Sciences statistiques - Travaux pratiques 23 - 2° partie, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 23 - 2° partie, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 23 - 2° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Méthodes d’intégration, Les substitutions trigonométriques, Les substitutions algébriques, Les fonctions trigonom...
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4. Montrer que (In) est une suite positive et décroissante et que cette suite converge vers 0.

5. Montrer que n(n + 1)(n + 2)InIn−1 est indépendant de n et calculer sa valeur ; en déduire un équivalent simple de In lorsque n tend vers  .

Exercice 4

On note, pour tout nombre réel a positif et pour tout entier naturel n :   1

0

exp( (1 ))nnu a x a x dx  .

1. Calculer u0(a).

2. Convergence de la suite (un(a)). Soit a > 0 donné.

a. Montrer que pour tout n dans :  0 1

a

n

e u a

n  

 .

b. Montrer que la suite (un(a)) est décroissante.

c. Déterminer la limite de un(a) quand n tend vers  .

3. Forme explicite de un(a).

a. A l'aide d'une intégration par parties, trouver une relation de récurrence entre  nu a et  1nu a .

b. Montrer par récurrence sur n que pour tout n dans :   1

0

! exp( )

!

n k

n n

k

n a u a a

ka  

    

    .

3-4 : Comparaison série et intégrale

Exercice 1

La série de terme général 1

n est divergente : démonstration par comparaison avec une intégrale

généralisée. Démontrer successivement :

*n   ; 1t n n   1 1 1

1n t n  

 puis

11 1

1

n

n

dt

n t n

    .

enfin pour tout 2N  :

1

1 2 1

1 1 N NN

n n

dt

n t n

 

   .

En déduire le résultat annoncé. Illustration graphique.

Exercice 2 Série de Bertrand.

1. Montrer que l'intégrale 2

2

1

( ln ) dt

t t



 est convergente et calculer sa valeur.

2. En vous inspirant de l'exercice précédent, montrer que la série de terme général  

2

1

lnn n , 2n  , est

convergente.

Exercice 3

Pour n entier naturel non nul on définit la suite (Sn) par : 1/ 3 1/ 3 1/ 3

1 1 1 1

2 3 nS

n      .

1. Justifier pour k entier naturel non nul l'encadrement : 1

1/ 3 1/ 3 1/ 3

1 1

( 1)

k

k

dx

k x k

    .

2. En déduire l'encadrement : 1

1/ 3 1/ 3 1 1

1 n n

n

dx dx S

x x

    .

3. Que peut-on dire de la suite (Sn) ?

4. A l'aide d'encadrements analogues, montrer que la suite (Tn) définie par :

4/ 3 4/ 3 4/ 3

1 1 1 1

2 3 nT

n      est convergente.

3-5 : Sommes de Riemann

Exercice 1

Calculer les limites quand n tend vers  des sommes suivantes : 4

5

1

n

k

k

n

 ; 2 2 1

1 n

k

n k n

 

 (rappel : 1

2 0 41

dt dt

t

 

 ) .

Exercice 2

(esg 94 2e épreuve)

Soit k un entier naturel non nul et soit la suite   *n n

U

définie par : *n 

1

1

1

n k

n

i

i U

n n

    

   .

1. Déterminer la limite de cette suite pour k = 1, k = 2 puis k = 3.

2. Pour k quelconque > 0 déterminer la limite de la suite (Un).

Exercice 3

Soit n un entier  2 et

1

1 ln

n

n

k

k u

n n

    

   . Démontrer :

1.  1, ..., 1k n   , ( 1)/

/

1 1 1 ln ln ln

k n

k n

k k xdx

n n n n

    .

2. 1

1/

1 1 ln lnn n

n

u xdx u n n

   .

3. 1 1 1 1

1 1 lnnu n n n n      .

4. lim 1n n

u 

  .

5. ! 1

lim n nn

n

en  .

Exercice 4

Pour n on note

1

1 2

n n k

n

k

u n

  .

