Sciences statistiques – Travaux pratiques 1 - correction, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 mai 2014

Sciences statistiques – Travaux pratiques 1 - correction, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 1- correction Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Le plan complexe, Le nombre réel.
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Concours Fesic

Terminale S mai 2007

Concours Fesic Correction

Exercice 1

A d’affixe i, h homothétie de centre A et de rapport 2, t translation de vecteur v , r rotation de centre A

d’angle 2

 .

a. Vrai :    ' ' 2 ' 2M h M z i z i z z i        .

b. Faux :  ' ' ' v

M t M z z z z z i       .

c. Vrai :    

'

' , '

2

AM AM

M r M AM AM

 

   

, donc A appartient bien à la médiatrice de  'MM .

d. Faux :      2' ' ' 4 3 4 5 i

B r B b i e b i b i i i i i

            .

Exercice 2

2

3 1 3

5 15 2 5 2 5 2 2

i

a i i e

  

         

, 6 3 1

2 3 2 4 4 2 2

i

b i i e

  

       

.

a. Vrai :   2 2

3 32 5 2 5

ni ni nna e e

         

.

b. Faux : 2 5 4OA a OB b     .

c. Vrai :   2 3

, arg 6 3 6 2

b OA OB

a

           .

d. Vrai : Le cercle circonscrit à OAB a pour diamètre [AB] : 2 2 2 1

20 16 36 3 2

AB OA OB AB       .

Exercice 3

A et B d’affixes respectives 1 et 2i. (E) : 2 1z i z   ; (F) : 2

arg 2 , 1 2

z i k k

z

 

     

  .

a. Faux : (E) est la médiatrice de [AB].

b. Faux : Les points M de (F) décrivent un demi-cercle de diamètre [AB] sauf les deux points A et B.

c. Vrai : 1 1 1 1 1 3 3 1

2 1 2 2 2 2 2 2 2 2

i i i i i             : C est sur (E) ;

  1 3 32 1 3 10 arg arg arg arg 2 ,

1 3 10 10 2

i iz i i i k k

z i

 

                       

         : C est sur (F).

d. Faux : L’ensemble des points M tels que 2

1

z i Z

z

  

est un imaginaire pur est le cercle de diamètre

[AB] sauf les deux points A et B.

Exercice 4

L’une de ces courbes représente une fonction f définie et continue sur  0 ;  ; l’autre représente une

primitive F de f sur  0 ;  .

a. Faux : Le minimum de  est en 1 où s’annule C donc C correspond à la dérivée f = F ’ et  à la fonction F.

b. Vrai : C’est du cours,     0

x

F x f t dt  .

c. Vrai : L’aire de la surface hachurée est         1

0

0 1 1f t dt F F F    ; celle de la surface grisée est

        1

1 1 e

f t dt F e F F    puisque   0F e  .

d. Faux :    ' 0 0F f  …

Exercice 5

f : Courbe C1 g : Courbe C2

h : Courbe C3 k : Courbe C4

a. Faux :   2

g x f x     

  ; essayons une valeur où reculer de

2

 sur g va faire changer la fonction, par

exemple 5

4

 :

5 3 0,5

4 2 4 g g            

    et

5 0,5

4 f     

  .

b. Vrai : Tout ce qui est négatif sur C1 devient positif, symétrie par rapport à (Ox) :    h x f x .

c. Vrai : Sur 3

0 ; ; 2 2

  

          

on a     0f x g x  et     0h x k x  ; sur 3

; ; 2 2 2

   

          

on

a     0f x k x  et     0g x h x  .

d. Faux : Le maximum de C4 est en 0,5 et non en 1 ; c’est plutôt 1

sin 2 2

x     

.

