Sciences statistiques – Travaux pratiques 4 - correction, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 mai 2014

Sciences statistiques – Travaux pratiques 4 - correction, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 4 - correction. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: les fonctions f et g définies sur T, le graphique.
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Concours Fesic

Terminale S mai 2010

Concours Fesic

Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, −1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’1 point pour un exercice entièrement juste.

Exercice 1

On considère la fonction f définie par   1 1

ln 2 1

x f x

x

    

  . On appelle D l'ensemble de définition de f.

a.  1 ; 1D    .

b. f estpaire.

c. f est décroissante sur D.

d. Quel que soit le réel b, l’équation f(x) = b possède l'unique solution 2

2

1

1

b

b

e x

e

 

 .

Exercice 2

On considère la fonction f définie sur  par :   1

1 x

x f x e

x

  si 0x  et  0 0f  . On appelle Cla

courbe représentant f dans un repère du plan.

a. f est continue en 0.

b. f est dérivable sur * et sur * et, pour 0x  ,  'f x est du signe de x.

c. C possède la même droite pour asymptote en  et en  .

d. Quel que soit le réel x, on a f(x) < 1.

Exercice 3

On considère la fonction f définie sur  1 ;  par :    sin lnf t t . On appelle C la courbe représentant f dans un repère orthonormal du plan.

Soit F la fonction définie sur  1 ;  par     1

x

F x f t dt  .

a. On a   2

f e   .

b. Si 1 ;t e   

, alors on a   0f t  .

c.  F e représente l'aire de la surface limitée par la courbe C et les droites d'équations x=1, x= e et y=0.

d. Quel que soit x > 1, on a  ' 1F x  .

Exercice 4

On considère une fonction f définie et deux fois dérivable sur .

On appelle  la courbe représentant f et C la courbe représentant la fonction dérivée 'f de f. On a

représenté ci-dessous la courbe C de 'f : C est symétrique par rapport à l'origine du repère. La droite 

est la tangente à C au point d'abscisse 0.

a. La courbe  de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

b.  

0 lim 1 x

f x

x  .

c. La courbe  possède une et une seule tangente parallèle à l’axe des abscisses.

d. Ona  '' 0 1f  .

Exercice 5

a. 7

5

12x dx

 J.

b.   1

0

2 5 5 3xx e dx e   .

c.   

0

1 1 lim 2

x

x

x e

x

   .

d. Soit f la fonction définie sur  par   2 2sinf x x x . f est dérivable sur  et, pour x , on a

  2 2 2' 2 sin cosf x x x x x  .

Exercice 6

a. On considère un tétraèdre ABCD. On appelle I le milieu de [AD], J celui de [BC], K le barycentre de {(A, 2), (B, 1)}, L le barycentre de {(C, 1), (D, 2)} et G le barycentre de {(A, 2),(B, 1), (C, 1), (A, 2)}.

On veut montrer que les points I, J, K et L sont coplanaires. On tient pour cela le raisonnement suivant :

« G est le barycentre de {(I, 4), (J, 2)} et de {(K, 3), (L, 3)}. Donc G, I et J sont alignés, ainsi que G, K et Z sont alignés. On en déduit que I, J, K et L sont coplanaires.» Ce raisonnement est exact.

b. On considère les deux intégrales ln 8

ln 2

3

4

x

x

e I dx

e

 

 et ln 8

ln 2

1

4x J dx

e

 . On veut calculer I et J. On

tient pour cela le raisonnement suivant : « On a ln 8

ln 2

4 ln 8 ln 2 2ln 2

4

x

x

e I J dx

e

     

 .

De plus,   ln 8 ln 8

ln 2ln 2

3 ln 4 ln 12 ln 6 ln 2 4

x x

x

e I J dx e

e           . On en déduit

7 ln 2

4 I  et

ln 2

4 J  . »

Ce raisonnement est exact.

c. On considère la fonction f définie sur +* par:   lnf x x xsi x > 0 et f(0) = 0. On appelle Cla courbe représentant f dans un repère du plan.

On cherche à savoir si C possède ou non une demi-tangente au point d'abscisse 0. On tient pour cela le raisonnement suivant :

« On sait que  lim 0f x  (limite de référence). Comme f(0) = 0, c'est que f est continue en 0. De plus

on a    

0 0

0 lim x x

f x f

x 

   . On en déduit que C possède au point d'abscisse 0 une demi-tangente

d'équation x=0. » Ce raisonnement est exact.

d. On considère la fonction f définie sur  par :   2 1

sinf x x x

    

  si x > 0 et f(0) = 0. On appelle C la

courbe représentant f dans un repère. On cherche à savoir si C possède ou non une tangente au point d'abscisse 0. On tient pour cela le raisonnement suivant :

« Pour tout 0x  , on a: 1

1 sin 1 x

     

  , donc  2 2x f x x   . Or    2 2

0 0 lim lim 0 x x

x x      donc,

d'après le théorème des gendarmes,   0

lim 0 x

f x

 . Comme f(0) = 0, c'est que f est continue en 0. De plus

f est dérivable sur −* et sur +* et, pour 0x  , on a

  2 2

1 1 1 1 1 ' 2 sin cos 2 sin cosf x x x x

x x x xx

                       

          . Or on a

1 2 sinx x x

x

     

  si x > 0 et

1 2 sinx x x

x

     

  si x < 0. Donc

0

1 lim 2 sin 0 x

x x

   

  . Mais comme

0

1 lim cos x x

     

n'existe pas, alors  f x

n'a pas de limite quand x tend vers 0. Donc f n'est pas dérivable en 0. On en déduit que C ne possède pas de tangente au point d'abscisse 0. » Ce raisonnement est exact.

