Série de mathématique – correction –  7, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Série de mathématique – correction – 7, Exercices de Mathématiques

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Série de mathématique – correction – 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer la limite de la suite - correction, Confirmer avec son écriture en base 10 - correction.
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[ Baccalauréat S 2008\

L’intégrale demars à novembre 2008

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus

Nouvelle-Calédoniemars 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Pondichéry avril 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Libanmai 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Amérique du Nordmai 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Antilles-Guyane juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Asie juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Centres étrangers juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Métropole juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

La Réunion juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Polynésie juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Antilles–Guyane septembre 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

Métropole et La Réunion septembre 2008 . . . . . . . . . . . . . .51

Polynésie obligatoire septembre 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Nouvelle-Calédonie novembre 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Amérique du Sud novembre 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

2

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2008\ (spécialité)

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur ]−∞ ; 6[ par

f (x)= 9

6− x On définit pour tout entier naturel n la suite (Un) par

{

U0 = −3 Un+1 = f (Un)

1. La courbe représentative de la fonction f est donnée sur la feuille jointe ac- compagnée de celle de la droite d’équation y = x. Construire, sur cette feuille annexe les pointsM0 (U0 ; 0) , M1 (U1 ; 0) , M2 (U2 ; 0) , M3 (U3 ; 0) etM4 (U4 ; 0).

Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite (Un) ?

2. a. Démontrer que si x < 3 a alors 9

6− x < 3.

En déduire queUn < 3 pour tout entier naturel n. b. Étudier le sens de variation de la suite (Un).

c. Que peut-on déduire des questions 2. a. et 2. b. ?

3. On considère la suite (Vn) définie par Vn = 1

Un−3 pour tout entier naturel n.

a. Démontrer que la suite (Vn) est une suite arithmétique de raison − 1

3 .

b. Déterminer Vn puisUn en fonction de n.

c. Calculer la limite de la suite (Un).

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

PARTIE A : Question de cours

Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’ad- dition, la multiplication et les puissances ? Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.

PARTIE B

On note 0, 1, 2, . . . , 9, α, β, les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :

βα7 12

=β×122+α×12+7= 11×122 +10×12+7 = 1711 en base 10

1. a. Soit N1 le nombre s’écrivant en base 12 :

N1 =β1α 12

Déterminer l’écriture de N1 en base 10.

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

b. Soit N2 le nombre s’écrivant en base 10 :

N2 = 1131= 1×103+1×102+3×10+1

Déterminer l’écriture de N2 en base 12.

Dans toute la suite, un entier naturel N s’écrira demanière générale en base 12 :

N = an · · ·a1a012

2. a. Démontrer que N a0 (3). En déduire un critère de divisibilité par 3 d’un nombre écrit en base 12.

b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N2 est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base 10.

3. a. Démontrer que N an+·· ·+a1+a0 (11). En déduire un critère de divi- sibilité par 11 d’un nombre écrit en base 12.

b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10.

4. Un nombre N s’écrit x4y 12 . Déterminer les valeurs de x et de y pour les-

quelles N est divisible par 33.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Deux éleveurs produisent une race de poissons d’ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu’à l’âge de trois mois :

• pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 10% n’ont pas survécu, 75% deviennent rouges et les 15% restant de- viennent gris.

• pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 5% n’ont pas survécu, 65% deviennent rouges et les 30% restant deviennent gris.

Une animalerie achète les alevins, à l’âge de deux mois : 60% au premier éleveur, 40% au second.

1. Unenfant achète unpoisson le lendemainde son arrivée à l’animalerie, c’est- à-dire à l’âge de deux mois.

a. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de 0,92.

b. Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge.

c. Sachant que le poisson est gris à l’âge de trois mois, quelle est la probabi- lité qu’il provienne du premier élevage ?

2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 5 alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu’un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à 10−2 près.

3. L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de troismois, afinqu’ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne 1 euro si le poisson est rouge, 0,25 euro s’il est gris et perd 0,10 euro s’il ne survit pas.

Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par pois- son acheté. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérancemathéma- tique, arrondie au centime.

Nouvelle-Calédonie 4 mars 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 5 points Commun à tous les candidats

L’espace est rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

orthonormé. Soit t un nombre réel.