1. Montrer que pour tout  0, ..., 1k n   : ( 1)/

1

/

1 1 2 2 2

k n n nk t k

k n

dt n n

   .

2. En déduire un encadrement de un et la limite de un quand n tend vers  .

3. Retrouver cette limite en calculant un en fonction de n.

Exercice 5

Soit f la fonction définie pour tout x strictement positif par : 2 1

( ) ln 2 2

x f x x   .

1. Etudier les variations de f. Montrer que c'est une fonction convexe. Donner sa représentation graphique.

2. Déterminer une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]0 ;  [. En déduire que l'intégrale

1

0

( )f x dx est convergente et calculer sa valeur.

3. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On pose :

1

1 n

n

j

j S f

n n

    

   .

a. Etablir, pour tout entier j vérifiant 1 j n  , les inégalités :

1 11 1

( )

j

n j

n

j j f f x dx f

n n n n

    

        

.

b. en déduire l'encadrement : 1 1

1 1

1 1 ( ) ( )n

n n

f x dx S f f x dx n n

     

   .

c. Montrer les inégalités :

1

0

1 1 0 ( )nf f x dx

n n

    

   .

d. Montrer que la suite (Sn) est convergente et déterminer sa limite.

4. On rappelle que pour tout entier naturel non nul n, on a l'égalité : 2

1

( 1)(2 1)

6

n

k

n n n k

   . Exprimer,

pour tout entier naturel non nul n, la somme

1

n

j

j f

n

     

 en fonction de n. En déduire la limite :

1 lim ln

!

n

n

n

n n

      

.

4. Ecole Supérieure de commerce de Lyon

4-1 : escl 88

1. Vérifier que  0 ;x    0 ln 1 x x   .

En déduire la limite quand l'entier n tend vers  de 1

0

ln(1 )nx dx .

2. Soit u la suite réelle définie par 1

0 1

n

n n

x u dx

x

 .

Montrer que pour tout entier naturel n non nul 1

0

ln 2 1 ln(1 )nnu x dx

n n    ; on pourra utiliser une

intégration par parties. En déduire la limite de un et celle de nun quand n tend vers  .

4-2 : escl 89

Soit I la suite de terme général 1

0

n x nI x e dx

  .

1. a. Calculer I0 et I1.

b. Montrer que pour tout entier naturel n, 1

1 nI

n  

. Etudier la convergence de la suite I.

2. Calcul d'une valeur approchée de I15.

a. Montrer que n  ,  1 1

1n nI n I e

    , et

1

! 1 !

( )! ( )!

p

n n p

k

n n I I

e n k n p

    .

b. En déduire que pour tout n dans 1

1

! 1 ! 1 0

( )! ( 1)! ( 1)

p

n p

k

n n I

e n k n p n

       

 .

c. Comment peut-on choisir p pour que 615 1

15! 1 0 10

(15 )!

p

k

I e k

    ?

En déduire, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de I15 à 106 près.

c*. Ecrire en turbo-pascal un programme qui affiche une valeur de

1

15! 1

(15 )!

p

k e k

  . p est fourni par

l'utilisateur. On veillera à minimiser les calculs.

4-3 : escl 90

Pour tout n dans , on pose 1

20 1

n

n

x I dx

x

  et

21

2 20 (1 ) 1

n

n

x J dx

x x

  

 .

1. Quelle est la dérivée de la fonction :f  définie par    2ln 1f x x x   ? Calculer I0. 2. Calculer I1.

3. Montrer que pour tout n dans , 1

0 1

nI n

  

. En déduire la limite de In quand n tend vers  .

Montrer que Jn tend vers 0 quand n tend vers  .

4. Etablir à l'aide d'une intégration par parties que 1 1

1( 1) 2 n nI J

nn  

 .

Quelle est la limite de nIn quand n tend vers  ?

