Sciences statistiques - Exercice 5 - 3° partie, Exercices de Statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Exercice 5 - 3° partie, Exercices de Statistiques

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Sciences statistiques - Exercice 5 - 3° partie - Probabilités. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Promenades avec un guide, Promenades sans guide, Visite de musée, Accidents (Poisson).
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Calculer lim n n

p 

.

2. 89. Pièces d’1 euro et loi binom., France 2003

5 points

Un commerce possède un rayon « journaux » et un rayon « souvenirs ». À la fin d’une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon. On constate que la caisse du rayon « journaux » contient 3 fois plus de pièces de 1 € que celle du rayon « souvenirs ». Les pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face differe et symbolise un des pays utilisant lamonnaie unique.

Ainsi, 40 % des pièces de 1 € dans la caisse du rayon « souvenirs » et 8 % de celles du rayon « journaux » portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira « face étrangère »).

1. Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche les pièces portant une face étrangère. Pour cela il prélève au hasard et avec remise 20 pièces issues de la caisse « souvenirs ». On note X la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre de pièces portant une face « étrangère ».

a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité qu’exactement 5 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.

c. Calculer la probabilité qu’au moins 2 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.

2. Les pièces de 1 € issues des deux caisses sont maintenant rassemblées dans un sac.

On prélève au hasard une pièce du sac.

On note S l’évènement « la pièce provient de la caisse souvenirs » et E l’évènement « la pièce porte une face étrangère ».

a. Déterminer P(S), PS(E) ; en déduire P(S  E).

b. Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est égale à 0,16.

c. Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la probabilité qu’elle provienne de la caisse « souvenirs ».

3. Dans la suite, la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans le sac porte une face étrangère est égale à 0,16. Le collectionneur prélève n pièces (n entier supérieur ou égal à 2) du sac au hasard et avec remise.

Calculer n pour que la probabilité qu’il obtienne au moins une pièce portant une face étrangère soit supérieure ou égale à 0,9.

2. 90. Promenades avec un guide, Antilles 2003

5 points

Une association organise des promenades en montagne. Douze guides emmènent chacun, pour la journée, un groupe de personnes dès le lever du Soleil. L’été il y a plus de demandes que de guides et chaque groupe doit s’inscrire la veille de la promenade.

Mais l’expérience des dernières années prouve que la probabilité que chacun des groupes inscrits ne se

présente pas au départ de la promenade est égale à 1

8 . On admettra que les groupes inscrits se

présentent indépendamment les uns des autres.

Les probabilités demandées seront arrondies au 100ème le plus proche.

1. a. Montrer que la probabilité qu’un jour donné les 12 groupes inscrits soient tous présents est comprise entre 0,20 et 0,21.

b. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où les 12 groupes inscrits se sont tous présentés au départ lors d’unmois de 30 jours. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Donner la signification des évènements X = 30 puis X = 0 et calculer la probabilité de ces évènements. Préciser l’espérance mathématique E(X). Quelle signification peut-on donner à ce résultat ?

c. Une somme de 1 Crédit (la monnaie locale) est demandée à chaque groupe pour la journée. Cette somme est réglée au départ de la promenade.

Dans le cas où un groupe ne se présente pas au départ, l’association ne gagne évidemment pas le Crédit que ce groupe aurait versé pour la journée.

On nomme S la variable aléatoire égale à la somme, en Crédits, perçue par l’association un jour donné.

Calculer la probabilité de l’évènement [S = 11]. Préciser l’espérance mathématique de S.

2. a. Agacé par le nombre de guides inemployés, le dirigeant de l’association décide de prendre chaque jour une réservation supplémentaire. Évidemment si les 13 groupes inscrits se présentent, le 13ème groupe sera dirigé vers une activité de substitution. Toutefois, cette activité de remplacement entraîne une dépense de 2 Crédits à l’association.

Quelle est a probabilité P13 qu’un jour donné il n’y ait pas de désistement, c’est-à-dire que les 13 groupes inscrits la veille se présentent au départ de la promenade?

b. Soit R la variable aléatoire égale au coût de l’activité de substitution.

Préciser la loi de la variable aléatoire R et calculer son espérance mathématique.

c. Montrer que le gain moyen obtenu pour chaque jour est :

13 13

13

0

7 1 2P

13 8 8

k k

k

k k

                    .

Calculer ce gain.

d. La décision du dirigeant est-elle rentable pour l’association ?

2. 91. Promenades sans guide, Asie 2001

Pour rejoindre le sommet S d’une montagne des Alpes à partir d’un point de départ D, les randonneurs ont la possibilité d’emprunter plusieurs parcours. La course n’étant pas faisable en une journée, ils doivent passer une nuit dans l’un des deux refuges se trouvant à la même altitude de 1400 mètres sur les parcours existants ; les deux refuges ne sont pas situés au même endroit. On les appelle R1 et R2.

Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à 2500 mètres d’altitude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R3, ou atteindre le sommet directement.

La probabilité que les randonneurs choisissent de passer par R1 est égale à 1

3 .

La probabilité de monter directement au sommet en partant de R1 est égale à 3

4 .

La probabilité de monter directement au sommet en partant de R2 est égale à 2

3 .

1. Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du départ D jusqu’au sommet S.

2. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

E1 : « Les randonneurs ont fait une halte au refuge R3 sachant qu’ils ont passé la nuit au refuge R1 » ;

E2 : « Les randonneurs ont fait une halte au refuge R3 » ;

E3 : « Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R1 sachant qu’ils ont fait une halte au refuge R3 » ;

E4 : « Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R2 sachant que le deuxième jour ils sont montés directement au sommet S ».

3. On note d(M, N) la distance, en km, à parcourir pour se rendre du point M au point N.

On donne

d(D, R1) = 5 ; d(D, R2) = 4 ; d(R1, R3) = 4 ; d(R2, R3) = 4,5 ; d(R3, S) = 2 ; d(R1, S) = 5,5 ; d(R2, S) = 6.

Soit X la variable aléatoire qui représente la distance parcourue par les randonneurs pour aller du départ D au sommet S.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l’espérance mathématique de X.

D

R2

R1

S

2 5,5 6

4 4,5

5 4

R3

2. 92. Visite de musée, Centres étrangers 2001

Le directeur d’unmusée, dont le plan est fourni ci-dessous, organise une exposition.

