Sciences statistiques - Exercice 2 - 3° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 mai 2014

Sciences statistiques - Exercice 2 - 3° partie, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 2- 3° partie -Fonctions Logarithmes. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Fonction inconnue, Une fonction assez simple, Etude d’une fonction auxiliaire.
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5. Intersection de (C) et de l'axe des abscisses

a. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet dans I une unique solution, notée x0.

b. Déterminer graphiquement un encadrement de x0 d'amplitude 0,5.

c. À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de x0 d'amplitude 10 2. On explicitera la méthode employée.

Correction

1. a. Lorsque x tend vers 4, 1

4

x

x

 tend vers  ainsi que

1 ln

4

x

x

 donc f tend vers  .

Lorsque x tend vers  , 1

4

x

x

 tend vers 1,

1 ln

4

x

x

 tend vers 0, −2x+5 tend vers  donc f tend vers

 .

b.   1 1 1 2( 1)( 4) 15

'( ) 2 3 ln 2 3 ln( 1) ln( 4) 2 3 4 1 4 ( 1)( 4)

x x x f x x x

x x x x x

                               .

Lorsque x > 4, x+1 est positif, x−4 est positif donc le numérateur est négatif et le dénominateur est positif. Moralité, f’ est négative.

c. 1

( ) ( 2 5) ln 4

x f x x

x

    

 ; nous avons dit que ce terme tend vers 0 lorsque x tend vers  donc la

droite (D) est une asymptote à (C). Lorsque x > 4, 1

0 4

x

x

 

 donc (C) est au-dessus de (D).

2. a. On pose 1

ln , ' 1 ' ,u x v u v x x

     d’où une primitive de ln x est 1

ln lnx x xdx x x x x

   .

b. On dérive G : 1

'( ) 1.ln( 1) ( 1) 1 ln( 1) 1

G x x x x x

       

.

c. Exactement pareil.

c. On cherche 6 6

5 5

A ( ) ( 2 5) ln( 1) ln(4 ) [ (6) (5)] [ (6) (5)]f x x dx x x dx G G H H             ;

(6) (5) 7 ln 7 6 6 ln 6 5 7 ln 7 6 ln 6 1G G        ,

(6) (5) 2ln 2 6 1ln1 5 2ln 2 1H H       ,

et le résultat A 7 ln 7 6 ln 6 2ln 2 1,48 U    .

1. 18. Fonction inconnue

Partie A

Soit la fonction f définie sur  0 ;  par : ( ) ( )lnf x ax bx c x   avec a, b et c des réels. La courbe (C) de f est donnée ci-dessous.

En utilisant ce graphique et en sachant que (2) 2 3ln 2f   , justifier que l’on a 1a c  et 2b   .

Partie B

On considère alors la fonction g définie sur  0 ;  par : ( ) (1 2 )lng x x x x   .

1. a. Déterminer la limite de g en 0.

b. Déterminer la limite de g en  .

2. a. Déterminer la fonction dérivée de g.

b. Etudier, pour x dans  0 ;  , le signe de −2lnx et celui de 1 x

x

 . En déduire le signe de '( )g x et les

variations de g.

3. Dresser le tableau complet des variations de g.

4. Soit la droite  d’équation y x .

a. Résoudre dans l’équation (1 2 )ln 0x x  et donner une interprétation graphique des solutions.

b. Etudier la position de la courbe représentative de g par rapport à  .

Correction

Partie A

(2) 2 3ln 2 2 (2 )ln 2 2 3ln 2f a b c       ; par ailleurs la dérivée s’annule en 1 et f(1) = 1 :

'( ) ln 0 0 0 1

bx c b c f x a b x a a b c

x

             ; (1) 0 1f a a    .

On a donc 2 (2 )ln 2 2 3ln 2 2 3b c b c        ; avec 1 0b c   on tire 1c et 2b   .

Partie B

1. a. En 0, ln x tend vers  , donc g tend vers  .

b. Mettons x en facteur :   1

( ) 1 ( 2)ln 1 (0 2)g x x x x

             

.

2. a. 1 2 2 ln 1 2 1 2 ln

'( ) 1 2ln x x x x x x x x

g x x x x x

           .

b. −2lnx change de signe en 1, de même que 1 x

x

 puisque x est positif. La dérivée est constituée de

deux morceaux qui changent de signe au même endroit : avant 1 elle est positive, après 1 elle est négative.