4-4 : escl 91

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 on pose 1

2

0

ln(1 )nnI x x dx  et 1

2 0 1

n

n

x J dx

x

 .

1. Etude de la suite   1n n

J

.

a. Calculer J1.

b. Montrer que pour tout n supérieur ou égal à 1, 1

0 1

nJ n

  

.

c. Etudier la convergence de la suite   1n n

J

.

2. Etude de la suite   1n n

I

.

a. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout n supérieur ou égal à 1,

2

ln(2) 2

1 1 n nI J

n n  

  .

b. Etudier la convergence de la suite   1n n

I

.

c. Déterminer un équivalent de nI quand n tend vers  .

4-5 : escl 92

Soit  : 1 ;f   l'application définie par   1

ln( ) f x

x x  .

1. Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative.

2. Montrer que pour tout entier k tel que 3k  :     1

( ) 1 k

k

f k f x dx f k

   .

Pour tout n entier tel que 2n  , on note

2

( )

n

n

k

S f k

 .

3. a. Montrer que pour tout n tel que 2n  : 2

1 1 ( )

2ln(2) ln( )

n

n nS f x dx S n n

    .

b. En déduire que pour tout n tel que 2n  :         1

ln ln ln ln 2 ln ln ln ln 2 2ln 2

nn S n     .

c. Etablir que  ln lnnS n .

Pour tout n entier tel que 2n  , on note un = Sn  ln(ln(n+1)) et vn = Sn  ln(ln n).

4. En utilisant le résultat de la question 2. montrer que les suites   2n n

u

et   2n n

v

sont adjacentes. On

note l leur limite commune.

5. a. Montrer que pour tout n tel que 2n  : 1

0 ln

nv l n n

   .

b. En déduire une valeur approchée de l à 102 prés.

b*. Ecrire un programme en turbo-pascal qui utilise le résultat du a. pour calculer et afficher une valeur approchée de l à moins de e près, e étant un nombre réel positif fourni par l'utilisateur.

4-6 : escl 93

Pour tout entier naturel n on pose : 1

2

0

(1 ) exp( )nnI x x dx   et 1

2

0

(1 ) exp( )nnJ x x x dx   .

1. a. Former le tableau de variations de    2: 0 ;1 , expf x x x   .

b. En déduire, pour tout n de : 1

0 ( 1) 2

nJ n e

  

.

c. Etudier la convergence de la suite  n nJ  .

2. A l'aide d'une intégration par parties, établir, pour tout n de : 1 1 2

1 1 n nI J

n n  

  .

En déduire la limite de In et celle de nIn quand n tend vers  .

4-7 : escl 94

On pose pour tout entier naturel non nul n : In = 1

( ln ) e

n nI x dx  et I0 = e  1.

1. a. Etablir, pour tout entier naturel n : In+1 = e  (n+1)In.

b. Montrer, pour tout entier naturel n : 0nI  .

c. Déduire des questions a. et b. que, pour tout entier naturel n : 1

e

n .

d. Quelle est la limite de la suite  n nI  ?

e. Montrer : n e

I n

 .

2. Soit a un réel différent de I0 ; on note  n nu  la suite réelle définie par : 0

1, ( 1)n n

u a

n u e n u

      

.

Montrer : lim n n

u 

  . (On pourra considérer la suite (Dn) définie par n n nD u I  )

4-8 : escl 95

On définit la fonction  : 2 ;f   ,   2

1

1 f x

x

 .

1. Démontrer que pour tout réel x supérieur ou égal à 2 : 1 1

( ) 1

f x x x  

 .

2. Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on définit l'intégrale : 2

( ) n

nI f x dx  .

a. Démontrer que : lim n n

I 

  .

b. On définit la fonction  : 2 ;F   ,    2ln 1F x x x   . Calculer la dérivée de F et en déduire une expression de In en fonction de n.

c. Déterminer la limite de In  ln n quand n tend vers  .

