Statistiques - Travaux pratiques 19, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 mai 2014

Statistiques - Travaux pratiques 19, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques

PDF (307 KB)
5 pages
145Numéro de visites
Description
Statistiques - Travaux pratiques 19. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches. Représentation paramétrique de la droite.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 5
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document
Terminale S

Terminale S juin 2013

Centres étrangers

L’usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire no 99-186 du 16 novembre 1999.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copie . . .

1. Exercice 1 (6 points)

Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques.

Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes.

Partie A

La durée de vie d’une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle

de paramètre 0,0002  .

1. Quelle est la durée de vie moyenne d’une vanne ?

2. Calculer la probabilité, à 0,001 près, que la durée de vie d’une vanne soit supérieure à 6000 heures.

Partie B

Avec trois vannes identiques V1, V2 et V3, on fabrique le circuit hydraulique ci-contre.

Le circuit est en état de marche si V1 est en état de marche ou si V2 et V3 le sont simultanément.

On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque vanne est ou n’est pas en état de marche après 6 000 heures.

On note :

• F1 l’événement : « la vanne V1 est en état de marche après 6 000 heures.

• F2 l’événement : « la vanne V2 est en état de marche après 6 000 heures

• F3 l’événement : « la vanne V3 est en état de marche après 6 000 heures.

• E : l’événement : « le circuit est en état de marche après 6 000 heures.

On admet que les événements F1, F2 et F3 sont deux à deux indépendants et ont chacun une probabilité égale à 0,3.

1. L’arbre probabiliste ci-contre représente une partie de la situation.

Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches.

2. Démontrer que p(E) = 0,363.

3. Sachant que le circuit est en état de marche après 6 000 heures, calculer la probabilité que la vanne V1 soit en état de marche à ce moment là. Arrondir au millième.

Partie C

L ’industriel affirme que seulement 2 % des vannes qu’il fabrique sont défectueuses. On suppose que cette affirmation est vraie, et l’on note F la variable aléatoire égale à la fréquence de vannes défectueuses dans un échantillon aléatoire de 400 vannes prises dans la production totale.

1. Déterminer l’intervalle I de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la variable F.

2. On choisit 400 vannes au hasard dans la production. On assimile ce choix à un tirage aléatoire de 400 vannes, avec remise, dans la production. Parmi ces 400 vannes, 10 sont défectueuses.

Au vu de ce résultat peut-on remettre en cause, au seuil de 95 %, l’affirmation de l’industriel ?

Partie D

Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies au millième.

L’industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients, la demande mensuelle est une

variable aléatoire D qui suit la loi normale d’espérance 800  et d’écart-type 40  .

1. Déterminer  760 840p D  .

V1

V2 V3

F1

F2 F3 1F

2. Déterminer  880p D  .

3. L’industriel pense que s’il constitue un stock mensuel de 880 vannes, il n’aura pas plus de 1 % de chance d’être en rupture de stock. A-t-il raison ?

2. Exercice 2 (4 points)

Les quatre questions sont indépendantes.

Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse. en justifiant la réponse.

Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère :

– les points A(12 ; 0 ; 0), B(0 ; –15 ; 0), C(0 ; 0 ; 20), D(2 ; 7 ; –6 ), E(7 ; 3 ; –3) ;

– le plan P d’équation cartésienne : 2x + y − 2z − 5= 0

Affirmation 1 :

Une équation cartésienne du plan parallèle à P et passant par le point A est : 2x + y + 2z − 24= 0.

Affirmation 2 : Une représentation paramétrique de la droite (AC) est :

9 3

0 ,

5 5

x t

y t

z t

    

  

.

Affirmation 3 : La droite (DE) et le plan P ont au moins un point commun.

Affirmation 4 : La droite (DE) est orthogonale au plan P.

3. Exercice 3 (5 points)

On considère la fonction g définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par :   1 xg x e  .

On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], g (x) > 0.

On note C la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal et D le domaine plan compris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbe C, d’autre part entre les droites d’équation x = 0 et x = 1.

La courbe C et le domaine D sont représentés ci-dessous.

Le but de cet exercice est de partager le domaine D en deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soit a un réel tel que 0 1a  .

On note A1 l’aire du domaine compris entre la courbe C, l’axe (Ox), les droites d’équation x = 0 et x = a, puis A2 celle du domaine compris entre la courbe C, (Ox) et les droites d’équation x = a et x = 1.

A1 et A2 sont exprimées en unités d’aire.

1. a. Démontrer que 1A 1 aa e   .

b. Exprimer A2 en fonction de a.

2. Soit f la fonction définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par :   1

2 xf x x e e

   .

a. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].

On précisera les valeurs exactes de f(0) et f(1).

b. Démontrer que la fonction f s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [0 ; 1] en un réel  .

Donner la valeur de  arrondie au centième.

3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel a pour lequel les aires A1 et A2 sont égales.

Partie B

Dans cette partie, on se propose de partager le domaine D en deux domaines de même aire par la droite d’équation y = b. On admet qu’Il existe un unique réel b positif solution.

1. Justifier l’inégalité 1

1b e

  . On pourra utiliser un argument graphique.