On donne le point A(−1 ; 2 ; 3) et la droiteD de système d’équations paramétriques : 

x = 9+4t y = 6+ t z = 2+2t

Le but de cet exercice est de calculer de deux façons différentes la distance d entre le point A et la droite D.

1. a. Donner une équation cartésienne du plan P , perpendiculaire à la droite D et passant par A.

b. Vérifier que le point B(−3 ; 3 ; −4) appartient à la droite D. c. Calculer la distance dB entre le point B et le plan P .

d. Exprimer la distance d en fonction de dB et de la distance AB. En déduire la valeur exacte de d .

2. Soit M un point de la droite D. Exprimer AM2 en fonction de t . Retrouver alors la valeur de d .

Nouvelle-Calédonie 5 mars 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

ANNEXE (à rendre avec la copie)

1

2

3

4

5

6

7

−1

1 2 3 4 5 6−1−2−3-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Nouvelle-Calédonie 6 mars 2008

[ Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2008\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

1. Soit f la fonction définie sur [1 ; +∞[ par f (x) = x

ex −1 et soit H la fonction

définie sur [1 ; +∞[ par H(x)= ∫x

1 f (t)dt .

a. Justifier que f et H sont bien définies sur [1 ; +∞[ b. Quelle relation existe-t-il entre H et f ?

c. SoitC la courbe représentative de f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

du plan. Interpréter en termes d’aire le nombre H(3).

2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre H(3).

a. Montrer que pour tout réel x > 0, x

ex −1 = x×

e−x

1−e−x .

b. En déduire que ∫3

1 f (x)dx = 3ln

(

1− 1

e3

)

− ln (

1− 1

e

)

− ∫3

1 ln

(

1−e−x )

dx.

c. Montrer que si 16 x 6 3, alors ln

(

1− 1

e

)

6 ln(1−e−x )6 ln (

1− 1

e3

)

.

d. En déduire un encadrement de ∫3

1 ln (

1−e−x )

dx puis de ∫3

1 f (x)dx.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.

Partie A

On suppose connus les résultats suivants :

1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes zA , zB et zC trois points A, B etC .

Alors

zB zC zA zC

= CB

CA et arg

(

zB zC zA zC

)

= (−−→ CA ,

−−→ CB

)

(2π).

2. Soit z un nombre complexe et soit θ un réel :

z = eiθ si et seulement si |z| = 1 et arg(z)= θ+2, où k est un entier relatif.

Démonstration de cours : démontrer que la rotation r d’angle α et de centre Ω d’af- fixeω est la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M

d’affixe z ′ tel que

z ′−ω= eiα(zω).

Partie B

Dans un repère orthonormal direct du plan complexe (

O, −→ u ,

−→ v )

d’unité graphique

2 cm, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives

zA =− p 3− i, zB = 1− i

p 3, zC =

p 3+ i et zD =−1+ i

p 3.

1. a. Donner lemodule et un argument pour, chacundes quatre nombres com- plexes zA , zB , zC et zD .

b. Comment construire à la règle et au compas les points A, B, C et D dans

le repère (

O, −→ u ,

−→ v )

?

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

c. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

2. On considère la rotation r de centre B et d’angle − π

3 . Soient E et F les points

du plan définis par : E = r (A) et F = r (C ). a. Comment construire à la règle et au compas les points F et E dans le re-

père précédent ?

b. Donner l’écriture complexe de r .

c. Déterminer l’affixe du point E .

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On suppose connu le résultat suivant : Une application f du plan muni d’un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme z ′ = az+b, où a ∈C∗ et b ∈C.

Démonstrationde cours : on se place dans le plan complexe.Démontrer que si A,B,A

et B ′ sont quatre points tels que A est distinct de B et A′ est distinct de B ′, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B ′.

Partie B

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

on consi-

dère les points A, B, C , D d’affixes respectives

zA =− p 3− i, zB = 1− i

p 3, zC =

p 3+ i et zD =−1+ i

p 3.