3. On définit, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : 2

2

1

1

n

n

k

S k

 

 .

a. Montrer que : 1 1

3 n n nI S I    .

b. Trouver un équivalent simple de Sn quand n tend vers  .

4-9 : escl 96

Pour tout entier naturel n on pose : 1

0

n x nI x e dx

  .

1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n : 1

0 1

nI n

  

.

b. En déduire que la suite  n nI  converge et donner sa limite.

2. A l'aide d'une intégration par parties, établir, pour tout entier naturel n : 1 1

( 1) 1

n n

I I

e n n

   

.

3. a. En déduire pour tout entier naturel n : 1 1

0 ( 1) ( 1)( 2)

nI e n n n

     

.

b. Trouver un équivalent simple de In quand n tend vers  .

4-10 : escl 98

1. Soit 1 1x   .

a. Montrer, pour tout n de et tout t de [1 ; 1[ : 1

0

1

1 1

n n k

k

t t

t t

    .

b. En déduire, pour tout n de et tout t de [1 ; x] :

1

0

1

1 1

n n

k

k

t t

t x

    .

c. Etablir, pour tout n de : 1

0

1 ln(1 )

1 ( 2)(1 )

n k

k

x x

k n x

       .

d. En déduire que la série

1

n

n

x

n

 [sic] converge et a pour somme ln(1  x).

En particulier, montrer

1

1

2n n

n



 = ln(2).

2. Un joueur lance une pièce de monnaie équilibrée jusqu'à l'obtention du premier pile.

S'il lui a fallu n lancers (n entier non nul) pour obtenir ce pile, on lui fait alors tirer au hasard un billet de loterie parmi n billets dont un seul est gagnant. Quelle est la probabilité que ce joueur gagne ?

4-11 : escl 98 bis (sujet de secours)

Soit f la fonction réelle définie sur par   4

1

1 f x

x

 .

1. Vérifier que f est paire et étudier les variations de f.

2. Montrer que, pour tout réel x, l'intégrale 2

4

1

1

x

x

dt t  existe.

On définit la fonction réelle F sur par   2

4

1

1

x

x

F x dt t

  .

3. a. Etudier le signe de F.

b. Etudier la parité de F.

4. a. Montrer, pour tout réel x strictement positif   4 416 1 1

x x F x

x x  

  .

b. En déduire les limites de F en  et  .

5. a. Vérifier, pour tout réel x :    41 14 ' 0x F x  .

b. Dresser le tableau des variations de F sur [0 ;  [. On admettra qu'une valeur approchée de 141/4 est 0,52 et qu'une valeur approchée du maximum de F sur [0 ;  [ est 0,37.

c. Tracer la courbe représentative de F dans un repère orthonormé (unité 5 cm).

6. a. Montrer, pour tout réel x strictement positif :   2

4 4 4 4 416 (16 1) ( 1)

x

x

x dt x F x

x x t x x   

  .

b. En déduire que F(x) est équivalent à 3

7

24x au voisinage de  .

7. a. Montrer : n  0t  , 4 4 4 4

0

1 ( 1)

1

n

k k n

k

t t t

     .

b. En déduire que, pour tout réel x de 1

0 ; 2

    

, la série 4 1

4 1

0

2 1 ( 1)

4 1

n n n

n

x n

 

 

 converge.

c. Montrer, pour tout réel x de 1

0 ; 2

    

:   4 1

4 1

0

2 1 ( 1)

4 1

n n n

n

F x x n

  

  

 .

4-12 : escl 2000

On considère la fonction f : ]1 ;  [ définie, pour tout x de ]1 ;  [, par :

1 si 0

( ) ln(1 ) si ] 1 ; 0[ ]0 ; [

x

f x x x

x

   

    

.

1. a. Montrer que f est continue sur ]1 ;  [.

b. Montrer que f est de classe C1 sur ]–1 ; 0[ et sur ]0 ;  [. Pour tout réel x de]–1 ; 0[ et ]0 ;  [, calculer f'(x).

c. Montrer que f '(x) tend vers 1

2  lorsque x tend vers 0.

d. En déduire que f est de classe C1 sur ] 1 ; [  .