Afin de prévoir la fréquentation des salles, il décide d’imaginer le parcours d’un visiteur, pris au hasard, en faisant les hypothèses suivantes :

− Le visiteur passe au hasard d’une salle à une salle voisine.

Pour sortir d’une salle, il franchit de manière équiprobable n’importe quelle autre porte que celle qu’il a utilisée pour entrer.

Dans le parcours du visiteur, le directeur ne s’intéresse qu’aux quatre premières salles traversées, l’entrée E étant comprise dans celles-ci. Un trajet par ces quatre premières salles est codé par un mot de quatre lettres, commençant par la lettre E.

Par exemple :

− Si le visiteur passe successivement par les salles E, B, D, F, on codera son trajet par le mot EBDF.

− Le trajet codé EBDB est impossible avec les hypothèses choisies.

1. On considère un visiteur, pris au hasard, devant effectuer un trajet selon les hypothèses précédentes.

a. Construire l’arbre pondéré des différents trajets possibles pour ce visiteur.

b. Montrer que la probabilité du parcours codé EBDF est 1

6 .

c. Déterminer la probabilité p1 de l’évènement : « La quatrième salle du trajet est F ».

d. Pour des raisons techniques, le directeur installe les oeuvres les plus intéressantes dans la salle T. Déterminer la probabilité p2 de l’évènement « Le trajet passe par la salle T ».

2. Le directeur imagine dix visiteurs pris au hasard, effectuant chacun un trajet, de manière indépendante et selon les hypothèses précédentes.

On appelle X la variable aléatoire qui, aux dix visiteurs, associe le nombre de leurs trajets passant par la salle T.

a. Calculer la probabilité de l’évènement (X = 1).

b. Calculer la probabilité que deux visiteurs au moins passent par la salle T. (Donner le résultat arrondi au millième.)

c. Le directeur décide d’obliger les visiteurs à se diriger, après l’entrée, vers la salle A, les hypothèses précédentes demeurant pour la suite des trajets. Il pense ainsi augmenter la probabilité que deux visiteurs au moins, sur les dix, passent par la salle T.

Prouver qu’il a tort.

2. 93. Loi de Poisson, Pondichéry 2007

6 points

Pour réaliser une enquête, un employé interroge des personnes prises au hasard dans une galerie commerçante. Il se demande si trois personnes au moins accepteront de répondre.

1. Dans cette question on suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard accepte de répondre est 0,1. L’employé interroge au hasard 50 personnes de manière indépendante. On considère les événements :

A : « au moins une personne accepte de répondre » ;

B : » moins de trois personnes acceptent de répondre » ;

C : « trois personnes ou plus acceptent de répondre ».

Calculer les probabilités des événements A, B et C. On arrondira au millième.

2. Soit n un entier supérieur ou égal à 3. Dans cette question on suppose que la variable aléatoire X qui, à tout groupe de n personnes interrogées indépendamment, associe le nombre de personnes ayant accepté de répondre, suit la loi de probabilité définie par :

Pour tout entier k tel que 0 1k n   ,   !

a ke a P X k

k

  et   1

0

1 !

n a k

k

e a P X n

k

 

   ,

formules dans lesquelles 10

n a  .

a. Montrer que la probabilité qu’au moins trois personnes répondent est donnée par :

  2

1 1 2

a af a e a  

      

.

b. Calculer  5f . En donner l’arrondi au millième. Cette modélisation donne-t-elle un résultat voisin de

celui obtenu à la question 1 ?

3. On conserve le modèle de la question 2. On souhaite déterminer le nombre minimum de personnes à interroger pour que la probabilité que trois d’entre elles au moins répondent soit supérieure ou égale à 0,95.

a. Etudier les variations de la fonction f définie sur  par   2

1 1 2

x xf x e x  

      

ainsi que sa

limite en  . Dresser son tableau de variation.

b. Montrer que l’équation   0,95f x  admet une solution unique sur  et que cette solution est

comprise entre 6,29 et 6,3.

c. En déduire le nombre minimum de personnes à interroger.

2. 94. Accidents (Poisson), N. Calédonie 2003

5 points

On observe sur une longue période le nombre d’accidents de scooters à un carrefour.

Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour n scooters franchissant le carrefour durant une année (n est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire Sn qui totalise le nombre d’accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale ; on estime que l’espérance mathématique de Sn notée E(Sn) est égale â 10.

Soit p la probabilité pour un scooter d’être accidenté à ce carrefour pendant l’année considérée.

1. Calculer p, puis justifier l’égalité 10 10

( ) 1

k n k

n

n P S k

k n n

      

            

k est un entier tel que 0 k n  .

2. a. Établir l’égalité  

10 ln 1

ln ( 0) 10 10n

n P S

n

   

    

où ln désigne la fonction logarithme népérien ; en

déduire que 10lim ( 0)n n

P S e

   .

b. Démontrer que 10

( 1) ( ) 10 1

n n

n k P S k P S k

n k

      

  , où k est un entier naturel tel que 0 1k n   .

c. Démontrer que si 10 10

lim ( ) !

k

n n

P S k e k

   pour 0 k n  , alors on a également

1 10 10lim ( 1)

( 1)!

k

n n

P S k e k

 

   

 pour 0 1k n   .

d. Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l’entier naturel k que

10 10lim ( ) !

k

n n

P S k e k

   où k est un entier naturel tel que 0 k n  .

3. On suppose que le nombre n est suffisamment grand pour que l’on puisse admettre que 10 10

!

k

e k

 est

une approximation acceptable de P(Sn = k). Utiliser cette approximation pour calculer à 104 près la probabilité pour qu’au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carrefour.

2. 95. Loterie

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

Un joueur achète 2 € un billet permettant de participer à un jeu constitué d’un grattage suivi d’une loterie.

Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 15 € avec une probabilité de 1

50 ou bien ne rien

gagner.

G désigne l’événement : « le joueur gagne au grattage ».

Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. A cette loterie il peut gagner 15 € ou 30 € ou bien ne rien gagner.

L1 désigne l’événement : « Le joueur gagne 15 € à la loterie » ;

L2 désigne l’événement : « Le joueur gagne 30 € à la loterie » ;

P désigne l’événement : « Le joueur ne gagne rien à la loterie ».

Si le joueur n’a rien gagné au grattage, la probabilité qu’il gagne 15 € à la loterie est 1

70 et la probabilité

qu’il gagne 30 € à la loterie est 1

490 .