1. a. Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres com- plexes zA , zB , zC et zD .

b. Construire à la règle et au compas les points A, B, C et D (on prendra pour unité graphique 2 cm).

c. Déterminer le milieu du segment [AC ], celui du segment [BD]. Calculer

le quotient zB

zA . En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

2. On considère la similitude directe g dont l’écriture complexe est z ′ = e−i π 3 z+

2.

a. Déterminer les éléments caractéristiques de g .

b. Construire à la règle et au compas les images respectives E , F et J par g des points A, C etO.

c. Que constate-t-on concernant ces points E , F et J ? Le démontrer.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

On considère un tétraèdre ABCD. On note I , J , K , L, M , N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC ], [AD], [AC ] et [BD]. On désigne par G l’isobarycentre des points A, B, C et D. A

B

C

D

Pondichéry 8 16 avril 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

1. Montrer que les droites (I J ), (KL) et (MN ) sont concourantes enG.

Dans la suite de l’exercice, on suppose que AB =CD, BC = AD et AC =BD. (Ondit que le tétraèdre ABCD est équifacial, car ses faces sont isométriques).

2. a. Quelle est la nature du quadrilatère IK JL ? Préciser également la nature des quadrilatères IM JN et KNLM .

b. Endéduire que (I J ) et (KL) sont orthogonales.Onadmettra que, demême, les droites (I J ) et (MN ) sont orthogonales et les droites (KL) et (MN ) sont orthogonales.

3. a. Montrer que la droite (I J ) est orthogonale au plan (MKN ).

b. Quelle est la valeur du produit scalaire −→ I J ·

−−−→ MK ? En déduire que (I J ) est

orthogonale à la droite (AB). Montrer de même que (I J ) est orthogonale à la droite (CD).

c. Montrer queG appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD].

d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Comment démontrerait-on que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD ?

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

On cherche à modéliser de deux façons différentes l’évolution du nombre, exprimé

en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de

l’année.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A : unmodèle discret

Soit un le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’année n. On pose n = 0 en 2005, u0 = 1 et, pour tout n> 0,

un+1 = 1

10 un (20−un ) .

1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 20] par

f (x)= 1

10 x(20− x).

a. Étudier les variations de f sur [0 ; 20].

b. En déduire que pour tout x ∈ [0 ; 20], f (x) ∈ [0 ; 10]. c. On donne en annexe la courbe représentative C de la fonction f dans un

repère orthonormal.

Représenter, sur l’axe des abscisses, à l’aide de ce graphique, les cinq pre- miers termes de la suite (un )n>0.

2. Montrer par récurrence que pour tout n ∈N, 06 un 6 un+1 6 10. 3. Montrer que la suite (un)n>0 est convergente et déterminer sa limite.

Partie B : unmodèle continu

Soit g (x) le nombre, exprimé enmillions, de tels foyers l’année x. On pose x = 0 en 2005, g (0)= 1 et g est une solution, qui ne s’annule pas sur [0 ; +∞[, de l’équation différentielle

(E) ; y ′ = 1

20 y(10− y).

Pondichéry 9 16 avril 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

1. On considère une fonction y qui ne s’annule pas sur [0 ; +∞[ et on pose z =

1

y .

a. Montrer que y est solutionde (E) si et seulement si z est solutionde l’équa- tion différentielle :

(E1) : z ′ =−

1

2 z+

1

20 .

b. Résoudre l’équation (E1) et en déduire les solutions de l’équation (E).

2. Montrer que g est définie sur [0 ; +∞[ par g (x)= 10

9e− 1 2 x +1

.

3. Étudier les variations de g sur [0 ; +∞[. 4. Calculer la limite de g en +∞ et interpréter le résultat. 5. Enquelle année le nombrede foyers possédant un tel équipement dépassera-

t-il 5 millions ?

Pondichéry 10 16 avril 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

ANNEXE

À rendre avec la copie

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13

−1 −2 −3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23−1−2−3−4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

Pondichéry 11 16 avril 2008

[ Baccalauréat S Liban juin 2008\

EXERCICE 1 4 points

Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.

Partie A

Un joueur dispose d’un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s’il obtient 1, il tire au hasard une boule de l’urne A, sinon il tire au hasard une boule de l’urne B.

1. Soit R l’évènement « le joueur obtient une boule rouge ».

Montrer que p(R)= 0,15. 2. Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu’elle provienne de A

est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu’elle provienne de B ?

Partie B

Le joueur répète deux fois l’épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c’est-à-dire qu’à l’issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale). Soit x un entier naturel non nul. Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne x euros s’il obtient une boule rouge et perd deux euros s’il obtient une boule noire. On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs 2x,x−2 et −4.