2. Montrer : 1x   , ln(1 ) 0 1

x x

x   

 .

En déduire les variations de f. On précisera les limites de f en 1 et en  .

3. Montrer que , pour tout x de l'intervalle ] 1/2 ;  [, l'intégrale 2

( ) x

x

f t dt existe.

4. On considère la fonction F définie, pour tout x de ]1/2 ;  [, par : 2

( ) ( ) x

x

F x f t dt  .

a. Montrer que F est dérivable sur ]1/2 ;  [et que F est croissante .

b. Montrer : ]0 ; [ , ( ) (2 )x F x xf x    .

c. En déduire que F(x) tend vers  quand x tend vers  .

d. Montrer que l'intégrale

1

2

1

( )f t dt

 est convergente .

En déduire que la fonction F admet une limite finie en 1

2  . On ne cherchera pas à calculer cette limite.

4-13 : escl 2001, extrait

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction :nf  définie par   si 0

!

0 si 0

t n

n

e t t

f t n

t

 

   

.

a. Montrer que  2lim 0n t

t f t 

 . En déduire que l'intégrale 0

( )nf t dt 

 est convergente.

b. Montrer que :  *, 0 ;n X     , 1 0 0

( ) ( ) !

x nx x

n n

e x f t dt f t dt

n

    .

c. En déduire 0

( ) 1nf t dt 

 .

4-14 : escl 2002

On considère, pour tout *n , la fonction polynomiale Pn : [0 ;  [ définie, pour tout x

appartenant à [0 ;  [, par :

2 2 2 1 2

1

( 1) ( )

2 2 1 2

n k k n n

n

k

x x x x P x x

k n n

        

 .

I. Etude des fonctions polynomiales Pn

1. Montrer, pour tout *n et tout x de [0 ;  [ : 2 1

' ( ) 1

n

n

x P x

x

  

, où 'nP désigne la dérivée de Pn.

2. Etudier, pour *n , les variations de Pn sur [0 ;  [ et dresser le tableau de variations de Pn.

3. Montrer, pour tout *n : Pn(1) < 0.

4. a. Vérifier, pour tout *n et tout x  [0 ;  [ : 2 11 1

( ) ( ) 2 1 2 2

n n n

x P x P x x

n n

 

      

   .

b. En déduire, pour tout *n :  2 0nP  .

5. Montrer que, pour tout *n , l'équation Pn(x) = 0, d'inconnue x  [1 ;  [, admet une solution et une seule, notée xn, et que 1 < xn  2.

6. Ecrire un programme en langage Pascal qui calcule et affiche une valeur approchée décimale de x2 à 10−3 près.

II. Limite de la suite   *n n

x

1. Etablir, pour tout *n et tout x  [0 ;  [ : 2

0

1 ( )

1

nx

n

t P x dt

t

 

 .

2. En déduire, pour tout *n : 2 21

1 0

1 1

1 1

n nxn t t dt dt

t t

  

   .

3. Démontrer, pour tout *n et tout t  [1 ;  [ :  2 21 1nt n t   .

4. En déduire, pour tout *n : 2

2

1

1 ( 1)

1 2

nxn

n

t n dt x

t

  

 , puis : 2ln 2

0 1nx n

   .

5. Conclure quant à la convergence et à la limite de la suite   *n n

x

.

4-15 : escl 2004, extrait

On considère l’application :f  définie, pour tout t par : 2

2 ( )

1

te f t

t

 , et l’application

:G  définie, pour tout x  par : ( ) ( ) x

x

G x f t dt

  .

a. Montrer que G est impaire.

b. Montrer que G est de classe C1 sur et calculer G'(x) pour tout x réel.

c. Quelle est la limite de G(x) lorsque x tend vers  ?

d. Etudier le sens de variation de G et dresser le tableau de variation de G sur comprenant les limites de G en  et en  .

