Série de mathématique – correction –  6, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Série de mathématique – correction – 6, Exercices de Mathématiques

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Série de mathématique – correction – 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Intersection de trois plans donnés, l’enseignement de spécialité, Représentation graphique de quelques ensembles, Résolution d’une...
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[ Baccalauréat S Asie 18 juin 2008 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

A -Vrai ou faux ? Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une

démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse la démonstration

consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exempte.

Rappel des notations :

• P1∩P2 désigne l’ensemble des points communs aux plans P1 et P2.

L’écriture P1∩P2 =; signifie que les plans P1 et P2 n’ont aucun point commun.

1. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :

P1∩P2 6= ; et P2∩P3 6= ;,

alors on peut conclure que P1 et P3 vérifient : P1∩P3 6= ;.

2. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :

P1∩P2∩P3 =;

alors on peut conclure que P1, P2 etP3 sont tels que :P1∩P2 =; etP2∩P3 =;.

3. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :

P1∩P2 6= ; et P1∩P3 =;,

alors on peut conclure que P2 et P3 vérifient : P2∩P3 6= ;.

4. Si P1 et P2 sont deux plans distincts et D une droite de l’espace vérifiant :

P1∩D 6= ; et P1∩P2 =;,

alors on peut conclure que P2∩D 6= ;

B - Intersection de trois plans donnés

Dans un repère orthonormal de l’espace on considère les trois plans suivants : • P1 d’équation x+ y z = 0 • P2 d’équation 2x+ y + z−3= 0, • P3 d’équation x+2y −4z+3 = 0.

1. Justifier que les plans P1 et P2 sont sécants puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection, notée ∆.

2. En déduire la nature de l’intersection P1∩P2∩P3.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère plusieurs sacs de billes S1, S2, . . . , Sn , . . . tels que : — le premier, S1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes ; — chacun des suivants, S2, S3, . . . , Sn , . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :

— on tire au hasard une bille dans S1 ; — on place la bille tirée de S1 dans S2, puis on tire au hasard une bille dans S2 ;

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

— on place la bille tirée de S2 dans S3, puis on tire au hasard une bille dans S3 ; — etc.

Pour tout entier n> 1, on note En l’évènement : « la bille tirée dans Sn est verte » et on note p (En) sa probabilité.

1. Mise en évidence d’une relation de récurrence

a. D’après l’énoncé, donner les valeurs de p (E1) , pE1 (E2) , pE1 (E2).

En déduire la valeur de p (E2).

b. À l’aide d’un arbre pondéré, exprimer p (En+1) en fonction de p (En).

2. Étude d’une suite

On considère la suite (un ) définie par :

u1 = 2

5

un+1 = 1

5 un +

2

5 pour tout n> 1.

a. Démontrer que la suite (un ) est majorée par 1

2 .

b. Démontrer que (un ) est croissante.

c. Justifier que la suite (un ) est convergente et préciser sa limite.

3. Évolution des probabilités p (En)

a. À l’aide des résultats précédents, déterminer l’évolution des probabilités p (En).

b. Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on : 0,499996 p (En)6 0,5 ?

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Soit a et b deux entiers naturels non nuls ; on appelle « réseau » associé aux entiers a et b l’ensemble des points du plan, muni d’un repère orthonormal, dont les coordonnées (x ; y) sont des entiers vérifiant les conditions : 06 x 6 a et 0 6 y 6 b. On note Ra, b ce réseau. Le but de l’exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers x et y à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau.

A - Représentation graphique de quelques ensembles

Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d’un gra- phique qui sera dûment complété sur la feuille annexe no 1 à rendre avec la copie. Représenter graphiquement les points M(x ; y) du réseau R8,8 vérifiant :

1. x ≡ 2 (modulo 3) et y ≡ 1 (modulo 3), sur le graphique 1 de la feuille annexe

2. x+ y ≡ 1 (modulo 3), sur le graphique 2 de la feuille annexe ;

3. x y (modulo 3), sur le graphique 3 de la feuille annexe.

B - Résolution d’une équation

On considère l’équation (E) : 7x−4y = 1, où les inconnues x et y sont des entiers relatifs.

1. Déterminer un couple d’entiers relatifs (

x0 ; y0 )

solution de l’équation (E).

