Série de modélisation mathématique – exercices 9, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Série de modélisation mathématique - 9 sur l’application numérique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les variations de f , les bases de numération.
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[ Baccalauréat C septembre 1981 Nice \

EXERCICE 1

1. Soit g l’application numérique définie par :

g : R⋆ →R

x > 0, x 7−→ x2+ (1−Log x) x < 0, x 7−→ x2− (1−Log |x|)

Log x désigne le logarithme nepérien de x.

Étudier les variations de g . On ne demande pas de construire la courbe repré- sentative. Calculer g (−1).

2. Soit f l’application numérique définie par

f : R⋆ → R

x 7−→ x+ Log |x|

|x|

Étudier les variations de f , préciser les limites, les asymptotes et la position de la courbe par rapport à l’asymptote oblique.

Construire la courbe dans un repère orthonormé.

3. Calculer l’aire du domaine limité par les droites d’équations respectives x = 1, x = e, la courbe représentative de f et son asymptote oblique.

EXERCICE 2

1. Résoudre dans Z/7Z= {

0, 1, 2, 4, 5, 6 }

l’équation

X 2+2X +6= 0.

2. Déterminer toutes les bases de numération b dans lesquelles le nombre qui s’écrit 126 en base b est divisible par 7 et par 6.

EXERCICE 3

Partie A

Ondésignepar Eun espace vectoriel réel euclidiendedimension 3, et par (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

une base orthonormée de E. −→ u et

−→ v étant deux vecteurs quelconques de E, on note

−→ u ·

−→ v leur produit scalaire et

−→ u

∥ la norme de −→ u .

1. Soit f l’endomorphisme de E défini par

f (

−→ ı )

= − −→ ı +2

−→ −2

−→ k

f (

−→

)

= 2 −→ ı

−→ −2

−→ k

f (−→ k )

= −2 −→ ı −2

−→

−→ k .

Démontrer que ∀ −→ v ∈E,

f (

−→ v )∥

∥= 3 ∥

−→ v

∥.

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Soit g l’endomorphisme de E qui au vecteur ayant pour coordonnées (x ; y ; z)

dans la base (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

fait correspondre le vecteur ayant pour coordonnées

dans cette base :

x′ = 1

3 (−x+2y −2z)

y ′ = 1

3 (2xy −2z)

z ′ =− 1

3 (2x+2y + z).

Montrer que f est la composée de g et d’une homothétie de rapport 3.

En déduire que g est une isométrie vectorielle.

3. Montrer que g est un demi-tour (c’est-à-dire une rotation vectorielle d’angle plat) dont on précisera l’axe.

4. Soit P le plan vectoriel engendré par les vecteurs −→ ı

−→ et

−→ ı +

−→

−→ k .

Montrer que P est globalement invariant par g et par f .

Montrer que , restriction de f au plan P est la composée de deux endomor- phismes simples de P qu’on précisera.

Partie B

On désigne par E un espace affine euclidien associé à E, par O un point de E , par R

le repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

m étant un nombre réel, on désigne par Am le point de coordonnées (1 ; 2 ; m) dans R, et par Gm le vissage de E dont l’endomorphisme associé est g et qui transforme O en Am .

1. Démontrer qu’il existe un unique réelm0 tel queGm0 soit une rotation. Préci- ser les éléments caractéristiques deGm0 .

2. Déterminer la rotation rm et la translation tm de vecteur parallèle à l’axe de rm telles que

Gm = rm tm = tm rm .

Dm désigne l’axe de rm . Démontrer que Dm est contenue dans un plan affme indépendant dem.

3. Soit Q le plan affine ayant pour équation cartésienne dans 1 le repère R : x

y + 1

2 = 0.

Démontrer que Q est globalement invariant parGm · Caractériser la restriction deGm à Q.

Partie C

OndésigneparBm le point de coordonnées (2 ; 4 ; 2m) dansR et par Fm l’application affine de E dans E dont l’endomorphisme associé est f et qui transforme O en Bm .

1. SiH désigne l’homothétie de centre O et de rapport 3, montrer qu’il existe une translation T telle que

Fm = T H Gm .

Déterminer T .

2. En déduire que Dm est globalement invariant par Fm .

Nice 2 septembre 1981

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