3.

x 0 1 

g '(x) + 0 –

g(x)



1



4. a. 1 2 0 1

(1 2 )ln 0 ou 1 ln 0 2

x x x x x

x

       

 : la courbe coupe la droite  en ces deux points.

b. ( ) (1 2 )lng x x x x   est positif sur 1

;1 2

    

: C au-dessus de  ; sinon C est en dessous de  .

1. 19. Une fonction assez simple

On considère la fonction f définie sur *+ par :

ln ( )

²

x xe f x

x

 

On note (C) la courbe représentative de f dans un repère ( ; , )O u v , unité graphique 2 cm.

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction g définie sur *+ par : g(x) = –2ln xxe + 1.

1. Déterminer les limites de g en 0 et en  .

2. Etudier le sens de variation de g.

3. Montrer que dans [0,5 ; 1] l’équation g(x) = 0 admet une solution unique  dont on déterminera une valeur approchée à 10–2 près.

4. En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Partie B : Etude de la fonction f

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2. Etudier le sens de variation de f.

3. Montrer que 1 e

( ) 2 ²

f

 

  et en donner une valeur approchée à 10−1 près.

4. Donner le tableau de variation de f.

5. Tracer (C).

Correction

A. 1.  lim ( ) lim 2ln 1 2 lim ln lim 1 x x x x

g x x xe x e x    

          ,

  0 0 0 0

lim ( ) lim 2ln 1 2lim ln lim 1 x x x x

g x x xe x e x    

          .

2. 1 2

'( ) 2 ex

g x e x x

       du signe de – 2 – ex ; – 2 – ex > 0  x < –2/e ce qui est impossible

puisque x est positif. La fonction g’ est donc négative quel que soit x positif. Donc la fonction g est strictement décroissante sur *+.

3. g(0,5)  1,027 et g(1)  – 1,718 (à la calculatrice). La fonction g est continue, strictement décroissante, et change de signe sur l’intervalle [0,5 ; 1] donc il existe une valeur unique  de cet

intervalle telle que g( ) = 0. A la calculatrice : 0,67  .

4. On en déduit que, quel que soit x <  on a g(x) positif, et x >  , g(x) négatif.

B. 1. ln ln

lim ( ) lim lim lim 0 ² ²x x x x

x xe x e f x

x x x   

     car

ln 1 ln lim lim lim 0

²x x x

x x

x x x     et lim 0

x

e

x  .

0 0 0 0 0 0 0 0

ln ln

ln lim ( ) lim lim lim

² ²x x x x x x x x

x xx e e x xe x xf x x x x   

   

    

        .

2. f est dérivable sur son domaine de définition.

ln ln ( )

² ²

x xe x e f x

x x x

    ,

4 2 4 3 3

1 ² ln 2

( )2 ln ² 1 2ln '( )

x x x g xe x x x ex x exxf x

x x x x x

      

     .

f ’ est donc du signe de g car x3 est strictement positif sur *+.

Par conséquent, f ’ est positive quel que soit x inférieur à  et négative ailleurs et donc f croissante

sur ]0 ;  [ et décroissante sur ] ;  [.

3. On sait que g( ) = 0 c'est-à-dire que 1 – 2ln – e = 0 ou encore 1

ln 2

e 

  , soit

1

ln 1 e2( ) 3,165 3,2 ² ² 2 ²

e e

e f

 

   

  

 

       .

x 0  

f ’(x) || + 0 –

f (x)

|| 

f( )

0

Courbe de g

Courbe de f

1. 20. Logarithmes

7 points

Partie A

On considère la fonction g définie sur ]0 ;  [ par   22 1 lng x x x    .

1. Calculer  'g x pour tout x de ]0 ;  [. Étudier son signe sur ]0 ;  [.

2. Dresser le tableau de variations de g sur ]0 ;  [. (On ne demande pas les limites de g aux bornes de son ensemble de définition).

3. En déduire que pour tout x de ]0 ;  [, g(x) < 0.

Partie B

Soit f la fonction définie sur ]0 ;  [ par   1 ln

1 2

x f x x

x     .

