Sciences statistiques - Travaux pratiques 8, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 mai 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 8, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 8 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Étude d'une suite, les valeurs manquantes.
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Terminale S

Terminale S mai 1999

Concours Geipi 1999

Correction dans Sujets corrigés de Maths, Ecoles d’ingénieurs, Ellipses, 2002.

1. Exercice 1 (19 points)

Les Parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Étude d'une suite : on considère la fonction h définie sur [0 ; + [ par 2

( ) 1

x h x

x x   

.

On définit la suite *( )n n v

par récurrence en posant : 1

1

1

( ) pour tout 1n n

v

v h v n

 

  .

1. a. Exprimer 1

( )h n

en fonction de n.

b. Justifier alors que, pour tout n  *, on a 1 1

( ) 1

h n n  

.

2. a. Déterminer h '(x).

b. Quel est le sens de variation de h sur [0 ; 1] ?

3. a. Soit p  *. On suppose que 1

0 pv p

  ; justifier alors que 1 1

0 1

pv p

  

.

b. En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout n  *, 1

0 nv n

  .

4. Déterminer lim n n

v 

. Justifier la réponse.

Partie B : Étude d'une fonction f

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +[ par :

1

( ) ( 1) xf x x e

  . On note (C) sa courbe

représentative dans un repère orthonormal  ; ,O i j .

I - Calculer la dérivée f ‘ de f sur ]0 ; +[ et donner le tableau de variation de f en précisant les limites de

f en 0 et en +.

II - On considère la fonction g définie sur [0 ; +[ par 2

( ) 1 2

X Xg X e X    .

1. a. Déterminer g '(X)et g ''(X) pour tout 0X  .

b. Quel est le signe de g '(X) sur [0 ; + [ ? Justifier la réponse.

c. Quel est le signe de g(X) sur [0 ; +[ ? Justifier la réponse.

2. À l'aide des signes de g(X) et de g'(X), déterminer deux polynômes P1 et P2 tels que l'on ait pour tout

0X  , P1(X) Xe  P2(X).

III - 1. En utilisant les résultats de II, déterminer les réels a, b, c, d et e qui vérifient pour tout x > 0,

2 ( )

a c d b f x x e

x xx       .

2. En déduire la limite de f(x) – x quand x tend vers +. Que peut-on en conclure pour la courbe (C) de f ?

IV - Soit un réel   ]0 ; +[. On appelle (T) la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse  et t

l'abscisse du point d'intersection de (T) avec l'axe des abscisses.

1. a. Déterminer une équation de (T1).

b. Calculer la valeur de t1.

2. Donner l'expression de t en fonction de .

2. Exercice 2 (9 points)

Soit a  [0 ; + [. On note 0 0

( ) 1

a dt I a

t

 et pour k  *, on pose 10 ( )

( ) (1 )

ka

k k

t a I a dt

t  

  .

1. Calculer 0( )I a en fonction de a.

2. En utilisant une intégration par parties, exprimer 1( )I a en fonction de a et de 0( )I a . On posera

( ) ( )u t t a  et 2

1 '( )

(1 ) v t

t  

. Un calcul détaillé est demandé.

3. En utilisant une intégration par parties, exprimer 1( )kI a en fonction de 1ka  et de Ik(a).

4. P désignant un polynôme de degré 5, déterminer P(a) tel que 5

6 0

( ) ln(1 ) ( )

(1 )

a t a dt a P a

t

   

 .

5. Calculer 5

0

( ) ( ) a

J a t a dt  .

6. On pose 5

5

6 0

( ) ( ) ( )

(1 )

a t a K a t a dt

t

     

   . Quel est le signe de K(a) ? Justifier votre résultat.

7. Justifier que 5( ) ( ) 0J a I a  .

8. En utilisant les résultats précédents, justifier que l’on a pour tout réel a  [0 ; +[,

2 3 4 5 6

ln(1 ) 2 3 4 5 6

a a a a a a a       .

3. Exercice 3 (8 points)

Deux joueurs A et B disposant au départ respectivement des sommes SA et SB (en francs) pratiquent le jeu suivant :

On lance, plusieurs fois de suite, une pièce non truquée (les lancers sont supposés indépendants). À la suite de chaque lancer :

Si Pile apparaît, le joueur A donne 1 F au joueur B.

Si Face apparaît, le joueur B donne 1 F au joueur A.

Le jeu s'arrête dès que l'un des joueurs est ruiné (c'est-à-dire qu'il n'a plus d'argent). L’autre joueur est alors le vainqueur du jeu (il possède alors la somme SA + SB). Dans tout l'exercice on suppose que SA + SB = 4 et on limite le jeu à trois lancers.

1. L'arbre suivant, incomplet, permet de décrire la situation financière du joueur A, au cours des trois lancers, dans un cas particulier.

Dans cet arbre, Pile désigne « pile est sorti » et Face désigne « face est sorti ».

Compléter l'arbre en remplaçant les points d'interrogation par les valeurs manquantes. On pourra, dans la suite de l'exercice, utiliser ce type d'arbre.

2. Dans cette question, le joueur A possède au départ 2 francs : SA = 2.

a. Déterminer la probabilité P que le joueur A soit vainqueur.

b. Déterminer la probabilité Q que le joueur B soit vainqueur.

c. Déterminer la probabilité R qu'il n'y ait pas de vainqueur du jeu.