5. Annales E.S.C.

5-1 : esc 97

Soit n un entier naturel non nul. On pose : In = 2

1

(ln ) e

n nI x x dx  .

1. Calculer I1.

2. a. Etudier le sens de variation de la suite   1n n

I

.

b. Montrer que la suite   1n n

I

est convergente.

c. Montrer que, pour tout  1 ;x e : ln x

x e  .

d. En déduire lim n n

I 

.

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : 3

1

1

3 3 n n

e n I I

   .

b. En déduire lim n n

nI 

.

5-2 : esc 98

Soit 1

0

ln(1 )nnI x x dx  , n .

1. Calculer I0.

2. a. Montrer que 0nI  pour tout n .

b. Etablir que la suite  n nI  est décroissante.

c. En déduire que la suite  n nI  est convergente.

3. a. Justifier l'inégalité :  ln 1n nx x x  pour tout x de [0, 1].

b. En déduire que pour tout n : 1

1 nI

n  

.

c. Calculer lim n n

I 

.

4. a. En utilisant une intégration par parties, montrer que In = 11

0

ln(2) 1

1 1 1

n

n

x I dx

n n x

     .

b. Montrer que 0  11

0

1 0

1 2

nx dx

x n

    et en déduire un encadrement de In.

c. En déduire : lim n n

nI 

.

5-3 : esc 2001, extrait

1. On pose pour tout entier naturel n non nul l'intégrale : 1

ln n n

t I dt

t



  .

a. Calculer pour 1A  l'intégrale 1

lnA t dt

t et en déduire que I1 est divergente.

b. Montrer grâce à une intégration par parties que pour tout entier naturel 2n  , l'intégrale In converge

et vaut 2

1

( 1)n .

c. Etudier les variations de la fonction f définie sur [2 ;  [ par 2

ln ( )

t f t

t  et donner sa limite en  .

(On donne 1,65e  )

d. En déduire grâce à I2 que 2

2

ln

k

k

k



 converge (on ne cherchera pas à calculer cette série).

5-4 : esc 2002

On considère, pour n entier naturel non nul, la fonction fn définie sur *  par : fn (x) =

  2

ln

1 n

n x f x

n nx   

pour tout réel x strictement positif.

On définit également sur * la fonction h par :   2 ln

1

x h x

x  

pour tout x strictement positif.

1. Montrer que les fonctions fn et h sont continues sur *  et étudier leur signe.

2. a. Montrer que l’intégrale impropre 2

1

ln x dx

x



 est convergente et déterminer sa valeur.

b. Montrer que l’intégrale impropre 1

( )h x dx 

 est convergente. Dans toute la suite de l’exercice on note

alors K l’intégrale impropre : 1

( )K h x dx 

  .

3. a. Montrer, grâce au changement de variable 1

u x  que

1

0

( )K h u du  .

b. En déduire que l’intégrale impropre 0

( )h x dx 

 converge et est égale à 2K.

c. En déduire également que l’intégrale impropre 0

( )h x dx 

 converge et vaut 0.

4. a. Montrer que pour tout réel x strictement positif,    nf x h x . En déduire la convergence de

l’intégrale 0

( )nf x dx 

 .

b. Montrer que pour tout réel x strictement positif, h(x) – fn (x) =     2

( )

1 n

h x h x f x

n nx

  .

c. En déduire successivement : 1

0 ( ( ) ( )) 1

n

K h x f x dx

n



    puis

1

0

( ( ) ( )) 0 1

n

K h x f x dx

n       .

d. Montrer que 0

lim ( ) 0n n

f x dx 

  .

5-5 : esc 2004

On considère pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 la fonction fn définie sur  par :

( ) 1

t

n n

e f t

t

 

.

1. a. Justifier la dérivabilité de la fonction fn sur  .

b. Etudier les variations de la fonction fn , préciser sa limite en  et sa valeur en 0.

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