On désigne par Csa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal ( ; , )O i j d’unités

graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.

1. a. Calculer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

b. Calculer la limite de f en  .

c. Démontrer que la droite  d’équation y =x+1 est asymptote à la courbe C.

d. Étudier la position relative de Cet  sur ]0 ;  [.

2. a. Calculer  'f x pour tout x > 0.

b. Vérifier que pour tout x de ]0 ;  [,    

2 '

2

g x f x

x  .

c. Déduire de la partie A. le tableau de variations de f sur ]0 ;  [.

d. Calculer f(1). En déduire le signe de f sur ]0 ;  [.

3. Dans le plan muni du repère ( ; , )O i j , tracer la droite  et la courbe C.

Partie C (version 1)

1. Vérifier que la fonction F définie sur ]0 ;  [ par     221 1 ln

2 4 F x x x x    est une primitive de f.

2. Calculer l’intégrale   1

e

I f x dx  (on donnera la valeur exacte).

3. a. Hachurer sur le graphique la partie Edu plan limitée par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x =1 et x = e.

b. Déduire de la question 2. de la partie C. la valeur exacte de l’aire S de E en cm2, puis en donner la valeur arrondie en cm2, au mm2 près.

Partie C (version 2)

1. Démontrer qu’il existe une unique tangente à C parallèle à  , préciser les coordonnées du point de contact J et l’équation de cette tangente T. Tracer T dans le repère précédent.

2. Soit x un réel supérieur ou égal à 1. M et N sont les points d’abscisse x situés respectivement sur C et sur  .

a. Préciser, en fonction de x, la valeur de la distance MN.

b. Etudier sur [1 ;  [ les variations de la fonction h définie sur [1 ;  [ par   1 ln

2

x h x

x  .

c. Déduire des questions précédentes que la distance MN est maximale lorsque M est en J et préciser la valeur de cette distance maximale.

Correction

Partie A

1.   22 1 lng x x x    ,     2 1 2 1 21 1 4

' 4 x xx

g x x x x x

       . Sur ]0 ;  [ seul le terme 1 2x

change de signe : positif avant 1/2, négatif après 1/2.

2.

x 0 1/2 

g’(x) + −

g(x)

3 ln 2

2  

3. Le maximum de g est 3

ln 2 2   donc  

1 3 ln 2 0

2 2 g x g

         

.

Partie B

1. a.   1 ln

1 2

x f x x

x     :

ln 1 ln

x x

x x  ; or en 0 ln x tend vers  et

1

x tend vers  . Conclusion, f

tend vers  quand x tend vers 0 ; la droite x = 0 est asymptote de C.

b. On sait que ln x

x tend vers 0 quand x tend vers  donc f tend vers  car 1x  tend vers  .

c.     1 ln 1 ln

1 1 1 0 2 2 x

x x f x x x x

x x              donc la droite  y =x+1 est asymptote à la

courbe C.

d. Lorsque 1x  , 1 ln

0 2

x

x   car ln 0x  . Donc sur  1 ;  C est au-dessus de  ; sur  0 ;1 C est en

dessous de  .

2. a. b. c.    2

2 2 2

1 ln

1 2 1 ln ' 1

2 2 2

x x g xx xxf x

x x x

   

     . Donc f’ est négative et f décroissante.

x 0 1 

f’(x) − −

f(x)



0



d. f(1) = 0 : lorsque x est inférieur à 1,    1 0f x f  car f est décroissante. Lorsque x est supérieur à 1,

   1 0f x f  .

3.

Partie C (version 1)

1.       1 1 1 1 ln

' 2 1 2 ln 1 2 4 2

x F x x x x f x

x x

           

  : F est une primitive de f.

2.           2 22 2 2

1

1 1 1 1 1 3 1 ln 1 1 ln 1 1,726

2 4 2 4 2 4

e

I f x dx F e F e e e e e    

                       .

3. b. L’unité d’aire est 21 cm 2 cm 2 cm  ; on prend la valeur absolue de l’intégrale multipliée par

l’unité d’aire, ce qui nous fait 2 3

2 2

e e  , soit environ 3,45 cm2 au mm2 près.