2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

3. Démontrer que l’équation (E) admet une unique solution (x ; y) pour laquelle le point M(x ; y) correspondant appartient au réseau R4,7.

C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau.

Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [OA] du réseau Ra, b , avec O(0 ; 0) et A(a ; b).

Asie 2 18 juin 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Démontrer que les points du segment [OA] sont caractérisés par les conditions :

06 x6 a ; 06 y 6 b ; ay = bx.

2. Démontrer que si a et b sont premiers entre eux, alors les points O et A sont les seuls points du segment [OA] appartenant au réseau Ra, b .

3. Démontrer que si a et b ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [OA] contient aumoins un autre point du réseau.

(On pourra considérer le pgcd d des nombres a et b et poser a = da′ et b = db′.)

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. On prendra pour

le dessin : ∥

−→ u

∥= 4 cm.

M est un point d’affixe z non nul. On désigne par M ′ le point d’affixe z ′ telle que

z ′ =− 1

z .

z désigne le conjugué du nombre complexe z.

A - Quelques propriétés

1. Soit z un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de z et z ′ puis une relation entre les arguments de z et z ′.

2. Démontrer que les points O, M et M ′ sont alignés.

3. Démontrer que pour tout nombre complexe z non nul on a l’égalité :

z ′+1= 1

z (z−1).

B - Construction de l’image d’un point

On désigne par A et B les deux points d’affixes respectives 1 et −1. On note C l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie : |z−1| = 1.

1. Quelle est la nature de l’ensemble C ?

2. Soit M un point de C d’affixe z, distinct du point O.

a. Démontrer que ∣

z ′+1 ∣

∣= ∣

z ′ ∣

∣. Interpréter géométriquement cette égalité.

b. Est-il vrai que si z ′ vérifie l’égalité : ∣

z ′+1 ∣

∣= ∣

z ′ ∣

∣, alors z vérifie l’égalité :

|z−1| = 1 ?

3. Tracer l’ensemble C sur une figure. Si M est un point de C , décrire et réaliser la construction du point M ′.

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

A - Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le résultat suivant : lim x→+∞

ex

x =+∞.

Démontrer que : lim x→+∞

xe−x = 0.

B - Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur R par :

Asie 3 18 juin 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

f (x)= (x+1)e−x .

On note (C ) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

du plan.

On prendra 4 cm pour unité graphique.

1. Cette questiondemande le développement d’une certaine démarche comportant plu- sieurs étapes. La clarté du plan d’étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la

qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.

Étudier les variations de la fonction f et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.

2. Tracer la courbe (C ). On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.

C - Étude d’une famille de fonctions

Pour tout entier relatif k, on note fk la fonction définie sur R par :

fk (x)= (x+1)e kx .

OnnoteCk la courbe représentative de la fonction fk dansun repère orthonormal duplan. On remarque que le cas k =−1 a été traité dans la partie B, car on a f−1 = f et C−1 =C .

1. a. Quelle est la nature de la fonction f0 ?

b. Déterminer les points d’intersection des courbes C0 et C1.

Vérifier que, pour tout entier k, ces points appartiennent à la courbe Ck .

2. Étudier, suivant les valeurs du réel x, le signe de l’expression : (x+1)(ex −1).

En déduire, pour k entier relatif donné, les positions relatives des courbes Ck et Ck+1.

3. Calculer f k (x) pour tout réel x et pour tout entier k non nul.

En déduire le sens de variation de la fonction fk suivant les valeurs de k. (On dis- tinguera les cas : k > 0 et k < 0.)

4. Le graphique suivant représente quatre courbes E , F , H , et K , correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre k, parmi les entiers −1, −3, 1 et 2.

Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.

Asie 4 18 juin 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

E

E

F

F

H

H

K

K

1

1

D - Calcul d’une aire plane Soit λ un réel strictement positif. La fonction f est celle définie dans la partie B.

1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer ce nombre : A (λ)= ∫λ

0 f (t)dt .

2. Déterminer lim λ→+∞

A (λ). Interpréter graphiquement le résultat.

Asie 5 18 juin 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe 1 - exercice 3 (spécialité mathématique) - À rendre avec la copie

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Graphique 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Graphique 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Graphique 3

Asie 6 18 juin 2008

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