2. Déterminer la valeur exacte du réel b.

4. Exercice 4 (5 points, non spécialistes)

L’objet de cet exercice est l’étude de la suite  nu définie par son premier terme 1 3

2 u  et la relation de

récurrence :  1

1

2 1

n n

nu u

n

 

 .

Partie A - Algorithmique et conjectures

Pour calculer et afficher le terme u9 de la suite, un élève propose l’algorithme ci-dessous.

Il a oublié de compléter deux lignes.

Variables n est un entier naturel ; u est un réel.

Initialisation Affecter à n la valeur 1.

Affecter à u la valeur 1,5.

Traitement Tant que n < 9

Affecter à u la valeur . . .

Affecter à n la valeur . . .

Fin Tant que

Sortie Afficher la variable u.

1. Recopier et compléter les deux lignes de l’algorithme où figurent des points de suspension.

2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu’il calcule et affiche tous les termes de la suite de u2 jusqu’à u9 ?

3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième :

n 1 2 3 4 5 6 ... 99 100

un 1,5 0,625 0,375 0,2656 0,2063 0,1693 ... 0,0102 0,0101

Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite  nu .

Partie B – Étude mathématique

On définit une suite auxiliaire  nv par : pour tout entier 1n  , 1n nv nu  .

1. Montrer que la suite  nv est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.

2. En déduire que, pour tout entier naturel 1n  , on a :  1 0,5

n

nu n

  .

3. Déterminer la limite de la suite  nu .

4. Justifier que, pour tout entier 1n  , on a :     1

1 1 0,5 0,5

1

n

n n

n u u

n n

   

 .

En déduire le sens de variation de la suite  nu .

Partie C - Retour à l’algorithmique

En s’inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d’afficher le plus petit

entier n tel que 0,001nu  .

5. Exercice 4 (5 points, spécialistes)

Une espèce d’oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d’un archipel.

Au début de l’année 2013, 20 millions d’oiseaux de cette espèce sont présents sur l’île A et 10 millions sur l’île B.

Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d’estimer que, compte tenu des naissances, décès et migrations entre les deux îles, on retrouve au début de chaque année les proportions suivantes :

– sur l’île A : 80 % du nombre d’oiseaux présents sur l’île A au début de l’ année précédente et 30 % du nombre d’oiseaux présents sur l’île B au début de l’année précédente ;

– sur l’île B : 20 % du nombre d’ oiseaux présents sur l’île A au début de l’année précédente et 70 % du nombre d’oiseaux présents sur l’île B au début de l’année précédente.

Pour tout entier naturel n, on note an (respectivement bn) le nombre d’oiseaux (en millions) présents sur l’île A (respectivement B) au début de l’année (2013+n).

Partie A - Algorithmique et conjectures

On donne ci-dessous un algorithme qui doit afficher le nombre d’oiseaux vivant sur chacune des deux iles, pour chaque année comprise entre 2013 et une année choisie par l’utilisateur.

Début de l’algorithme

Fin de l ’algorithme

Demander n à l’utilisateur

Affecter à a la valeur 20

Affecter à b la valeur 10

Affecter à i la valeur 2013

Afficher i, afficher a, afficher b

Tant que i < n faire

Affecter à c la valeur (0,8a + 0,3b)

Affecter à b la valeur (0,2a + 0,7b)

Affecter à a la valeur c

Fin du Tant que

1. Cet algorithme comporte des erreurs et des oublis dans le traitement. Repérer ces défauts et les corriger.

2. On donne ci-dessous une copie d’écran des résultats obtenus après avoir modifié l’algorithme précédent.

L’utilisateur a choisi l’année 2020 et a donc saisi 7n  .

⋆⋆⋆ Algorithme lancé ⋆⋆⋆

En l’année 2013, a prend la valeur 20 et b prend la valeur 10

En l’année 2014, a prend la valeur 19 et b prend la valeur 11

En l’année 2015, a prend la valeur 18.5 et b prend la valeur 11.5

En l’année 2016, a prend la valeur 18.25 et b prend la valeur 11.75

En l’année 2017, a prend la valeur 18.125 et b prend la valeur 11.875

En l’année 2018. a prend la valeur 18.0425 et b prend la valeur 11.9375

En l'année 2019, a prend la valeur 18.03125 et b prend la valeur 11.96875

En l’année 2020, a prend la valeur 18.15425 et b prend la valeur 11.984375

⋆⋆⋆ Algorithme terminé ⋆⋆⋆

Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des

suites  na et  nb .

Partie B – Étude mathématique

On note U0 la matrice colonne n

n

a

b

     

.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, 1n nU MU  , où M est une matrice carrée d’ordre 2 que l’on

déterminera.

On admet alors que 0 n

nU M U pour tout entier naturel n.

2. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout entier naturel n :

0,6 0,4 0,5 0,8 0,6 0,5

0,4 0,4 0,5 0,4 0,6 0,5

n n n

n n M

             

.

On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matrice Mn.

3. Exprimer an en fonction de n, pour tout entier naturel n.

4. Avec ce modèle, peut-on dire qu’au bout d’un grand nombre d’années, le nombre d’oiseaux sur l’île A va se stabiliser ? Si oui, préciser vers quelle valeur.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document