Sciences statistiques - Exercice 10, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 mai 2014

Sciences statistiques - Exercice 10, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 10. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la droite asymptote, la première bissectrice, la fonction définie.
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Terminale S

Terminale S mai 2002

Concours Fesic 2002

1. EXERCICE 1

Soit f la fonction définie par 1

( ) 2 ln( )

x f x

x   , D son ensemble de définition et C sa courbe

représentative.

a. On a D=]0, +[.

b. La courbe C admet une droite asymptote en +.

c. Pour tout x  D, on a : ( ) 2

x f x  .

d. Pour tout x  D, on a : 2

1 2 '( )

2 (ln ) f x

x x   .

2. EXERCICE 2

Soit f la fonction définie sur par ( ) sin( )f x x x  et C sa courbe représentative.

a. Pour tout réel x, on a : '( ) 1 cos( )f x x  .

b. On a : 0

( ) lim 1 x

f x

x

    

  .

c. La courbe C coupe la première bissectrice en chaque point d’abscisse 1

2 x k  , où k  .

d. La courbe C admet la première bissectrice comme droite asymptote en +.

3. EXERCICE 3

Soit f et g les fonctions définies par ( ) ln( 1 1)f x x   et 2( ) 2x xg x e e   . On note C la courbe

représentative de f et  celle de g.

On considère la rotation R de centre O et d’angle 2

 . On note M’ le point de coordonnées (x’, y’) et

d’affixe z’, image par R du point M de coordonnées (x, y) et d’affixe z.

a. L’ensemble de définition de f est I=]–1, +[.

b. On a : z’=iz.

c. On a : '

'

x y

y x

   

.

d. Tout point M de la courbe C a une image M’ par R qui appartient à la courbe .

4. EXERCICE 4

On rappelle que 2<e<3. Soit f la fonction définie sur par ( ) 1

x

x

e f x

e  

.

a. La fonction f est paire.

b. On a : lim ( ) 0 x

f x 

 et lim ( ) 1 x

f x 

 .

c. On a : 0

3 lim '( )

4x f x 

  et 0

1 lim '( )

4x f x 

 .

d. On a : 22

0

1 ( ) ln

2

e f x dx

       

 .

5. EXERCICE 5

On rappelle que 2<e<3. Soit f la fonction définie sur par 2( ) ( 1) xf x x e  .

a. La fonction f vérifie l’équation 2( ) '( ) 2 ( ) xx y x y x e    .

b. L’équation 1

( ) 16

f x   a deux solutions distinctes.

Pour  réel, on pose 1

( ) ( )I f x dx

 

  .

c. Pour tout réel , on a : 2 2

1 2 1 ( )

44 I e

e

 

   .

d. On a : lim ( )I

 

  .

6. EXERCICE 6

On considère les fonctions définies par 1( ) [2 cos ] xf x x e   et sin

( ) 1 2 cos

x g x

x   

 .

On note G la primitive de g valant 1+ln3 en 0 et I son intervalle de définition.

a. On a I = .

b. Pour tout xI, on a : ( ) ln[ ( )]G x f x .

c. La fonction G est strictement monotone sur I.

d. On a : 1

0

(1) ( ) ln

(0)

f g x dx

f

      

 .

7. EXERCICE 7

Soit f la fonction définie par 2 3

( ) 2

x f x

x

  

et D son ensemble de définition.

On note 2

0

( )I f x dx  et, pour tout n  * ,

2 /

0

( ) x nnu f x e dx  .

a. Il existe deux réels a et b tels que, pour tout xD, on ait : ( ) 2

b f x a

x  

b. La suite   *n nu  est décroissante.

c. Pour tout n  * , 2/ nnI u e I  .

d. La suite   *n nu  a pour limite 4 – ln2.

8. EXERCICE 8

On considère l’équation différentielle '( ) 2 ( ) 0y x y x  (E1)

a. Les solutions de (E1) sont les fonctions / 2( ) xy x Ke où K  .

b. L’équation (E1) admet une unique solution vérifiant la condition y(0)=2 et c’est la fonction 2( ) 1xy x e  .

On considère l’équation 3( ) '( ) ( ) 2 xx u x u x e    (E2)

c. Une fonction f vérifie l’équation (E2) si et seulement si la fonction g, définie pour tout x  , par 3( ) ( ) 1xg x e f x  est solution de l’équation (E1).

d. La fonction 3( ) 2 x xf x e e   est l’unique fonction u vérifiant l’équation (E2) et la condition u(0)=1.

9. EXERCICE 9

Pour tout entier naturel 2n  , on considère la fonction nf définie sur par

3( ) 2 1nf x x nx   .

a. Pour tout 2n  , la fonction nf est strictement décroissante sur l’intervalle [0, 1].

b. Pour tout 2n  , l’équation ( ) 0nf x  admet une unique solution dans  .

