Série de mathématique - exercices de mathématique 5, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur la résolution et discussion de l’équation - 5 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Progressions géométriques, Polaire d’un point par rapport à deux droites concourantes, La résol...
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[ Baccalauréat Caen juin 1948 \

SÉRIE MATHÉMATIQUES

Exercice 1 (au choix)

1er sujet. - Résolution et discussion de l’équation

a cos x +b sin x = 0.

(On ne donnera qu’une méthode.)

2e sujet. - Progressions géométriques.

3e sujet. - Polaire d’un point par rapport à deux droites concourantes.

Exercice 2

1. Un angle constant UOV = 3π

4 tourne avec une vitesse angulaire constante ω

autour de son sommet situé au point de contact O de deux cercles tangents (C) et (C′) de même rayon a et de centre C et C′.

Montrer que les points M et M′ d’intersection de OU et OV avec les cercles (C),

et (C′), ont une vitesse constante et que l’angle des vecteurs −−→

CM et −−−→

CM′ reste constant.

(On supposera que les côtés OU et OV restent toujours de part et d’autre de la tangente commune en aux deux cercles.)

2. On suppose qu’à l’instant t = 0 le point M est diamétralement opposé au point O et l’on rapporte le plan au système d’axes de coordonnées formé de la droite C′C orientée de C′ vers C et de la tangente commune en O.

Écrire les coordonnées des points M, M′ et du milieu I du segment MM′ ; en déduire que la trajectoire du point I est un arc de cercle de centre O.

3. Construire le centre O de la rotation qui fait passer du vecteur −−→

CM au vecteur −−−→

CM′ et trouver l’enveloppe de la droite MM′.

On déterminera sa nature, ses éléments remarquables et l’on construira le point de contact P de MM′ avec son enveloppe.

4. Quelle est la trajectoire de l’extrémité J du vecteur −→

OJ , résultante des vecteurs −−→

OM et −−−→

OM′ ? Quelle est sa vitesse et son accélération ?

5. Trouver un point Q sur C′C dont le mouvement soit la composition des mou- vements des points P et P′, projections orthogonales sur C′C des points M et M′.

N. B. - La résolution des questions 4 et 5 est indépendante de celle de la question 3.

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