Partie C (version 2)

1. Pour avoir une tangente parallèle à  , il faut trouver x tel que  ' 1f x   , soit 2

2

2 1 ln 1 ln 1

2

x x x x e

x

         . L’ordonnée est alors  

1 1

2 f e e

e     ; l’équation de T est

1 1 1 1

2 2 y x e e x

e e           .

2. a. Comme C est en dessous de  , on a       1 ln

1 2

x MN x f x h x

x       .

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6

x

y

b.   2

1 1 ln '

2

x h x

x

  qui change de signe en x e ; la distance MN est maximale lorsque M est en J et

cette distance vaut   ln 1

2 2

e h e

e e   .

1. 21. Ln+second degré+intégrale, Antilles 2001

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j . On considère la fonction f, définie sur

l’intervalle ]0 ;  [ par :

    2

3 ln 2 lnf x x x    .

On note (C ) sa courbe représentative.

Partie A - Étude de la fonction f et tracé de la courbe (C)

1. a. Résoudre dans ]0 ;  [ l’équation   0f x  . (On pourra poser lnx = X).

b. Résoudre dans ]0 ;  [ l’inéquation   0f x  .

2. a. Déterminer les limites de f en 0 et en  .

b. Calculer  'f x .

c. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

3. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse

5

4e .

4. Tracer la courbe (C) et la droite (T). (Unité graphique : 2 cm sur chaque axe.)

Partie B - Calcul d’une aire

1. Restitution organisée des connaissances :

Démontrer que la fonction h, définie par : lnh x x x x est une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0 ;  [ (attention on ne demande pas simplement de le vérifier…)

2. On pose

3

2

1 1 ln

e I xdx

e

  et   3

2 2

2 1 ln

e I x dx

e

  .

a. Calculer 1I .

b. Montrer que

3

2 2

5 5

4 I e

e   .

c. Calculer  

3

2

1

e I f x dx

e

  . En déduire l’aire, en unités d’aire, de l’ensemble des points M(x ; y) du plan

tels que

3

2 1

x e e   et   0f x y  .

Correction

Partie A     2

3 ln 2 lnf x x x    .

1. a.     2

3 ln 2 ln 0f x x x     : on pose lnX x d’où 2 1 2 3

3 2 0 1, 2

X X X X        d’où

1x e ou

3

2x e .

b.   3

2 1 2 3

3 2 0 ln ; 1 ; 0 ; ; 2

X X X x x e e                           

.

2. a. Toujours avec lnX x , lorsque x tend vers 0, X tend vers  donc 23 2X X   se comporte

comme 22X qui tend vers  ; lorsque x tend vers  , X tend vers  donc 23 2X X   se comporte

comme 22X qui tend vers  .

b.   1 1 1 4ln

' 2 2 ln x

f x x x x x

         .

c. f est croissante lorsque

1

4 1

4ln 1 0 ln 4

x x x e      .  1/ 4 1 1 25

3 2 4 16 8

f e       .

x 0 1 4e



Signe de f'(x) − 0 +

Variation de f



25

8



3.

5

4 5 25 24 10 25 9

3 2 4 16 8 8

f e                  

; 5 / 4 5 / 4

5 1 4

5 4' 4 4

f e e

  

    

  ;  5 / 4 5 / 4

9 4

8 y e x e   .

4.

Partie B

1. Restitution organisée des connaissances : on fait une intégration par parties en posant ' 1u  et

lnv x d’où on tire 1

ln ln ln 1 lnxdx x x x dx x x dx x x x x

         .

2. On pose

3

2

1 1 ln

e I xdx

e

  et   3

2 2

2 1 ln

e I x dx

e

  .

a.    

3

3 3 32 3 / 2 2 2 2

1 1 1/

3 1 1 1 2 ln ln 1

2 2

e

e

e I xdx x x x e e e

e e e e

          .

b.  

3

2 2

2 1 ln

e I x dx

e

  : intégration par parties en posant ' 1u  et   2

lnv x , soit u x , 1

' 2 lnv x x

 , soit

   

3 3

3 3 3 33 / 22 2 2 2 2 2 2 2

2 11 1 1/

9 1 9 1 4 5 5 ln ln 2ln 2

4 4 4

e

e

e e I x dx x x xdx e I e e e

e e e e e e

                .

c.  