1. Déterminer la loi de probabilité de G.

2. Exprimer l’espérance E(G) de la variable aléatoire G en fonction de x.

3. Pour quelles valeurs de x a-t-on E(G)> 0 ?

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas choisi la spécialitémathématiques

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Partie A

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

1. Soit z un nombre complexe d’argument π

3 .

Proposition 1 : « z100 est un nombre réel ».

2. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z différente de 1 du plan telle que ∣

z

1− z

∣= 1.

Proposition 2 : « l’ensemble (E) est une droite parallèle à l’axe des réels ».

3. Soit r la rotation d’angle − π

2 et dont le centre K a pour affixe 1+ i

p 3.

Proposition 3 : « l’image du point O par la rotation r a pour affixe (

1− p 3 )

+ i (

1+ p 3 )

».

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

4. On considère l’équation (E) suivante : z2+2cos (π

5

)

z+1= 0.

Proposition 4 : « l’équation (E) a deux solutions complexes demodules égaux à 1 ».

Partie B

On considère le cube ABCDEFGH d’arête 1, représenté ci-dessous. Proposition 5 :

« le vecteur −−→ AG est normal au plan (BDE) ».

Proposition 6 : « les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires ».

A B

C D

E F

GH

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant choisi la spécialitémathématiques

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

,

on considère la similitude directe f d’écriture complexe

z 7→ 3

2 (1− i)z+4−2i.

Proposition1 f = r h h est l’homothétie de rapport 3 p 2

2 et de centre

le pointΩ d’affixe −2−2i et où r est la rotation de centreΩ et d’angle − π

4 ».

2. Pour tout entier naturel n non nul :

Proposition 2 : « 56n+1+23n+1 est divisible par 5 ». Proposition 3 : « 56n+1+23n+1 est divisible par 7 ».

3. Dans le plan muni d’un repère, (D) est la droite d’équation 11x−5y = 14. Proposition4 :« les points de (D) à coordonnées entières sont les points de coordonnées (5k+14 ; 11k+28) où k ∈Z.

4. L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Liban 13 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

La surface Σ ci-contre a pour équation z = x2+ y2.

O −→ ı −→

−→ k

Proposition5 :« la section de la surface Σ et du plan d’équation x = λ, où λ est un réel, est une hyperbole ».

Proposition6 : « le plan d’équation z = 9 p 2

2 partage le solide délimité par Σ

et le plan d’équation z = 9 en deux solides de même volume ».

Rappel : Soit V le volume du solide délimité parΣ et les plans d’équations z= a et z = b où 06 a6 b6 9.

V est donné par la formule V = ∫b

a S (k) dk où S(k) est l’aire de la section du

solide par le plan d’équation z = k où k ∈ [a ; b].

EXERCICE 3 6 points

Partie A. Démonstration de cours

Prérequis : définition d’une suite tendant vers plus l’infini. « une suite tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs àA ». Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +∞.

Partie B

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

f (x)= ln(x+1)+ 1

2 x2.

La courbe (C ) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. Cette courbe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[. 2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d’abs-

cisse 0.

3. Tracer la droite (T) sur le graphique. Dans la suite de l’exercice, on admet que, sur l’intervalle ]0 ; +∞[, la courbe (C ) est située au dessus de la droite (T).

Partie C

Onconsidère la suite (un ) définie surN paru0 = 1, et pour tout entier natureln,un+1 = f (un ) .

1. Construire sur l’axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite (un ) en laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique donné).

2. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de va- riation de la suite (un) et son comportement lorsque n tend vers +∞ ?

Liban 14 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

3. a. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n,un > 1.

b. Montrer que la suite (un ) est croissante.

c. Montrer que la suite (un ) n’est pas majorée.

d. En déduire la limite de la suite (un ).

EXERCICE 4 5 points

On considère une fonction f dérivable sur l’intervalle ]−∞ ; +∞[. On donne le tableau de ses variations :

x −∞ 0 2 +∞ f ′(x) + + 0 −

f (x)

−∞

0

1+e−2

1

Soit g la fonction définie sur ]−∞ ; +∞[ par g (x)= ∫x

0 f (t)dt .

Partie A

1. En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe (C ) susceptible de représenter f dans le plan muni d’un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur l’axe des abs- cisses, 2 cm sur l’axe des ordonnées).