Exercice 6

a. Faux : Par exemple le produit de x par x x (dérivable en 0) est 2x qui est dérivable…

b. Faux : La limite de  nu est donnée par 2 2 21 2 2 2 2 2

2 l l l l l l

l

             

, qui n’est pas

rationnel (la limite d’une suite de rationnels n’est pas un rationnel en général).

c. Vrai : Les calculs sont justes et on a  . cos ,AB AC AB AC AB AC   ; A, B et C sont alignés si

     , 0 cos , 1AB AC AB AC   , soit pour .AB AC AB AC  .

d. Faux : Le théorème de composition des limites n’est valable que s’il opère sur des fonctions continues, ce que n’est pas la fonction E qui est discontinue pour toutes les valeurs entières de x.

Exercice 7

a. Faux :     2

2 20 0 0 0

ln 1 2ln ln 1 2 lim lim ln 1 ( ) x x x x

x x x x x

xx x   

           .

b. Vrai : ln ln 1

lim lim 0 0 x xx x

x x x

xe e     

 .

c. Vrai : 2 3 2 0x xe e   n’a pas de solution réelle car somme de termes strictement positifs.

d. Faux : en  xe tend vers 0 et l’emporte sur  2ln 1 x ; la limite est 0.

Exercice 8

On considère l’équation différentielle (E) : 3' 3 xy y e  . Soient f la solution de (E) définie sur telle que

 0 1f  et g la fonction définie sur par     3xg x f x e .

a. Vrai :      3 0' 0 3 0 ' 0 3 1 4y y e y      .

b. Vrai : Comme     33 xf x f x e   , on remplace et

          3 3 3 3 33 3 3 1x x x x xg x f x e f x e f x e e f x e          .

c. Faux : On en déduit que       3xg x x K f x x K e     ; avec  0 1f  , on obtient 1K  d’où

    31 xf x x e  .

d. Vrai : Si on intègre l’équation 3' 3 xy y e  , on a

              33 3

0 0 0 0

3 21 1 ' 3 0 3

3 3 9

xx x x x t x f x ef t f t dt e dt f x f f t dt e f t dt

              .

Exercice 9

On définit la suite  nI pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par 1

lne

n n

x I dx

x   .

a. Vrai :   2

1 1 1

ln 1 1 ln

2 2

ee x I dx x

x

       .

b. Faux : 1 1 1 1 1

ln ln ln 1 1

e e e

n n n n n

x x x I I dx dx dx

xx x x  

       

    ; sur  1 ; e 1

1 0 x   et les autres termes

sont positifs. Donc la suite  nI est décroissante.

c. Vrai : Sur  1 ; e , on encadre,

1

1 1 1

ln 1 1 1 1 0 ln 1 0 0 1

1 1

ee n n n

nn n n

x x x I x dx x

n nx x e

   

                      .

d. Vrai : 1

lne

n n

x I dx

x   : on pose ln , '

nu x v x  d’où 1 1 1

' , 1

nu v x x n

  

, soit

   

 

   

1 1 1 1 1

1 11 1

1 1 1 1

2 2 2

ln 1 1 1 1 1 ln

1 1 1 1 1

1 1 11 1 1 1 .

1 1 1 1

e ee e n n n n

n n

n n n n

x I dx x x x x dx e x

n n n n nx

n e ne e e

n n n n

    

   

                  

            

 

Exercice 10

0

1

0

3 2

5

n n n

u

u v u

 

 

, 0

1

5

2 3

5

n n n

v

u v v

 

 

et n n nw v u  .

a. Vrai :  1 1 1 2 3 3 2 1 1

5 5 5 5

n n n n n n n n n n

u v u v w v u v u w  

         . Premier terme : 0 0 0 5w v u   .

b. Vrai : 1 3 2 2 2 2

5 5 5

n n n n n n n n

u v u v u u u w

        qui est positif donc la suite u est croissante.

c. Vrai : Les suites u et v sont adjacentes et convergent vers une limite commune.

d. Vrai : La première inégalité est vraie (u croissante), la deuxième également :

 1 3 2 3

0 5 5

n n n n n n n

u v u v v u v

       .