3

3 3 3 3 32 2 2 2 2 2 2

1 21

1 3 1 2 5 5 9 3 ln 2 ln 3 2 3 2

2 4

e I x x dx e I I e e e e

e e e e e e

                                         

 .

Comme on a pu le remarquer les bornes

3

2 1

x e e   correspondent précisément aux valeurs de x pour

lesquelles f s’annule. La valeur de I est négative car f est négative sur cet intervalle ; on a donc l’aire, en

unités d’aire, égale à

3

2 9

7,8I e e

    .

1. 22. Ln et calculatrice, N. Caledonie 2005

6 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j .

Soit f la fonction définie sur ]1 ;  [ par : 2( ) 2,2 2,2ln( 1)f x x x x    .

1. Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans

la fenêtre 2 4x   , 5 5y   .

Reproduire sur la copie l’allure de la courbe obtenue grâce à la calculatrice.

2. D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :

a. Sur les variations de la fonction f ?

b. Sur le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 ?

3. On se propose maintenant d’étudier la fonction f.

a. Étudier le sens de variation de la fonction f.

b. Étudier les limites de la fonction f en 1 et en  , puis dresser le tableau de variations de f.

c. Déduire de cette étude, en précisant le raisonnement, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0.

d. Les résultats aux questions 3. a. et 3. c. confirment-ils les conjectures émises à la question 2.?

4. On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [0,1 ; 0,2], de façon à visualiser les résultats de la question 3.

a. Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnée y proposez-vous pourmettre en évidence les résultats de la question 3. c. dans la fenêtre de votre calculatrice ?

b. À l’aide de la calculatrice determiner une valeur approchée par défaut à 102 près de la plus grande solution  de l’équation f (x) = 0.

5. Soit F la fonction définie sur ]1 ;  [ par 3 2 1

( ) 1,1 2,2 2,2( 1)ln( 1) 3

F x x x x x x      .

a. Démontrer que F est une primitive de f sur ]1 ; +∞[.

b. Interpréter graphiquement l’intégrale 0

( )f x dx

c. Calculer 0

( )f x dx

et exprimer le résultat sous la forme 3 2b c  (b et c réels).

Correction

f sur ]1 ;  [ par : 2( ) 2,2 2,2ln( 1)f x x x x    .

1.

2. a. f semble croissante.

b. Il semble n’y avoir qu’une solution à l’équation f (x) = 0, mais c’est douteux.

3. a. 2 2 (2 0,2)2,2 2 2 2,2 2,2 2,2 2 0,2

'( ) 2 2,2 1 1 1 1

x xx x x x x f x x

x x x x

          

    ; on a deux racines, 0 et

0,1 ; le signe du trinôme donne f croissante avant 0, décroissante entre 0 et 0,1 puis de nouveau croissante.

b. En −1, ln( 1)x  tend vers  de même que f ; en 

les croissances comparées donnent le terme 2x gagnant et f tend vers  .

c. f s’annule donc deux fois : en 0 évidemment puis une deuxième fois après 0,1 puisque f est croissante entre 0,1 et  et passe d’un nombre négatif à des valeurs positives.

d. Evidemment non…

4. a. Le minimum est aux environs de −0,0003, et on peut prendre (0,2) 0,0011f  en positif.

b. On a 0,1517  , soit 0,15 à 102 près.

5. 3 2 1

( ) 1,1 2,2 2,2( 1)ln( 1) 3

F x x x x x x      .

a. On dérive F :

2 21 1'( ) .3 1,1.2 2,2 2,2 1. ln( 1) ( 1) 2,2 2,2 2,2 ln( 1) 2,2 ( ) 3 1

F x x x x x x x x f x x

                 

.

b. 0

( )f x dx

 représente l’aire algébrique (ici négative) comprise entre la courbe de f, les droites x = 0 et x  .

c. 3 2

0

1 ( ) ( ) (0) 1,1 2,2 2,2( 1)ln( 1)

3 f x dx F F

             ; comme ( ) 0f   , on a

x

f

−1

0

0 

f− +

 −0,000 3



0,1

0

0

2 22,2 2,2 ln( 1) 0 2,2 ln( 1) 2,2             ,

soit

 3 2 2 3 2 0

1 2 ( ) 1,1 2,2 ( 1) 2,2 0,1

3 3 f x dx

                .

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