1. a. Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent.

b. Calculer la probabilité pour que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il n’a rien gagné au grattage. Compléter l’arbre obtenu avec cette valeur.

c. Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.

2. On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur , après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.

La probabilité de l’événement « X = 13 » est 2

125 .

La probabilité de l’événement « X = 28 » est 1

250 .

a. Montrer que la probabilité que le joueur gagne 15 € à la loterie, sachant qu’il a gagné 15 € au grattage

est égale à 1

10 .

b. Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie , sachant qu’il a gagné 15 € au grattage.

c. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l’espérance de X. Ce jeu est-il équitable ?

3. Chaine de Markov

3. 96. Chaine de Markov, N. Calédonie 2009

5 points

Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.

La probabilité que la première cible soit atteinte est 1

2 . Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que

la suivante le soit est 3

4 . Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte

est 1

2 .

On note, pour tout entier naturel n non nul :

An l’évènement : « la n-ième cible est atteinte ».

nA l’évènement : « la n-ième cible n’est pas atteinte.

an la probabilité de l’évènement An

bn la probabilité de l’évènement nA .

1. Donner a1 et b1. Calculer a2 et b2. On pourra utiliser un arbre pondéré.

2. Montrer que, pour tout n , n > 1 : 1 3 1

4 2 n n na a b   puis : 1

1 1

4 2 n na a   .

3. Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n non nul, par 2

3 n nU a  .

a. Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique. On précisera la raison et le premier terme U1.

b. En déduire l’expression de Un en fonction de n, puis l’expression de an en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (an).

d. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : an >0,6665.

3. 97. Tirages successifs, Asie 2008

5 points

On considère plusieurs sacs de billes S1, S2, . . . , Sn, . . . tels que :

– le premier, S1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes ;

– chacun des suivants, S2, S3, . . . , Sn, . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :

– on tire au hasard une bille dans S1 ;

– on place la bille tirée de S1 dans S2, puis on tire au hasard une bille dans S2 ;

– on place la bille tirée de S2 dans S3, puis on tire au hasard une bille dans S3 ;

– etc.

Pour tout entier 1n  , on note En l’évènement : « la bille tirée dans Sn est verte » et on note  Enp sa

probabilité.

1. Mise en évidence d’une relation de récurrence

a. D’après l’énoncé, donner les valeurs de  1Ep ,  E 2 1

Ep ,  2E 1

Ep . En déduire la valeur de  2Ep .

b. À l’aide d’un arbre pondéré, exprimer  1Enp  en fonction de  Enp .

2. Étude d’une suite : on considère la suite  nu définie par : 1

1

2

5

1 2

5 5 n n

u

u u

 

    

pour tout 1n  .

a. Démontrer que la suite  nu est majorée par 1.

b. Démontrer que  nu est croissante.

c. Justifier que la suite  nu est convergente et préciser sa limite.

3. Évolution des probabilités  Enp

a. À l’aide des résultats précédents, déterminer l’évolution des probabilités  Enp .

b. Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on :  0,49999 E 0,5np  ?

3. 98. Hérédité, Polynésie sept 2007

4 points

La végétation d’un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plantes : 40 % de type A, 41 % de type B et 19 % de type C.

On admet qu’au début de chaque année :

- chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.

- chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.

- chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type C.

La probabilité qu’une plante de type A soit remplacée par une plante de même type est 0,6 et celle qu’elle le soit par une plante de type B est 0,3.

La probabilité qu’une plante de type B soit remplacée par une plante de même type est 0,6 et celle qu’elle le soit par une plante de type A est 0,3.

Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type.

Pour tout entier naturel n non nul, on note :

- An l’événement « la plante choisie la n-ième année est de type A »,

- Bn l’événement « la plante choisie la n-ième année est de type B »,

- Cn l’événement « la plante choisie la n-ième année est de type C ».

On désigne par pn, qn et rn les probabilités respectives des vénements An, Bn et Cn. Compte tenu de la

composition initiale de la végétation (année 0), on pose 0 0,40p  , 0 0,41q  et 0 0,19r  .

1. Recopier sur la copie et compléter l’arbre pondéré ci-contre, en remplaçant chaque point d’interro-gation par la probabilité correspondante. Aucune justification n’est demandée pour cette question.

2. a. Montrer que 1 0,363p  puis calculer 1q et

1r .

b. Montrer que, pour tout entier naturel n non

nul : 1

1

0,6 0,3

0,3 0,6

n n n

n n n

p p q

q p q

  

  .

3. On définit les suites (Sn) et (Dn) sur par :

n n nS p q  et n n nD p q  .

a. Montrer que (Sn) est une suite géométrique dont on précisera la raison. On admet que (Dn) est une suite géométrique de raison 0,3.

b. Déterminer les limites des suites (Sn) et (Dn).

c. En déduire les limites des suites (pn), (qn) et (rn).

Interpréter le résultat.

Début de l'année 1

Début de l'année 0

?

C

?

C

?

B

? A

?

C

?

B

?

C

?

B

? A

?

A

3. 99. Chaîne de Markov, Liban 2007

4 points

On considère deux urnes U1 et U2.

L’urne U1 contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher.

L’urne U2 contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher.

On réalise des tirages en procédant de la manière suivante :

Étape 1 : On tire au hasard une boule dans U1, on note sa couleur et on la remet dans U1.

Étape n (n >2) :

* Si la boule tirée à l’étape (n−1) est blanche, on tire au hasard une boule dans U1, on note sa couleur et on la remet dans U1.

* Si la boule tirée à l’étape (n−1) est noire, on tire au hasard une boule dans U2, on note sa couleur et on la remet dans U2.

On note An l’évènement « le tirage a lieu dans l’urne U1 à l’étape n » et pn sa probabilité. On a donc p1 = 1.

1. Calculer p2.

2. Montrer que pour tout n entier naturel non nul, 1 0,8 0,05n np p   . On pourra s’aider d’un arbre

pondéré.

3. Calculer p3.

4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n entier naturel non nul, pn > 0,25.

b. Démontrer que la suite (pn) est décroissante.

c. En déduire que la suite (pn) est convergente vers un réel noté l.

d. Justifier que l vérifie l’équation : l = 0,8l + 0,05. En déduire la valeur de l.

3. 100. Chaîne de Markov, Asie 2006

4 points

Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7. Et s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,8.

