Sciences statistiques – Travaux pratiques 1, Exercices de Mathématiques et dstatistiques. Université Claude Bernard (Lyon I)
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 mai 2014

Sciences statistiques – Travaux pratiques 1, Exercices de Mathématiques et dstatistiques. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 1 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Le plan complexe, Le nombre réel.
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Concours Fesic

Terminale S mai 2006

Concours Fesic

Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, −1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’1 point pour un exercice entièrement juste.

Exercice 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v . Soit la fonction f qui, à tout point M

d’affixe z, z différent de 1, associe le point M’ d’affixe z’ telle que 2 1

' 1

z z

z

  

.

a. f possède deux points invariants conjugués.

b. L’ensemble des points M d’affixes z tels que 'z  est l’axe des abscisses.

c. L’ensemble des points M d’affixes z tels que ' 2z  est un cercle.

d. A tout point M’ du plan d’affixe z’, on peut associer un point M d’affixe z tel que ( ) 'f M M sauf au

point M’ d’affixe ' 2z  .

Exercice 2

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v . On considère les complexes 1z de

module 2 et d’argument 3

 , 2 1z z et 3 1z i  .

a. 8 9 3 1

11 2

4 z z

z

  .

b. 4 7 1 2

6 3

z z

z

 est un nombre réel.

c.   4

1 3 28 16 3z z   .

d. L’ensemble des points M d’affixe z telles que    3arg argz z est la droite d’équation y x .

Exercice 3

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v . On considère le point A d’affixe

5 3a i  . On appelle :

* B le point d’affixe b, image de A par la rotation de centre O et d’angle 3

 ,

* C le point d’affixe c, milieu de [OA],

* D le point d’affixe d donnée par   1

2 d c b a   ,

* E le point d’intersection des droites (AD) et (BC).

a. Le point B a pour affixe 3 3b i  .

b. D est le milieu de [OB].

c. E est le barycentre de {(B, 1) ; (C, 2)}.

d. La droite (OE) est perpendiculaire à (AB).

Exercice 4

a. La courbe représentant la fonction  sinx x est la courbe C2.

b. On considère les trois courbes de la page suivante : la courbe représentant la fonction 1xx e  est C1.

c. On considère la fonction f représentée par la courbe (C) ci-dessous et la fonction

F définie sur [0 ; 4] par 0

( ) ( ) x

F x f t dt  .

F est croissante sur [0 ; 4].

d. On considère les mêmes fonctions f et F qu’au c.

La fonction F est deux fois dérivable sur

[0 ; 4] et vérifie  '' 0 0F  .

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

.

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2 3

x

y

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2 3

x

y

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2 3

x

y

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2 3

x

y

C1 C2

C3 C4

Exercice 5

a. Soient f, g et h trois fonctions définies sur . On suppose que, quel que soit x , on a :

( ) ( ) ( )f x g x h x  , que lim ( ) 3 x

f x 

 et que lim ( ) 5 x

h x 

 .

Alors g(x) admet une limite quand x tend vers  et cette limite est comprise entre 3 et 5.

b. Soit f la fonction définie par

1

( ) xf x e

 pour 0x  et  0 0f  . On appelle (C) sa courbe

représentative dans un repère du plan. (C) possède une asymptote d’équation 0x  et 0

0

lim ( ) 0 x x

f x  

 .

c. La fonction F définie par 2

( ) ln 2 2

x x F x x  est une primitive de la fonction f définie par ( ) lnf x x x

sur *

d. Soient f la fonction définie par ( ) 2 lnf x x et (C) sa courbe représentative dans un repère du plan.

(C) possède au point d’abscisse −1 une tangente d’équation 2 2y x   .

Exercice 6

a. Soit u la suite définie pour tout *n par 2

1

n t

nu e dt   . On veut prouver que la suite u est

convergente. On considère pour cela le raisonnement suivant :

« Je choisis 0m  et 1M  . Soient *n et  1 ;t n , on a 2t t , donc 2

0 t te e   . Il s’ensuit que

1

0 n

t nu e dt

   , soit 10 nt

nu e    

  , soit enfin 10 1nnu e e

     . Ceci étant vrai pour tout *n ,

la suite apparaît bornée par 0m  et 1M  .

