. Voici un algorithme :

Entrée Saisir un entier naturel a

Traitement

Affecter à n la valeur 1 et à c la valeur 1

Tant que c < a

Affecter à n la valeur n + 1.

Affecter à c la valeur c + n2

Fin du Tant que

Sortie Afficher la valeur de n

Si on saisit pour a la valeur 20, alors la sortie vaut 4.

10. On lance deux dés cubiques et non truqués. On appelle X lavariable aléatoire donnant le plus grand

des deux chiffres obtenus. L'espérance de la variable aléatoire X est :   161

36 X E .

Problème

Partie A

On considère la fonction f définie sur  0 ; par :   1

ln 1 2

e f x x

x

      

   et on appelle C sa courbe

représentative dans un repère orthonormé (unité graphique 2 cm).

1. Étudier les variations de la fonction f sur  0 ; ainsi que les limites en 0 et en  .

2. Montrer que l'axe des ordonnées du repère et la courbe  d'équation ln 2

e y x

      

sont asymptotes à

la courbe C.

On rappelle que les courbes (C) et (C’) respectivement représentatives de deux fonctions f et g sont

asymptotes en  si     lim 0 x

f x g x 

  .

3. a. Montrer que, pour tout réel x strictement positif,  ' 1f x  .

b. Étudier le signe de  f x xsur  0 ; et en déduire la position de la courbe C par rapport à la droite Dd'équation y = x.

4. Tracer la droite Dainsi que les courbes  et C sur le même graphique.

Partie B

On se donne un réel u0supérieur ou égal à 1. La suite (un) est définie par la donnée de u0et de la relation

 1n nu f u  pour tout entier naturel n.

1. Montrer que la suite (un)est minorée par 1.

2. Montrer que la suite (un)est décroissante.

3. Montrer que la suite (un)est convergente.

Partie C

On admet que la limite de la suite (un)est égale à 1.

On se propose dans cette partie d'étudier la rapidité de convergence de la suite (un)vers sa limite.

1. Que peut-on dire de la suite (un)quand u0vaut 1 ?

2. Dans cette question on choisit la valeur 3

2 pour u0.

À l'aide de la calculatrice, donner les valeurs arrondies à 10–6 près de u1, u2, u3.

On suppose dans cette partie que le réel 0u strictement supérieur à 1.

3. a. Montrer que pour tout réel 1t   , on a  ln 1 t t  .

3. b. Montrer que pour tout réel 0h , on a    

2

1 1 ln 1 2 1

h f h

h

        

.

4. On définit la suite  nv par 1n nv u  pour tout entier naturel n.

Montrer que pour tout entier naturel n on a 21 1

2 n nv v  .

5. Montrer que pour tout entier naturel n non nul on a

12

10 2 2

n

n

v v

     

  .

6. Dans cette question, on choisit à nouveau la valeur 3

2 pour 0u .

À partir de quel p peut-on affirmer que 201 10pu   ?

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