Dans tout l’exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les évènements :

Gn : « Pierre gagne la n-ième partie ».

Pn : « Pierre perd la n-ième partie ».

On pose : pn = p(Gn) et qn = p(Pn).

1. Recherche d’une relation de récurrence.

a. Déterminer p1 puis les probabilités conditionnelles  G 21 Gp et  P 21 Gp .

b. Justifier l’égalité pn + qn = 1.

c. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 0,5pn +0, 2.

2. Étude de la suite (pn) : on pose, pour tout entier naturel n non nul, 2

5 n nv p  .

a. Prouver que la suite (vn) est une suite géométrique et exprimer vn en fonction de n.

b. En déduire l’expression de pn en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (pn) quand n tend vers  .

3. 101. Markov, binomiale, N. Calédonie 2003

5 points

Une société de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adapté à ses services.

On note, pour n entier naturel non nul, In l’évènement « La société intervient durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur » et pn = p(In) la probabilité de l’évènement In.

Le bureau d’étude a mis en évidence les résultats suivants pour une entreprise déterminée :

• p(I1) = p1 = 0,75.

Sachant qu’il y a eu une intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,04.

Sachant qu’iI n’y a pas eu d’intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,64.

On rappelle que A est l’évènement contraire de l’évènement A et que pB(A) est la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé.

PARTIE 1

1. Préciser  1I nnp I  et  1nInp I  puis calculer  1n np I I  et  1n np I I  en fonction de pn (n  *).

2. En déduire 1 0,6 0,64n np p    .

3. On considère la suite (qn) définie sur *par : qn = pn − 0,4.

a. Démontrer que (qn) est une suite géométrique.

b. En déduire qn puis pn en fonction de n.

c. Donner une valeur approchée de p6 à 103 près par excès.

PARTIE 2

Le même mois, la société de maintenance installe un photocopieur dans 10 entreprises. Six mois plus tard, elle désire libérer une partie de son personnel afin de proposer un stage de mise à niveau.

On estime que la probabilité d’intervention du service de maintenance durant ce mois auprès de chacune de ces entreprises est égale à 0,373.

Donner, à 103 près par excès, la probabilité qu’il y ait au moins un déplacement du service de maintenance durant ce mois (on supposera que les interventions dans les différentes entreprises sont des évènements indépendants).

3. 102. Ramassage (Markov), C. étrangers 2004

5 points

Un employé se rend à son travail. S’il est à l’heure il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par l’entreprise, s’il est en retard il prend le bus de la ville et il lui en coûte 1,50 €.

Si l’employé est à l’heure un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est 1

5 , s’il est en

retard un jour donné la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est 1

20 .

Pour tout entier naturel non nul n, on appelle Rn l’évènement : « l’employé est en retard le jour n ». On

note pn la probabilité de Rn et qn celle de nR . On suppose que p1 = 0.

1. Détermination d’une relation de récurrence.

a. Déterminer les probabilités conditionnelles 1( )R nnp R  et 1( )nRn p R  .

b. Déterminer p(Rn+1  Rn) en fonction de pn et p(Rn+1  nR ) en fonction de qn.

c. Exprimer pn+1 en fonction de pn et de qn.

d. En déduire que 1 1 3

5 20 n np p   .

2. Étude de la suite (pn). Pour tout entier naturel non nul n, on pose 4

23 n nv p  .

a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison 3

20  .

b. Exprimer vn puis pn en fonction de n.

c. Justifier que la suite (pn) est convergente et calculer sa limite.

3. 103. Génétique (Markov)

L’objet de l’exercice est une application du calcul des probabilités à la génétique. Une première question est consacrée à une étude de suites qui interviennent dans cette application.

1. Soit  un nombre réel non nul différent de 1. On considère les suites na et nb définies par :

0 0

1 1

0 et 1

1 et

2 n n n n n

a b

a a b b b

 

  

   

a. Exprimer nb en fonction de n et de  pour tout n.

b. En déduire la valeur de 1n na a  et montrer que 1

(1 ) 2

n na   pour tout entier n

2. Etant donné un gène possédant un couple d’allèles A et a, on dit qu’une plante est homozygote lorsqu’elle contient les deux mêmes allèles sur une paire de chromosomes homologues : elle est alors de génotype AA ou aa. Une plante est hétérozygote lorsqu’elle est de génotype Aa. Certaines plantes se reproduisent par autogamie ou autofécondation : tout se passe pour la descendance comme si on fécondait deux plantes de même génotype, chaque chromosome d’une paire étant sélectionné au hasard.

a. Calculer les probabilités pour qu’une plante de génotype AA, ou Aa, ou aa donne par autogamie une plante de génotype AA, Aa ou aa . On présentera les résultats sous forme de tableau :

Génotype de la plante initiale

AA Aa aa

AA

Génotype du descendant Aa

aa

Ainsi à l’intersection de la colonne Aa et de la ligne aa on fera figurer la probabilité pour qu’une plante de génotype Aa donne par autogamie une plante de génotype aa (le total de chaque colonne est donc forcément 1).

b. Partant d’une plante hétérozygote (Aa) (génération 0) on constitue par autogamie des générations successives. On note

AAn l’événement « la plante de la n-ième génération est de génotype AA »

Aan l’événement « la plante de la n-ième génération est de génotype Aa »

aan l’événement « la plante de la n-ième génération est de génotype aa »

on appelle xn la probabilité de AAn, yn la probabilité de Aan , zn la probabilité de aan, en particulier

0 0x  , 0 1y  , et 0 0z  .

Calculer x1 , y1 , et z1.

c. Déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :

un+1=P(AAn+1/AAn),

vn+1=P(AAn+1/Aan),

wn+1=P(Aan+1/Aan),

Utiliser ces probabilités conditionnelles pour montrer que 1 1

4 n n nx x y   et 1

1

2 n ny y  .

d. Utiliser les résultats du 1° pour donner les valeurs de xn et yn. Que vaut xn + yn + zn ? en déduire zn .

e. On garde les hypothèses et notations du b. Calculer la probabilité pn pour qu’une plante de la n-ième

génération ne soit pas homozygote. A partir de quelle génération a-t-on p 0,01n  ?

3. 104. Urnes et jetons (Markov)

On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On imagine n sacs de jetons S1, S2, ..., Sn.

Au départ, le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc, et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir et 1 jeton blanc.