On note nu l’unique solution dans l’intervalle [0, 1] de l’équation ( ) 0nf x  .

c. Pour tout 2n  , on a : 1

0 nu n

  .

d. On a : lim 0.n n

u 

10. EXERCICE 10

On considère la suite  n nu  définie par 0 0u  , 1 1u  et, pour tout n  ,

2 1

1 2

3 3 n n nu u u   .

On définit les suites  n nv  et  n nw  par 1n n nv u u  et 1 2

3 n n nw u u  .

a. La suite  n nv  est arithmétique.

b. La suite  n nw  est constante.

c. Pour tout n  , on a :   3

5 n n nu w v  .

d. La suite   *n nu  n’a pas de limite finie.

11. EXERCICE 11

Soit  un réel et (E) l’équation d’inconnue complexe z : 2 2(1 ) 0z z     . On désigne par M et M’

les points du plan dont les affixes sont les solutions de (E).

a. Le nombre complexe 2 5z i   est une solution de (E3).

b. Les solutions de (E) sont soit réelles, soit complexes conjuguées.

c. Pour tout >1, le triangle '( )OM M  est isocèle.

d. Pour tout >1, on a ' (3 1)( 1)M M      .

12. EXERCICE 12

Dans le plan complexe, on considère le point A d’affixe 4 et l’application F qui, à tout point M distinct de A, d’affixe z, associe le point M’=F(M), d’affixe z’ donné par

4 '

4

z z

z

  

(1)

a. Le point B d’affixe 1+3i a pour image par F le point B’ d’affixe i.

b. Tous les points de la droite d’équation x=4 privée du point A ont la même image par F.

c. Pour tout point M distinct de A, d’image M’ par F, on a : OM’=1.

d. Pour tout nombre complexe 4z  , le nombre ' 1

4

z

z

 est réel.

13. EXERCICE 13

Soit (ABC) un triangle équilatéral de côté 3 ; G le centre de gravité de (ABC) ; H le symétrique de A par rapport à G. On pourra également considérer I le milieu du segment [BC].

a. Le point H est le barycentre du système de points pondérés : {(A, 1) ; (B, –2) ; (C, –2)}.

b. On a : . 3HA HC  .

Soit (P) le plan passant par A et perpendiculaire à la droite (HC).

c. Pour tout point M de (P), on a : . 3HM HC  .

d. Le plan (P) est l’ensemble des points M de l’espace vérifiant :

( 2 2 ). 9MA MB MC HC   

14. EXERCICE 14

Soit (SMN) un triangle isocèle de sommet principal S, de cercle inscrit de centre  et de rayon 1. On note Q, P, O respectivement, les points de contact du cercle inscrit avec les segments [SM], [SN] et [MN]. Enfin on pose OS=x.

a. On a : 1x

OM QS  .

b. On a : 2 ( 2)QS x x  .

c. On a : 2

2

x OM

x  

.

On rappelle que le volume d’une section de cône est égale au tiers du volume de la section de cylindre correspondante (c’est à dire de même base et de même hauteur). Soit V le volume du cône engendré par rotation du triangle (SMN) autour de l’axe (SO).

d. Le volume V est minimum pour x=4.

15. EXERCICE 15

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient :

 une boule numérotée 0,

 une boule numérotée 1,

 21 boules numérotées 2,

 22 boules numérotées 3,

……………………………….

 2k–1 boules numérotées k (k entier compris entre 1 et n),

……………………………….

 2n–1 boules numérotées n.

Les boules sont indiscernables au toucher. On extrait au hasard une boule de l’urne et on note X la variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée.

a. L’urne contient 2 1n  boules.

b. Pour tout entier naturel k tel que 1 k n  , on a : 1( ) 2n kP X k    .

c. On a pour 2n  : 1

1

2 ( 1)2 1

n

k n

k

k n

   .

d. On a : ( ) ( 1)2 1nE X n   .

16. EXERCICE 16

Soit n un entier supérieur ou égal à 3. On dispose de deux urnes U et V. L’urne U contient 2 boules blanches et n boules noires ; l’urne V contient n boules blanches et 2 boules noires. On choisit au hasard l’une des deux urnes, puis on tire deux boules de cette urne, successivement et sans remise.

On désigne par U l’événement : « on choisit l’urne U », par V l’événement : « on choisit l’urne V » et par B l’événement : « les deux boules tirées sont blanches ».

a. On a :   2

P ( 2)( 1)

B U n n

   

.

b. On a : 2 2

( ) ( 2)( 1)

n n P B

n n

    

.

c. 2

2 ( / )

2 P U B

n n   

.

d. Pour que ( / ) 0,1P U B  , il suffit que 4n .

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