2. a. Interpréter graphiquement g (2).

b. Montrer que 06 g (2)6 2,5.

3. a. Soit x un réel supérieur à 2.

Montrer que ∫x

2 f (t)dt > x−2. En déduire que g (x)> x−2.

b. Déterminer la limite de la fonction g en +∞. 4. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle ]−∞ ; +∞[.

Partie B

On admet que pour tout réel t , f (t)= (t −1)e−t +1. 1. À l’aide d’une intégration par parties, exprimer en fonction du réel x l’inté-

grale ∫x

0 (t −1)e−t dt .

2. En déduire que pour tout réel x, g (x)= x (1−e−x ). 3. Déterminer la limite de la fonction g en −∞.

Liban 15 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

Annexe

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

Exercice 3

Représentation graphique de la fonction f obtenue à l’aide d’un tableur

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

Liban 16 juin 2008

[ Baccalauréat S Amérique du Nord 29mai 2008\

EXERCICE 1 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

unité gra-

phique : 4 cm. On considère le point A d’affixe zA = 2+ i et le cercle (Γ) de centre A et de rayon

p 2.

1. Faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice.

2. a. Déterminer les affixes des points d’intersection de (Γ) et de l’axe (

O ; −→ u )

.

b. On désigne par B et C les points d’affixes respectives zB = 1 et zC = 3. Déterminer l’affixe zD du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle (Γ).

3. Soit M le point d’affixe 3

5 + 6

5 i.

a. Calculer le nombre complexe zD− zM zB− zM

.

b. Interpréter géométriquement un argument du nombre zD− zM zB− zM

; en dé-

duire que le point M appartient au cercle (Γ).

4. On note (Γ′) le cercle de diamètre [AB].

La droite (BM) recoupe le cercle (Γ′) en un point N.

a. Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles.

b. Déterminer l’affixe du point N.

5. On désigne par M′ l’image du point M par la rotation de centre B et d’angle

π

2 .

a. Déterminer l’affixe du point M′.

b. Montrer que le point M′ appartient au cercle (Γ′).

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Partie A

On considère deux points A et D de l’espace et on désigne par I le milieu du segment [AD].

1. Démontrer que, pour tout point M de l’espace, −−→ MD ·−−→MA =MI2− IA2.

2. En déduire l’ensemble (E) des points M de l’espace, tels que −−→ MD ·−−→MA = 0.

Partie B :

Dans l’espace rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, les points A, B, C et D

ont pour coordonnées respectives :

A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 6 ; 0),C(0 ; 0 ; 4) et D(−5 ; 0 ; 1).

1. a. Vérifier que le vecteur −→ n

4 2 3

 est normal au plan (ABC).

b. Déterminer une équation du plan (ABC).

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆, orthogonale au plan (ABC) passant par D.

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

b. En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

c. Calculer la distance du point D au plan (ABC).

d. Démontrer que le point H appartient l’ensemble (E) défini dans la partie A.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

L’espace est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On nomme (S) la surface d’équation x2+ y2− z2 = 1.

1. Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan (xOy).

2. OnnommeA etB les points de coordonnées respectives (3 ; 1 ; −3) et (−1 ; 1 ; 1). a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par

les points A et B.

b. Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S).

3. Déterminer la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan (xOy).

4. a. Onconsidère la courbe (C), intersectionde la surface (S) et dupland’équa- tion z = 68. Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe.

b. Métant un point de (C), on désigne par a son abscisse et par b son ordon- née.

On se propose demontrer qu’il existe un seul pointM de (C) tel que a et b soient de entiers naturels vérifiant a < b et ppcm(a ; b)= 440, c’est-à-dire tel que (a ; b) soit solution du système

(1) :

a < b a2+b2 = 4625 ppcm(a ; b)= 440

Montrer que si (a ; b) est solution de (1) alors pgcd(a ; b) est égal à 1 ou 5.

Conclure

Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d’initiative,

même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.

Amérique du Nord 18 29 mai 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

EXERCICE 3 6 points Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par

f (x)= lnx− 1

lnx .

On nomme (C ) la courbe représentative de f et Γ la courbe d’équation y = lnx dans un repère orthogonal

(

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Étudier les variations de la fonction f et préciser les limites en 1 et en +∞. 2. a. Déterminer lim

x→+∞ [ f (x)− lnx].