On se propose d'étudier l'évolution des tirages successifs d'un jeton de ces sacs, effectués de la façon suivante :

Première étape : on tire au hasard un jeton de S1.

Deuxième étape : on place ce jeton dans S2, et on tire, au hasard, un jeton de S2.

Troisième étape : après avoir placé dans S3 le jeton sorti de S2, on tire, au hasard, un jeton de S3 ...et ainsi de suite...

Pour tout entier naturel k tel que 1 k n  , on note Ek l'événement : « Le jeton sorti de Sk est blanc », et

kE l'événement contraire.

1. a. Déterminer la probabilité de 1E , notée P(E1), et les probabilités conditionnelles : 21 ( )EP E et 21 ( )

E P E .

En déduire la probabilité de E2, notée P(E2).

b. Pour tout entier naturel k tel que 1 k n  , la probabilité de Ek est notée pk. Justifier la relation de

récurrence suivante : 1 1 1

3 3 k kp p   .

2. Étude d'une suite (un) : on note (uk) la suite définie par u1 = 1

3 et, pour tout entier naturel k,

1

1 1

3 3 k ku u   .

a. On considère la suite (vk) définie par : pour tout élément k de *, 1

2 k kv u  . Démontrer que (vk) est

une suite géométrique.

b. En déduire l'expression de uk en fonction de k. Montrer que la suite (uk) est convergente et préciser sa limite.

3. Dans cette question, on suppose que n = 10.

Déterminer pour quelles valeurs de k on a : 0,4999 0,5kp  .

3. 105. Feux rouges (Markov), Asie 2002

Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l’avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores.

Pour tout entier naturel n 1, on note En l’évènement «Amélie est arrêtée par le n-ième feu rouge ou

orange » et En l’évènement contraire. Le feu orange est considéré comme un feu rouge.

Soit pn la probabilité de En et qn celle de En .

La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orange vaut 1

8 .

On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées :

- la probabilité que le n +1ième feu tricolore soit rouge ou orange, si le nième feu est rouge ou orange, vaut 1

20 .

- la probabilité que le n +1 ième feu tricolore soit rouge ou orange, si le nième feu est vert, est égale à 9

20 .

1. On s’intéresse, tout d’abord, aux deux premiers feux tricolores.

a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

b. On note X la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux feux tricolores. Déterminer la loi de probabilité de X.

c. Calculer l’espérance mathématique de X.

2. On se place maintenant dans le cas général.

a. Donner les probabilités conditionnelles  E 1Ennp  et  1E Ennp  .

b. En remarquant que    1 1 1E E E E En n n n n      , montrer, pour tout n 1, 1 1 9

20 20 n n np p q   .

vert

rouge/orange

rouge/orange

1er feu 2ème feu

9

20

1

8

1

20

c. En déduire l’expression de pn+1 en fonction de pn.

3. Soit la suite (un) de nombres réels définie pour tout entier naturel n 1 par 28 9n nu p  .

a. Montrer que (un) est une suite géométrique et déterminer sa raison k.

b. Exprimer un, puis pn en fonction de n.

c. Déterminer la limite, si elle existe, de pn, quand n tend vers  . Donner une interprétation de ce résultat.

3. 106. Assurance, Polynésie 2002

Une compagnie d’assurance automobile fait un bilan des frais d’intervention, parmi ses dossiers d’accidents de la circulation.

85 % des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle.

20 % des dossiers entraînent des frais de dommages corporels.

12 % des dossiers entraînant des frais de réparation matérielle entraînent aussi des frais de dommages corporels.

Soit les évènements suivants :

R : le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle,

D : le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels.

1. En utilisant les notations R et D, exprimer les trois pourcentages de l’énoncé en termes de probabilités ; les résultats seront donnés sous forme décimale.

2. Calculer la probabilité pour qu’un dossier :

a. entraîne des frais de réparationmatérielle et des frais de dommages corporels ;

b. entraîne seulement des frais de réparation matérielle ;

c. entraîne seulement des frais de dommages corporels ;

d. n’entraîne ni frais de réparation matérielle ni frais de dommages corporels ;

e. entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu’il entraîne des frais de dommages corporels.

3. On constate que 40 % des dossiers traités correspondent à des excès de vitesse et parmi ces derniers 60 % entraînent des frais de dommages corporels.

a. On choisit un dossier ; quelle est la probabilité pour que ce dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels ?

b. On choisit cinq dossiers de façon indépendante. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels.

3. 107. Chaîne de Markov, Antilles 2002

5 points

1. Soit la suite (un) définie par 1 1

2 u  et par la relation de récurrence : 1

1 1

6 3 n nu u   .

a. Soit la suite (vn) définie pour n 1 par 2

5 n nv u  ; montrer que (vn) est une suite géométrique dont

on précisera la raison.

b. En déduire l’expression de vn en fonction de n puis celle de un.

2. On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rouges et trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces blanches.

On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde le même dé, si on obtient blanc, on change de dé. Puis on relance le dé et ainsi de suite.

On désigne par An l’évènement « on utilise le dé A au n-ième lancer », par nA l’évènement contraire de

An,

par Rn l’évènement « on obtient rouge au n-ième lancer », par nR l’évènement contraire de Rn, par an et

rn les probabilités respectives de An et Rn.

a. Déterminer a1.

b. Déterminer r1. Pour cela, on pourra s’aider d’un arbre.

c. En remarquant que, pour tout n 1,    n n n n nR R A R A    , montrer que 1 1

6 3 n nr a  .

d. Montrer que, pour tout n 1,    1n n n n nA R A R A     .

e. En déduire que, pour tout n 1, 1 1 1

6 3 n na a   , puis déterminer l’expression de an en fonction de n.

f. En déduire l’expression de rn en fonction de n puis la limite de rn quand n tend vers  .

3. 108. Fléchettes et chaîne de Markov, Asie 2000

4 points

Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d’une fléchette.

Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 1

3 .

Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu’elle manque la cible au lancer suivant est

égale à 4

5 .

On suppose qu’au premier lancer elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer.

Pour tout entier naturel n strictement positif, on considère les évènements suivants :

An : « Alice atteint la cible au n-ième coup ».

Bn : « Alice rate la cible au n-ième coup ».

On pose Pn = p(An).

Pour les questions 1. et 2. on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré.

1. Déterminer p1 et montrer que 2 4

15 p  .