Exercice 11

a. Vrai : Récurrence : 1 1 2 2

1 2 2 3 1 1 1 2 2 3 2 3

n n n n

u u u u

                 

  .

b. Vrai :   2

1

1 22 3 0

3 3

n nn n n n

n n

u uu u u u

u u

        

  donc u est décroissante ; comme elle est bornée,

elle converge.

c. Vrai : 11 1

2 2

2 3 2 2 6 2 4 2

21 2 3 1 1

3

n n n n n n

n n n

n

u u u u v v

u u u

u

 

 

          

     

; 00 0

2 1

1

u v

u

    

.

d. Vrai : On a 2nnv   et   2 2 2 2

2 1 2 1 1 2 1

n n n

n n n n n n n n n n n n

u v v v u v u u v v u

u v

                 

, soit le

résultat demandé : 1

1 1 2

n n u  

 .

Exercice 12

  1 lnnnf x x x  .

a. Faux :   0

lim 0n x

f x

 (hors programme TS…)

b. Faux :   1ln 0 lim lim 0nn n n

x f x x

       car  0 ; 1x .

c. Vrai :  1 0nf  et       2 2 11 ln 1 1n nn nf x n x x x f

x

       donc même tangente pour tous les n.

d. Faux :   1

1 2 1

2

1 ln ... ln ln

1

n n k n

k

x x x x x x x x x

x

  

      

 .

Exercice 13

a. Vrai : Comme on remet les boules on a la probabilité 1

2 2

n

n  de tirer une noire puis de nouveau

1

2 de

retirer une noire, soit 1

4 au total. Par ailleurs il y a 1 chance sur 2 d’avoir tiré U1.

b. Faux :   1

1

4 Up N  et  2

1 1

2 2 1 4 2 U

n n n p N

n n n

    

  .

c. Vrai :     1 2

1 1 lim , lim lim

4 4 4 U U

n n n

n p N p N

n      .

d. Vrai :            

1 2

1 1 1 2 1 2 2 4 3

8 2 2 2 1 8 2 1 8 2 1

n n n n p N p U N p U N

n n n

            

   .

Exercice 14

a. Vrai :     1

0

1 1 1 1 ln 2

2 2 p T f t dt e e  

          .

b. Faux : On passe sur une loi binomiale ; X le nombre de détecteurs tombant en panne lors des deux

contrôles suit une B(2, 1/2) ;   2

1 3 1 1 ( 0) 1

42 p X P X       .

c. Vrai : Même chose avec n = 5 :   1 4

5 1 1 5 1

1 322 2 p X

     

  .

d.   0

1 1 0

0 2 2n

n p X

     

  .

Exercice 15

A(−1 ; 2 ; 4), B(0 ; −2 ; 3), C(7 ; 1 ; −1) et D(−2 ; −2 ; −13).

a. Faux : Q le plan médiateur de [CD] doit avoir comme vecteur normal  9 ; 3 ; 12CD     qui n’est

pas colinéaire à  8 ; 1 ; 5  .

b. Faux : Un vecteur normal à P est  1 ; 4 ; 4 non colinéaire à  1 ; 4 ; 1AB    .

c. Vrai : Calcul des distances toutes égales à 9.

d. Vrai : . 0AM BM  dit que le triangle AMB est rectangle en M, c’est la définition d’un cercle dans le plan ou d’une sphère de diamètre [AB] dans l’espace.

Exercice 16

P : 0x y  ; Q : 2 1 0x y z    ; R : 1z  .

a. Faux : P est un plan.

b. Vrai : L’ensemble des points appartenant à la fois à P et à R est une droite car ce ne sont pas des plans parallèles.

c. Faux :  1 ;1 ; 0Pn  ,  2 ; 1 ; 1Qn    ; le produit scalaire vaut 1.

d. Vrai : On résout le système.

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