Soit de plus *n . La fonction 2tt e est continue et positive sur  1 ; n . nu représente donc l’aire de

la portion de plan comprise entre les droites d’équations x = 1, x = n, y = 0 et la courbe représentant cette fonction. Cette aire augmente quand n augmente, ce qui se traduit par le fait que la suite u est croissante. Conclusion : u est croissante et majorée par 1 donc la suite u est convergente. »

Ce raisonnement est exact.

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

C1 C2

C3

b. Soit f la fonction définie sur  0 ; ln 2 par :  ( ) 2 1 xf x x e  . On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère du plan. On cherche à calculer l’aire de la portion de plan limitée par les droites d’équation x = 0, x = ln2, y = 0 et la courbe (C).

On considère pour cela le raisonnement suivant (et le renseignement ln 2 0,7 ) :

« La fonction F définie par  ( ) 2 3 xF x x e  est une primitive de f sur  0 ; ln 2 . F est en effet dérivable

sur  0 ; ln 2 et    '( ) 2 2 3 2 1x x xF x e x e x e     .

On a :       ln 2 ln 2

00

( ) 2 3 2 ln 2 3 2 3 4 ln 2 3 0,2xf x dx x e              . Comme le résultat est

négatif, c’est que l’aire cherchée est la valeur absolue de ce résultat, soit 0,2 unité d’aire ».

Ce raisonnement est exact.

c. Soit f lafonction définie sur par   10

( ) 1f x x  . On cherche une approximation de  0,001f . On

considère pour cela le raisonnement suivant :

« f est définie et dérivable sur . Pour x réel,   9

'( ) 10 1f x x  et la courbe représentant f possède une

tangente au point d’abscisse 0 d’équation '(0) (0)y xf f  , soit 10 1y x  . On en déduit que

(0,001) 10 0,001 1f    , soit (0,001) 1,01f  . »

Ce raisonnement est exact.

d. Soit D l’ensemble des valeurs réelles x telles que sin 0x  . Soit f la fonction définie sur D par : cos

( ) sin

x f x

x  . On veut prouver que f est décroissante sur D. On considère pour cela le raisonnement

suivant :

« f est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont dérivables sur D et dont le dénominateur ne s’annule pas sur D. On en déduit que f est dérivable sur D.

Pour Dx , on a 2 2

2 2

sin cos 1 '( )

sin sin

x x f x

x x

     . Pour tout Dx , on a '( ) 0f x  . Comme le signe de

la dérivée donne le sens de variation de la fonction, c’est que f est strictement décroissante sur D. »

Ce raisonnement est exact.

Exercice 7

Soit (E) l’équation différentielle : ' 2 sinxy y e x  .

Soit f la fonction définie par   1

( ) cos sin 2

xf x e x x   .

a. f est dérivable sur et, pour x , '( ) cosxf x e x .

b. Pour n ,    

  1 1

'( ) 1 2

nn n

n

f x dx e e

 

    .

c. f est l’unique solution de l’équation (E) qui s’annule en 0.

d. Si g est une solution de (E), la courbe représentant g possède une tangente au point d’abscisse 0 dont

une équation est donnée par    1 2 0y x g  .

Exercice 8

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v . Soit f la fonction définie par   3 2

ln 5

x f x

x

      

.

On appelle Df l’ensemble de définition de f.

a. *fD  .

b. Soit g une fonction définie et dérivable sur 2

0, 3

gD  

    

telle que quel que soit gx D ,

3 1 '( )

3 2 g x

x x  

 . f et g sont égales à une constante additive près.

c. 1

( ) 2 lim

1 5x

f x

x  

 .

d. 0

0

lim ( ) 0 x x

xf x  

 .

Exercice 9

Soient *  et les fonctions f1 et f2 définies sur par 3

1( ) xf x e , 2 22( ) 2

x xf x e e    . On appelle C1

et C2 leurs courbes représentatives dans un repère du plan.

a. C1 et C2 se coupent au point  ln ; 3A   .

b. Quel que soit *  , C1 est au-dessus de C2.

c. Il existe un point B en lequel C1 et C2 possèdent la même tangente.

d. Lorsque  est supérieur à 1, l’aire de la portion du plan comprise entre les courbes C1 et C2 et limitée

par les droites d’équation x = 0 et lnx  est, en unités d’aire,  

2 1

3

  .