2. Montrer que, pour tout entier naturel n 2, 1 2 1

15 15 n np p   .

3. Pour n 1 on pose 3

13 n nu p  . Montrer que la suite (un) est une suite géométrique, dont on

précisera le premier terme u1 et la raison q.

4. Écrire un puis pn en fonction de n.

5. Déterminer lim n n

p 

.

3. 109. Promenade aléatoire, Polynésie 2005

5 points

On étudie le mouvement aléatoire d’une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. À l’instant 0, la puce est en A.

Pour tout entier naturel n :

si à l’instant n la puce est en A, alors à l’instant (n +1), elle est : soit en B avec une probabilité égale à 1

3 ; soit en C avec une probabilité égale à

2

3 ;

si à l’instant n la puce est en B, alors à l’instant (n +1), elle est : soit en C, soit en A de façon équiprobable ;

si à l’instant n la puce est en C, alors elle y reste.

On note An (respectivement Bn, Cn) l’évènement « à l’instant n la puce est en A » (respectivement en B, en C). On note an (respectivement bn, cn) la probabilité de l’évènement An, (respectivement Bn, Cn).

On a donc : a0 = 1, b0 = c0 = 0.

Pour traiter l’exercice, on pourra s’aider d’arbres pondérés.

1. Calculer ak , bk et ck pour k entier naturel tel que 1 3k  .

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 1n n na b c   et 1

1

1

2

1 .

3

n n

n n

a b

b a

 

   

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, 2 1

6 n na a  .

c. En déduire que, pour tout entier naturel p, 2 2 1

2 2 1

1 et 0

6

1 1 0 et .

3 6

p

p p

p

p p

a a

b b

      

      

     

3. Montrer que lim 0n n

a 

 . On admet que lim 0n n

b 

 . Quelle est la limite de cn lorsque n tend vers  ?

3. 110. Petit commerce, Antilles 2003

5 points

Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d’un article. Un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par A pouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure sur 3 % des pièces et un défaut sur un composant électronique sur 2 % des pièces. Les deux défauts étant indépendants l’un de l’autre. Un article sera défectueux s’il présente au moins un des deux défauts.

1. Montrer que la probabilité qu’un article soit défectueux est 0,0494.

2. Une grande surface reçoit 800 de ces articles. Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’articles défectueux. Définir la loi de probabilité de X, calculer son espérance mathématique. Interpréter.

3. a. Un petit commerçant commande 25 articles à A. Calculer à 10−3 près la probabilité qu’il y ait plus de deux articles défectueux dans la commande.

b. Il veut que sur sa commande la probabilité qu’il y ait au moins un article défectueux soit inférieure à 50 %. Quel est le nombre maximal d’articles qu’il peut commander ?

4. La durée de vie en jours de chaque article est donnée par une loi exponentielle de paramètre 0,0007. Calculer la probabilité, à 10−3 près, qu’un article ait une durée de vie comprise entre 700 et 1000 jours.

4. Probabilités continues

4. 111. QCM probas continues, La Réunion 2003

5 points

1. Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. On tire une boule ; les boules ont toutes la même probabilité d’être tirées. On effectue n tirages indépendants et avec remise, n supérieur ou égal à 10. Soit X la v.a. égale au nombre de boules blanches tirées.

a. X suit une loi binômiale de paramètres n et 1/4. c. P(X 5) 1 P(X 5)    .

b. 2

1 P(X 0)

2 n   . d. E(X) 0,25n .

2. Une maladie atteint 1 % d’une population donnée. Un test de dépistage de cette maladie a les caractéristiques suivantes :

* chez des individus malades 99 % des tests sont positifs et 1 % négatifs ;

* chez des individus sains 98 % des tests sont négatifs, 2 % positifs.

Un individu est choisi au hasard et on lui applique le test. Soit M l’événement « l’individu est malade » et T l’événement « le test pratiqué est positif ».

a. M MP (T) P (T) 1,01  . c. 2P(T) 2,97.10 .

b. M MP (T) P (T) P(T)  . d. Sachant que le test est positif il y a deux chances sur trois pour que l’individu testé ne soit pas malade.

3. La durée d’attente en secondes à la caisse d’un supermarché est une v.a. Y qui suit une loi exponentielle de paramètre 0,01.

a. La densité de probabilité de Y est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

0,01( ) tf t e .

c. La probabilité d’attendre moins de 3 minutes à cette caisse est 0,16 à 10−2 près.

b. Pour tout réel t  0, 0,01P(Y ) 1 tt e   . d. Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit supérieure à une minute.

4. 112. Autocars, Asie 2003

5 points

Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des événements extérieurs comme des chutes de pierre, des troupeaux sur la route, etc.

Un autocar part de son dépôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’au premier blocage. On admet que D suit une loi exponentielle de paramètre

1

82   . On arrondira les résultats au millième.

1. Calculer la probabilité que la distance parcourue sans blocage soit :

a. comprise entre 50 et 100 km ;

b. supérieure à 300 km.

2. Sachant que l’autocar a parcouru 350 km sans blocage, quelle est la probabilité qu’il n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres ?

3. a. A l’aide d’une intégration par parties calculer 82 0

1 ( )

82

x A

I A xe dx

  où A est un nombre positif.

b. Calculer la limite M de I(A) lorsque A tend vers +∞. On admettra que M est la distance moyenne parcourue par un autocar avant le premier blocage.

4. L’entreprise possède N0 autocars. Les distances parcourues par chacun entre le dépôt et le lieu où survient un blocage sont des variables aléatoires deux à deux indépendantes et de même loi

exponentielle de paramètre 1

82   . d étant un réel positif, on note Xd la v.a. égale au nombre d’autocars

n’ayant subi aucun blocage après avoir parcouru d kilomètres.

a. Montrer que Xd suit une loi binômiale de paramètres N0 et de  .

b. Donner le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun blocage après avoir parcouru d kilomètres.

4. 113. Durée de vie d’une machine

La moyenne de durée de vie d’une machine, telle qu’annoncée par le constructeur, est de 5000 heures.

a. Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas de défaillance au cours de 2000 premières heures d’utilisation de la machine.

b. Sachant que la machine n’a pas connu de défaillance au cours des 2000 premières heures d’utilisation, quelle est la probabilité que cette machine ne connaisse aucune défaillance pendant les 6000 premières heures d’utilisation ?