Exercice 7

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

À chaque point M d’affixe z, on associe le point Md'affîxe z’ tel que 2' 1z z z   .

On appelle A le point d'affîxe 1 et on note E0 l'ensemble des points dont l'affixe z est solution de l'équation z’ = 0.

a. Pour tout z différent de 1, on a 31

' 1

z z

z

  

.

b. L'ensemble E0 est réduit à deux points B et C symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe ( ; )O u .

c. Quel que soit le point M d'affixe z appartenant à E0 et quel que soit l'entier n, zn est soit l'affixe du point A, soit celle d'un élément de E0.

d. L'ensemble des points M d'affixe z tels que 'z  est la réunion de deux droites perpendiculaires.

Exercice 8

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v . On considère, dans , l'équation (E):

2 2 1 0z z   .

a. Les complexes −1 + 2i et son conjugué sont solutions de (E).

b. Cette équation est une équation polynômiale de degré 2 qui possède deux solutions.

c. On pose z = x + iy, x et y étant réels. Si z est solution de (E), alors   22 1y x  .

d. La somme des solutions de (E) est égale à −1.

Exercice 9

On considère un triangle ABC et le point M milieu de [BC].

On appelle B’ l'image de B par la rotation de centre A et d'angle 2

 et Cl'image de C par la rotation de

centre A et d'angle 2

  .

On munit le plan complexe d'un repère de centre A dans lequel B, C, B’, C’ et M ont les affixes respectives b, c, b’, c’ et m.

a. c’ + ic = 0 et b’− ib = 0.

b. ' '

2 c b

i m

   .

c. (AM) et (BC’) sont perpendiculaires.

d. BC=2AM.

Exercice 10

Soient a et  une fonction définie et continue sur . On considère l'équation différentielle [E]:

 'y ay x  .

a. Si  est définie par   3 1x x   , alors quel que soit le réel a, il existe un polynôme de degré 2, solution de [E].

b. Si  est définie par   2xx e  , alors quel que soit le réel a, il existe b tel que la fonction f,

définie par   2xf x be soit solution de [E].

c. Si  est la fonction constante nulle et si f est une solution de [E], alors la courbe représentant f

possède au point d'abscisse 0 une tangente d'équation    1 0y ax f  .

d. Si a = 0, alors quelle que soit la fonction  définie et continue sur , [E] possède une solution.

Exercice 11

On considère la suite u définie par 1 1u et, pour tout *n , 1 2 1 1

n nu u n n

      

.

a. La suite u est géométrique de raison 2

1 1

n n

   

  .

b. Quel que soit *n ,  1 !n

n u

n

 .

c. La suite u est décroissante à partir de n = 2. d. La suite u est convergente.

Exercice 12

On considère la fonction f définie sur  ; 3I   par   2

3 f x

x  

. Soit u la suite définie par u0 = 1,5 et,

pour tout n ,  1n nu f u  . a. f est croissante. b. u est croissante.

c. Quel que soit n , on a : 1 < un < 2. d. Si u est convergente et si l est sa limite, alors l est solution de l'équation f(x) = x.

Exercice 13

On considère la suite u définie par 0 1

2 u et, pour n ,  

2

1 2n nu u  .On admettra que quel que soit

n , on a un > 0. On considère alors la suite v définie par  ln 2n nv u . a. La suite v est géométrique.

b. 10 512 ln 2v    .

c. Quel que soit n ,    0

ln 2 1 2

n

n k

k

v

  .

d. Pour tout n , on a 0 1 2 2

1 ...

2 n n

u u u u     .

Exercice 14

On dispose de quatre urnes numérotées de 1 à 4. Les urnes sont composées ainsi : Urne U1 : 1 boule bleue et 3 boules rouges ; Urne U2 : 2 boules bleues et 4 boules rouges ; Urne U3 : 3 boules bleues et 5 boules rouges ; Urne U4 : 6 boules rouges.

Un joueur choisit une urne au hasard, puis prélève une boule au hasard de cette urne. Le joueur est gagnant s'il tire une boule bleue; il est perdant sinon. On désigne par :

•  l'univers des possibilités et P la probabilité associée ; • PA la probabilité conditionnée par un événement A de  ; • G l'événement: « le joueur gagne » ; • Un l'événement: «le joueur choisit l'urne Un ».

a.     1 3

2

3 U UP G P G .

b.   9

8 P G  .

c.  1 1

6 P U  .

d.    22U GP G P U .

Exercice 15

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k . On considère les points A(1, 2, 3), B(−1, 4, 3),

C(−2, 1, 3) et D(5, 4, −3). On appelle K le barycentre de {(C, 1); (D, −2)} et J le milieu de [BC]. On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés. a. Dans le triangle ABC, les médianes se coupent au point de coordonnées (−2, 7, 9). b. Les coordonnées de K sont (−12, −7, 9).

c. Une équation paramétrique du segment [KJ] est

12 9

7 3

9 8

x t

y t

z t

    

   

, où 3

0 ; 2

t       

.

d. Une équation du plan perpendiculaire à (KJ) passant par A est 9x + 3y − 8z + 9 = 0.

Exercice 16

L'espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère le plan P d'équation 2 1y x

z

   

et la droite Dd'équation 2 1

0

y x

z

   

.

Soient A(1, 1, 1), B(3, 5, −3) et C(1, −4, 2). a. A et B sont deux points de P.

b. D est perpendiculaire à P.

c. La distance de C à P est 5 (en unités de repère).

d. L'ensemble des points M(x, y, z) tels que         1 3 1 5 1 3 0x x y y z z         est la sphère de diamètre [AB].

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