3. Dans cette question, le joueur A possède au départ 3 francs: SA = 3.

On note GA la variable aléatoire représentant la somme possédée par le joueur A à la fin du jeu.

Pour k  {0, 1, 2, 3, 4}, on note pk la probabilité que GA soit égal à k, soit : pk = P(GA = k).

a. Calculer pk pour k  {0, 1, 2, 3, 4}.

b. Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire GA. On notera cette espérance E3(GA).

4. Dans cette question, le joueur A possède au départ n francs avec n  {0, 1, 2, 3, 4} : SA= n.

On considère les variables aléatoires GA et GB représentant les sommes possédées par les joueurs A et B à la fin du jeu.

a. Donner une relation entre les espérances mathématiques des variables aléatoires GA et GB. On notera ces espérances E(GA) et E(GB).

b. Calculer l'espérance mathématique de GA en fonction de n.

4. Exercice 4 (15 points)

Partie A

1. Soit z un nombre complexe, dont la partie imaginaire est nulle (Im(z) = 0) et la partie réelle est strictement positive (Re(z) > 0). Préciser l'argument de z.

2. Soit  et  deux nombres réels. On note z1 et z2 les nombres complexes définis par

1 cos sin iz e i     et 2 cos sin

iz e i     .

A possède au départ

A possède après le 1er lancer

A possède après le 2ième

lancer

A possède après le 3ième

lancer

2

1 3

2

Face Pile Face Pile

Face Pile

Face Pile Face Pile

3 ? ? ?

? ? 0

a. Justifier l'existence du nombre complexe 2

1 2

1 2

( )z z Z

z z

  .

b. Exprimer Z en fonction de cos ( – ).

c. Exprimer Z en fonction de cos( ) 2

  .

d. En déduire le module et l'argument de Z.

e. Donner une condition nécessaire et suffisante sur  et  pour que Z soit nul.

Partie B

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v . Soit a et b deux nombres

complexes non nuls. On note  et  les arguments de a et b, et on note A et B les points d'affixes a et b.

I - Donner une condition nécessaire et suffisante sur  et  pour que les points O, A et B ne soient pas alignés.

II - On considère dans la suite que les points O, A et B ne sont pas alignés. On appelle G le barycentre

des points A et B affectés respectivement des coefficients b , module de b et de a , module de a. On

note G = Bar [(A, b ) ; (B, a )], et z l'affixe du point G.

1. a. Justifier l'existence de G.

b. Exprimer z en fonction de a de b et de leurs modules.

2. a. Déterminer, en fonction de a et de b , le nombre réel H tel que ( )iiz H e e   .

b. Déterminer, en fonction de a et de b , le nombre réel K tel que 2 2( )

.

ii

ii

z e e K

ab e e





  . Justifier que K

est strictement positif.

c. En utilisant la partie A, justifier que 2z

ab est un réel strictement positif, préciser son argument.

d. En déduire une relation entre l'argument de z et les nombres  et .

3. a. Exprimer alors l'angle ( , )u OG en fonction des angles ( , )u OA et ( , )u OB .

b. En déduire la valeur de l'angle ( , )OA OG en fonction de celle de ( , )OA OB .

c. En déduire une propriété de la droite (OG) par rapport à l'angle des demi-droites [OA) et [OB).

5. Exercice 5 (9 points)

Hors programme après 2002.

Une particule se déplace dans un plan rapporté à un repère orthonormal  ; ,O i j direct.

On note M(t) la position de cette particule à l'instant t  ; (x(t) ; y(t)) le couple des coordonnées de

M(t) dans le repère  ; ,O i j .

On suppose que les fonctions x et y sont définies par le système suivant : pour tout tR

( ) 3(sin cos )

( ) 4sin

x t t t

y t t

  

 .

On se propose dans cet exercice d'étudier la trajectoire (C) de la particule.

1. a. Donner la transformation T1 du plan transformant M(t) en M(t +2), quel que soit le réel t.

b. Donner la transformation T2 du plan transformant M(t) en M(t + ), quel que soit le réel t.

c. En déduire le plus petit intervalle d'étude [0 ; a] que l'on peut choisir.

2. Développer sin (t + 4

 ). En déduire les réels A et  tels que x(t) = A sin(t + ).

3. a. Déterminer x'(t) et y'(t) où x' et y' sont les dérivées de x et y.

b. Donner les tableaux de variation des fonctions x(t) et y(t) sur [0 ; a].

4. Déterminer un vecteur directeur ( )V t de chaque tangente à la courbe (C) aux points M(t) pour t= 0,

t= 4

 , t=

2

 , t= .

5. Déterminer l'instant t0 de [0 ; a] où la particule se trouve sur l'axe  ,O j . Donner les coordonnées de M(t0).

6. a. Tracer la partie de la trajectoire (C) décrite par M(t) quand t  [0 ; a] avec les tangentes dont on a déterminé un vecteur directeur dans la question 4. et le point M(t0).

b. A l'aide des transformations T1 et T2, compléter, en couleur, le tracé de la trajectoire (C) quand t  .

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