4. 114. Oscilloscopes, Polynésie 2004

4 points

Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la « loi de durée de vie sans

vieillissement » (ou encore loi exponentielle de paramètre  avec  > 0.

Toutes les probabilités seront données à 103 près.

1. Sachant que p(X > 10) = 0,286, montrer qu’une valeur approchée à 103 près de  est 0,125.

On prendra 0,125 pour valeur de  dans la suite de l’exercice.

2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.

3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à dix ans ?

4. On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?

5. Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ?

4. 115. Vie composants, Am. du Sud 2005

4 points

Les parties A et B sont indépendantes

Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut.

On estime que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02.

Partie A

On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l’achat de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre de composants défectueux achetés.

Alain achète 50 composants.

1. Quelle est la probabilité qu’exactement deux des composants achetés soient défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 101 près.

2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 102 près.

3. Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ?

Partie B

On suppose que la durée de vie T1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi

exponentielle de paramètre 41 5 10   et que la durée de vie T2 (en heures) de chaque composant non

défectueux suit une loi exponentielle de paramètre 42 10  (on pourra se reporter au formulaire ci-

dessous).

1. Calculer la probabilité que la durée de vie d’un composant soit supérieure à 1 000 heures :

a. si ce composant est défectueux ;

b. si ce composant n’est pas défectueux.

Donner une valeur approchée de ces probabilités 102 près.

2. Soit T la durée de vie (en heures) d’un composant acheté au hasard.

Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après t heures de

fonctionnement est : 4 45 10 10( ) 0,02 0,98t tP T t e e       .

(on rappelle que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02).

3. Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1 000 heures après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ?

Donner une valeur approchée de cette probabilité à 102 près.

Formulaire :

Loi exponentielle (ou de durée de vie sans vieillissement) de paramètre  sur [0 ;  [ :

Pour 0 a b  , ([ ; ]) b

x

a

P a b e dx   ; pour 0c ,   0[ ; [ 1 c

xP c e dx     .

4. 116. Durée de vie, Am. du Nord 2003

5 points

On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d’un appareil ménager avant la première panne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur

[0, +∞[. Ainsi la probabilité d’un intervalle [0, t[, notée  [0, [p t , est la probabilité que l’appareil tombe

en panne avant l’instant t.

Cette loi est telle que   0

[0, [ t

xp t e dx   , où t est un nombre réel positif représentant le nombre d’années. A partir de la question 5. on prend 0,2  .

Questions Réponses

a b c

1. Pour t positif ou nul, la valeur exacte de  [ , [p t  est : 1 te  te  1 te 

2. La valeur de t pour laquelle on a    [0, [ [ , [p t p t 

est :

ln 2

ln 2

2

3. D’après une étude statistique, la probabilité que l’appareil tombe en panne avant la fin de la première année est 0,18. La valeur exacte de  est alors :

50 ln

41

     

41

ln 50

     

ln 82

ln 100

4. Sachant que cet appareil n’a connu aucune panne au cours des deux premières années, la probabilité qu’il ne connaisse aucune panne l’année suivante est :

 [1, [p   [3, [p   [ 2, 3[p

5. La probabilité que l’appareil n’ait pas eu de panne au cours des trois premières années, arrondie à 10−4 près, est :

0,5523 0,5488 0,4512

6. Dix appareils neufs de ce type ont été mis en service en même temps. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre d’appareils qui n’ont pas de panne au cours des trois premières années. La valeur la plus proche de la probabilité de l’événement « X = 4 » est :

0,5555 0,8022 0,1607

4. 117. Loi uniforme, Antilles 2001

Soit m un nombre réel et f la fonction définie sur par :  ( ) sin pour 0 ;

( ) 0 sinon.

f x m x x

f x

   



1. Déterminer le réel m tel que f soit une densité de probabilité.

2. Représenter f dans un repère orthonormé.

3. Soit X une variable aléatoire dont f est une densité de probabilité.

Définir la fonction de répartition de X puis représenter graphiquement F dans un repère orthonormé.

4. Calculer la probabilité 3

4 4 p X      

  .

5. Calculer les probabilités p(X 0) et p(X 0).

4. 118. Loi continue

1. Soit x un réel positif, calculer   2

0

x t

I x t e dt

  .

2. Soit P une loi de probabilité sur [0 ;  [ de densité f définie par   2t

f t te  , avec  .

a. Déterminer .

b. Calculer P([0 ;1]).

c. On note X la variable aléatoire associée à la probabilité P. Déterminer le réel x0 tel que  0 1

2 P X x  .

4. 119. Test+binom+adéquation, Antilles 2004

Pour chacune des trois questions, la totalité des points sera donnée si la réponse est correctement justifiée.

Les trois questions sont indépendantes.

1. La probabilité pour un individu d’une population d’être atteint d’une maladie M est égale à 0,003. Un test de dépistage, pour cette maladie, a été réalisé ; avec ce test, on peut dire que

si une personne est atteinte de la maladie M, le test est positif dans 50 % des cas ;

le test est positif pour 3% des personnes saines.

Quelle est à 0,01 près la probabilité d’avoir la maladie M lorsque le test est positif ?

a. 0,95 b. 0,9 c. 0,15 d. 0,05

2. On considère une planche à clous de ce type :

On lance une boule B du haut de la planche, elle tombe alors dans l’un des quatre récipients notés R1, R2, R3 et R4. À chaque étape, la bille a une probabilité de 0,3 d’aller vers la gauche et 0,7 d’aller vers la droite (gauche et droite relatives à l’observateur).

On note p1 la probabilité que la bille tombe dans le bac R1 ou dans le bac R3 et p2 la probabilité que la bille tombe dans le bac R2 ou dans le bac R4.

Que valent p1 et p2 ?

a. p1 = p2 = 0,5 b. p1 = 0,216 et p2 = 0,784

c. p1 = 0,468 et p2 = 0,532 d. p1 = 0,468 et p2 = 0,432.