Interpréter graphiquement cette limite.

b. Préciser les positions relatives de (C ) et de Γ.

3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C ) passant par le point O.

a. Soit a un réel appartenant à l’intervalle ]1 ; +∞[. Démontrer que la tangente Ta à (C ) au point d’abscisse a passe par l’ori- gine du repère si et seulement si f (a)−a f ′(a)= 0. Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par

g (x)= f (x)− x f ′(x).

b. Montrer que sur ]1 ; +∞[, les équations g (x)= 0 et (lnx)3− (lnx)2− lnx−1= 0 ont les mêmes solutions.

c. Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur R par u(t) = t3− t2− t −1montrer que la fonction u s’annule une fois et une seule sur R.

d. En déduire l’existence d’une tangente unique à la courbe (C ) passant par le point O. La courbe (C ) et la courbe Γ sont données en annexe. Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.

4. On considère un réelm et l’équation f (x)=mx d’inconnue x. Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l’intervalle ]1 ; 10].

EXERCICE 4 4 points Commun à tous les candidats

On considère les suites (xn ) et (

yn )

définies pour tout entier naturel n non nul par :

xn = ∫1

0 tn cos t dt et yn =

∫1

0 tn sin t dt .

1. a. Montrer que la suite (xn ) est à termes positifs.

b. Étudier les variations de la suite (xn ).

c. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (xn) ?

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, xn 6 1

n+1 .

b. En déduire la limite de la suite (xn).

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier na- turel n non nul, xn+1 =−(n+1)yn + sin(1).

b. En déduire que lim n→+∞

yn = 0.

4. On admet que, pour tout entier naturel n non nul, yn+1 = (n+1)xn −cos(1). Déterminer lim

n→+∞ nxn et lim

n→+∞ nyn .

Amérique du Nord 19 29 mai 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

Annexe

Cette page est à compléter et à remettre avec la copie à la fin de l’épreuve

Exercice 3 Représentations graphiques obtenues à l’aide d’un tableur

0

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-3

-2

-1

0

1

2

3

Courbe Γ représentative de la fonction ln

Courbe C représentative de la fonction f

Amérique du Nord 20 29 mai 2008

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2008\

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= 9

2 e−2x −3e−3x .

Partie A :

Soit l’équation différentielle (E) : y ′+2y = 3e−3x .

1. Résoudre l’équation différentielle (E′) : y ′+2y = 0.

2. En déduire que la fonction h définie sur R par h(x) = 9

2 e−2x est solution de

(E′).

3. Vérifier que la fonction g définie sur R par g (x) = −3e−3x est solution de l’équation (E).

4. En remarquant que f = g +h, montrer que f est une solution de (E).

Partie B :

OnnommeC f la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

d’unité 1 cm.

1. Montrer que pour tout x de R on a : f (x)= 3e−2x (

3

2 −e−x

)

.

2. Déterminer la limite de f en +∞ puis la limite de f en −∞. 3. Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f .

4. Calculer les coordonnées des points d’intersection de la courbe C f avec les axes du repère.

5. Calculer f (1) et tracer l’allure de la courbe C f .

6. Déterminer l’aire A de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe C f , l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1. On exprimera cette aire en cm2.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On dispose de deux urnesU1 etU2 contenant des boules indiscernables au toucher.

U1 contient k boules blanches (k entier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires. U2 contient 2 boules blanches et une boule noire.

On tire une boule au hasard dansU1 et on la place dansU2. On tire ensuite, au ha- sard, une boule dansU2. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

On note B1 (respectivement N1) l’évènement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urneU1 ». On note B2 (respectivement N2) l’évènement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urneU2 ».

1. a. Recopier et compléter par les probabilitésmanquantes l’arbre ci-dessous :

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

B1. . .

B2. . .

N2. . .

N1 . . .

B2. . .

N2. . .

Montrer que la probabilité de l’évènement B2 est égale à 3k+6 4k+12

.

Dans la suite on considère que k = 12. Les questions 2 et 3 sont indépendantes l’une de l’autre et peuvent être trai- tées dans n’importe quel ordre.

2. Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve.

Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 euros.

Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise.

a. Montrer que les valeurs possibles de X sont 4 et −8. b. Déterminer la loi de probabilité de la variable X .

c. Calculer l’espérance mathématique de X .

d. Le jeu est-il favorable au joueur ?