Exercice 10

On considère une suite v strictement croissante dont tous les termes appartiennent à l’intervalle  0 ; .

On définit les suites c et s pour n par  cosn nc v et  sinn ns v .

a. La suite v converge vers  .

b. La suite c est croissante.

c. La suite s est périodique.

d. Les suites c et s sont adjacentes si et seulement si la suite v converge vers 4

 .

Exercice 11

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v . On considère la suite  nz définie

pour n par

2

3

n i

nz e

 et on appelle nA le point d’affixe nz .

a. Quel que soit n , nA appartient au cercle de centre O et de rayon 1.

b. Quel que soit n , 1 1 1n nz z z    .

c. La suite  nz est périodique de période 5.

d.

4

0 1 4

0

... 0k k

z z z z

     .

Exercice 12

On considère la suite u définie pour *n par : 1 1u  et 1 2 1 1

n nu u n n

      

.

a. Pour *n , on a  1 !

n

n u

n

 .

b. La suite u est croissante.

c. Quelque soit *n , si on a 2n  , alors on aura : 2

3 0 2

4

n

nu

  

     

.

d. La suite u est convergente et de limite nulle.

Exercice 13

On considère un espace probabilisé fini  , p dans lequel un événement A a les trois possibilités A1,

A2, et A3 deux à deux distinctes de se produire et un événement B a les deux possibilités B1 et B2 distinctes de se produire. Le tableau suivant donne en pourcentages la probabilité de certains événements de se produire par rapport à l’univers  .

A1 A2 A3 Total / A

B1 20

B2 30

Total / B 10 100

On donne aussi les renseignements suivants :  2A 60 %p  et  B 31 1

A 6

p  .

a. A1 et B1 sont incompatibles.

b. La probabilité d’obtenir B1 est 24 % .

c. Si A3 est réalisé, la probabilité d’obtenir A3 et B1 est 4 %.

d. La probabilité d’obtenir A3 et B1 est 4 % .

Exercice 14

Une rampe lumineuse est constituée d’ampoules bleues, rouges ou jaunes provenant de deux usines U1 et U2. U1 produit 60 % de ces ampoules. La durée de vie en années de chacune de ces ampoules suit une loi exponentielle dont les paramètres sont les suivants :

Ampoules bleues Ampoules rouges Ampoules jaunes

Ampoules de U1 B1 0,25  1 0,20R  1 0,15J 

Ampoules de U2 B2 0,20  R2 0,15  J2 0,10 

a. La probabilité qu’une ampoule rouge dure moins de 5 ans sachant qu’elle vient de U1 est  10,6 1 e .

b. La probabilité qu’une ampoule rouge dure moins de 5 ans est 1,25 11 0,6 0, 4e e   .

c. La probabilité qu’une ampoule jaune dure entre 5 et 10 ans est    0,75 1,5 0,5 10,6 0, 4e e e e      .

d. La demi-vie en années d’une ampoule jaune de U2 est 4 ln 2 .

Exercice 15

Le schéma ci-dessous représente une situation de l’espace dans un repère approprié dont le centre est un point O. On sait que la droite d est orthogonale au plan P. On appelle A le point de coordonnées (2 ; −1 ; −2).

P

d

-1

2

-2

1

1

1

x

z

yO

a. Le plan P a pour équation cartésienne 2 1 0x y z    .

b. La droite d a pour équations paramétriques :

2

1 2 , .

2 4

x t

y t t

z t

     

  

c. La demi-droite [OA) a pour équations paramétriques :

2 2

1 , .

2 2

x t

y t t

z t

      

   

d. La sphère de centre O et de rayon 1

2 est cachée par P.

Exercice 16

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

Pour   , on désigne par P et Q les plans d’équations respectives 2sin

P : y x

z

    

,

2cos Q :

z y

x

    

. On appelle  la droite d’intersection de ces deux plans.

a. Pour tout   , les plans P et Q sont orthogonaux.

b. Pour tout   , la droite  est contenue dans le plan d’équation 1z x

y

   

.

c. Pour tout   , la droite  est orthogonale au plan d’équation 0x y z   .

d. Il existe un réel  tel que  soit parallèle au plan ( ; , )O i j .

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