3. Les 1 000 premières décimales de  sont données ici par un ordinateur :

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

8214808651 3233066470 9384460959 0582235725 3594085234

8111745028 4102701930 5211055596 4462294895 4930301964

4288109756 6593344612 8475648233 7867831652 7120190914

5648566923 4603486534 5432664825 3393607260 2491412737

2450700660 6315580574 8815209209 6282925409 1715364367

8925903600 1133053054 8820466525 3841469519 4151160943

3057270365 7595919530 9218611738 1932611793 1051185480

7446297996 2749567355 8857527240 9122793318 3011949129

8336733624 4065664308 6025394946 3952247371 9070217986

0943702770 5392171762 9317675238 4674818467 6691051320

0056812714 5263560827 7857753427 9778900917 3637178721

4684409012 2495343054 6549585371 0507922796 8925892354

2019956112 1290219608 6403441815 9813629774 7713099605

1870721134 9999998372 9780499510 5973173281 6096318599

0244594553 4690830264 2522300253 3446850352 6193110017

1010003137 8387528865 8753320830 1420617177 6691473035

9825349042 8755460731 1595620633 8235378759 3751957781

8577805321 7122600661 3001927876 6111959092 1642019894

En groupant par valeurs entre 0 et 9 ces décimales, on obtient le tableau suivant :

R1 R2 R3 R4

B

clou

0,7 0,3

Valeurs 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Occurrences 93 116 102 102 94 97 94 95 101 106

Avec un tableur, on a simulé 1 000 expériences de 1 000 tirages aléatoires d’un chiffre compris entre 0 et 9.

Pour chaque expérience, on a calculé   9

22

0

0,1k k

d f

  où fk représente, pour l’expérience, la

fréquence observée du chiffre k. On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier et neuvième décile (d1 et d9), le premier et troisième quartile (Q1 et Q3) et la médiane (Me) :

d1 = 0,000422 ; Q1 = 0,000582 ; Me = 0,000822 ; Q3 = 0,001136 ; d9 = 0,00145.

En effectuant le calcul de d2 sur la série des 1 000 premières décimales de  , on obtient :

a. 0,000456 b. 0,00456 c. 0,000314

Un statisticien découvrant le tableau et ignorant qu’il s’agit des décimales de  , fait l’hypothèse que la série est issue de tirages aléatoires indépendants suivant une loi équirépartie. Il prend un risque de 10 % de rejeter cette hypothèse quand elle est vraie. Accepte-t-il cette hypothèse ?

a. Oui b. Non c. Il ne peut pas conclure.

4. 120. Lancer dé+adéquation, France rempl. 2005

3 points

Partie A

On dispose d’un dé en forme de tétraèdre régulier, possédant une face bleue, deux faces rouges et une face verte ; on suppose le dé parfaitement équilibré.

Une partie consiste à effectuer deux lancers sucessifs et indépendants de ce dé. À chaque lancer on note la couleur de la face cachée.

On considère les évènements suivants :

E est l’évènement « à l’issue d’une partie, les deux faces notées sont vertes »,

F est l’évènement « à l’issue d une partie, les deux faces notées sont de la même couleur ».

1. Calculer les probabilités des évènements E et F ainsi que la probabilité de E sachant F.

2. On effectue dix parties identiques et indépendantes. Calculer la probabilité d’obtenir au moins deux fois l’évènement F au cours de ces dix parties (on en donnera une valeur approchée décimale à 10−3 près).

Partie B

On souhaite savoir si le dé utilisé peut être considéré comme parfaitement équilibré. Pour cela on numérote de 1 à 4 les quatre faces de ce dé, puis on lance ce dé 160 fois en notant le nombre ni de fois où chaque face est cachée ; on obtient les résultats suivants :

face i 1 2 3 4

effectif ni 30 48 46 32

On note fi la fréquence relative à la face ni et 2 obsd le réel

4 2

1

1

4 i

i

f

   

   . On simule ensuite 1 000 fois

l’expérience consistant à tirer un chiffre au hasard 160 fois parmi l’ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4) puis, pour

chaque simulation, on calcule

4 2 2

1

1

4 i

i

d F

    

   , où Fi est la fréquence d’apparition du nombre i. Le

9ème décile de

la série statistique des 1 000 valeurs de d2 est égal à 0,0098. Au vu de l’expérience réalisée et au risque de 10 %, peut-on considérer le dé comme parfaitement équilibré ?

4. 121. Fesic 2003 : Exercice 11

Soit x . On considère la suite géométrique (un(x))de premier terme u0(x) = 1 et de raison

1 2 xq e  .

a. Dans le développement de 66 ( ) (1 2 ) xu x e  , le terme correspondant à 4xeest 4240 xe .

b. Pour x fixé supérieur à 1, on a : lim ( ) 0n n

u x 

 .

c. Pour un entier naturel n fixé, on a : lim ( ) 0n x

u x 

 .

d. Un lanceur s’exerce à tirer sur une cible située à la distance x (x en mètres, 1x  ). La probabilité qu’il

atteigne sa cible est 2xp e . Le lanceur tire n fois vers la cible de façons supposées indépendantes.

La probabilité que ce lanceur atteigne k fois exactement la cible (k étant un entier compris entre 0 et n)

est  1 1( ) 1 ( ) kn k

n u x u x

k

      

.

4. 122. Fesic 2003 : Exercice 13

La durée en années du bon fonctionnement d’un composant électronique est modélisée par une variable aléatoire de loi exponentielle. Des tests garantissent une durée moyenne de 10 ans.

a. Le paramètre de la loi exponentielle est 10.

b. La probabilité pour que l’un de ces composants fonctionne correctement moins de 10 ans est 1

1 e  .

c. La probabilité pour que l’un de ces composants fonctionne pendant au moins 10 années est e−2.

d. La probabilité pour que l’un de ces composants fonctionne entre 10 et 15 années est 1 1,5

11

e e

e

 

 .

4. 123. Fesic 2003 : Exercice 14

60 % des candidats au concours de la FESIC sont des filles. Parmi elles, 30 % ont suivi l’enseignement de spécialité de mathématiques en terminale.

Par ailleurs, 20% des candidats sont des garçons qui ont suivi l’enseignement de spécialité de mathématiques en terminale.

a. On interroge un candidat au hasard. La probabilité que ce soit une fille qui ait suivi l’enseignement de spécialité de mathématiques en terminale est de 30 %.

b. On interroge un garçon qui est candidat. La probabilité qu’il ait suivi l’enseignement de spécialité de mathématiques en terminale est de 20 %.

c. 38 % des candidats ont suivi l’enseignement de spécialité demathématiques en terminale.

d. On interroge un candidat qui a suivi l’enseignement de spécialité de mathématiques en terminale. La

probabilité qu’il s’agisse d’une fille est 9

19 .

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