3. Un joueur participe n fois de suite à ce jeu.

Audébut de chaque épreuve, l’urneU1 contient 12boules blanches et 3noires, et l’urneU2 contient 2 boules blanches et 1 noire.

Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.

Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité de réaliser aumoins une fois l’évènement B2 soit supérieure ou égale à 0,99.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’équation (E) : 11x−26y = 1, où x et y désignent deux nombres entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (−7 ; −3) est solution de (E). 2. Résoudre alors l’équation (E).

3. En déduire le couple d’entiers relatifs (u ; v) solution de (E) tel que 06 u 6 25.

Partie B

On assimile chaque lettre de l’alphabet à un nombre entier comme l’indique le ta- bleau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On « code » tout nombre entier x compris entre 0 et 25 de la façon suivante :

Antilles-Guyane 22 18 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

— on calcule 11x+8 — oncalcule le reste de la division euclidiennede 11x+8 par 26, que l’on appelle

y . x est alors « codé » par y . Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ; 11×11+8= 129 or 129 ≡ 25(0modulo26) ; 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z. La lettre L est donc codée par la lettre Z.

1. Coder la lettre W.

2. Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.

a. Montrer que pour tous nombres entiers relatifs x et j , on a :

11x j (modulo 26) équivaut à x ≡ 19 j (modulo 26).

b. En déduire un procédé de décodage.

c. Décoder la lettre W.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspon- dant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

1. L’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que :

{

2x−6y +2z−7 = 0 −x+3y z+5 = 0 est :

Réponse A : l’ensemble vide Réponse B : une droite Réponse C : un plan Réponse C : réduit à un point

2. Les droites de représentations paramétriques respectives : 

x = 1− t y = −1+ t z = 2−3t

(t ∈R) et

x = 2+ t y = −2− t z = 4+2t

(t ∈R) sont :

Réponse A : parallèles et distinctes Réponse B : confondues Réponse C : sécantes Réponse D : non coplanaires

3. La distance du point A(1 ; −2 ; 1) au plan d’équation −x +3y z+5 = 0 est égale à :

Réponse A : 3

11 Réponse B :

3 p 11

Réponse C : 1

2 Réponse D :

8 p 11

4. Le projeté orthogonal du point B(1 ; 6 ; 0) sur le plan d’équation −x+3yz+ 5= 0 a pour coordonnées :

Réponse A : (3 ; 1 ; 5) Réponse B : (2 ; 3 ; 1) Réponse C : (3 ; 0 ; 2) Réponse D : (−2;3;−6)

Antilles-Guyane 23 18 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 5 points Commun à tous les candidats

La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exer- cice. Cette feuille est à rendre avec la copie.

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, le point A

a pour affixe i. On nomme f l’application qui, à tout point M d’affixe z avec z 6= i associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = −z2

z− i Le but de l’exercice est de construire géométriquement le point M ′ connaissant le point M .

1. Un exemple

On considère le point K d’affixe 1+ i. a. Placer le point K.

b. Déterminer l’affixe du point K′ image de K par f .

c. Placer le point K′.

2. Des points pour lesquels le problème ne se pose pas

a. On considère le point L d’affixe i

2 . Déterminer son image L′ par f . Que

remarque-t- on ?

b. Un point est dit invariant par f s’il est confondu avec son image.

Démontrer qu’il existe deux points invariants par f dont on déterminera les affixes.

3. Un procédé de construction

On nomme G l’isobarycentre des points A,M , et M ′, et g l’affixe deG.

a. Vérifier l’égalité g = 1

3(z− i) .

b. En déduire que : si M est un point du cercle de centre A de rayon r , alors

G est un point du cercle de centre O de rayon 1

3r .

c. Démontrer que arg g =− (−→ u ;

−−→ AM

)

.

d. Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et

de rayon 1

2 .

On nomme D′ l’image de D par f . Déduire des questions précédentes la construction du point D′ et la réaliser sur la figure annexe à rendre avec la copie.

Antilles-Guyane 24 18 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

Annexe à rendre avec la copie

Sur la figure ci-dessous le segment [OI ] tel que −→ u =

−→ OI est partagé en six segments

d’égale longueur.

O

A

I

+ D

Antilles-Guyane 25 18 juin 2008

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