Statistiques - Travaux pratiques 8, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 mai 2014

Statistiques - Travaux pratiques 8, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques

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Statistiques - Travaux pratiques 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’intervalle, le point de coordonnées.
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Terminale S

Terminale S juin 2012

France métropolitaine

1. Exercice 1 (4 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ; , )O i j .

On considère une fonction f dérivable sur l’intervalle  3 ; 2 .

On dispose des informations suivantes :

*  0 1f   .

* la dérivée f  de la fonction f admet la courbe représentative C ci -dessous.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. Pour tout réel x de l’intervalle  3 ; 1  ,  ' 0f x  .

2. La fonction f est croissante sur l’intervalle  1 ; 2 .

3. Pour tout réel x de l’intervalle  3 ; 2 ,   1f x   .

4. Soit  la courbe représentative de la fonction f.

La tangente à la courbe  au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1 ; 0).

2. Exercice 2 (5 points)

Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante : le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier ; 40 %des dossiers reçus sont validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue duquel 70 % d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25 % des candidats rencontrés.

1. On choisit au hasard le dossier d’un candidat.

On considère les évènements suivants :

– D : « Le candidat est retenu sur dossier »,

– E1 : « Le candidat est retenu à l’issue du premier entretien »,

– E2 : « Le candidat est recruté ».

a. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

E1

D

D

1E

E2

2E

b. Calculer la probabilité de l’évènement E1.

c. On note Fl’évènement « Le candidat n’est pas recruté ».

Démontrer que la probabilité de l’évènement Fest égale à 0,93.

2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres.

On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07.

On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.

a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10–3.

3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d’embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999 ?

3. Exercice 3 (6 points)

Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.

Partie A

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle  1 ;  par   1

ln 1 1

x f x

x x

        

.

1. Déterminer la limite de la fonction f en  .

2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle  1 ;  ,    

2

1 '

1 f x

x x

 .

Dresser le tableau de variation de la fonction f. En déduire le signe de la fonction f sur l’intervalle

 1 ;  .

Partie B

Soit  nu la suite définie pour tout entier strictement positif par 1 1 1

1 ... ln 2 3

nu n n

      .

1. On considère l’algorithme suivant :

Variables i et n sont des entiers naturels

u est un réel

Entrée Demander à l’utilisateur la valeur de n

Initialisation Affecter à u la valeur 0

Traitement

Pour i variant de 1 à n

Affecter à u la valeur 1

u i

Sortie Afficher u

Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur n = 3.

2. Recopier et compléter l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur de un lorsque l’utilisateur entre la valeur de n.

3. Voici les résultats fournis par l’algorithme modifié, arrondis à 10–3.

n 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 1500 2000

un 0,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626 0,582 0,578 0,578 0,577

À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite  nu et son éventuelle

convergence.

Partie C

Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B.

Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite  nu telle que pour tout entier

strictement positif n, 1 1 1

1 ... ln 2 3

nu n n

      .

1. Démontrer que pour tout entier strictement positif n,  1n nu u f n   où f est la fonction définie dans

la partie A. En déduire le sens de variation de la suite  nu .

2. a. Soit k un entier strictement positif. Justifier l’inégalité 1 1 1

0 k

k

dx k x

     

  .

En déduire que 1 1 1k

k

dx x k

 . Démontrer l’inégalité     1

ln 1 lnk k k

   (1).

b. Écrire l’inégalité (1) en remplaçant successivement k par 1, 2, . . . , n et démontrer que pour tout entier

strictement positif n,   1 1 1

ln 1 1 ... 2 3

n n

      .

c. En déduire que pour tout entier strictement positif n, un >0.

3. Prouver que la suite  nu est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.

4. Exercice 4 (5 points, non spécialistes)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( ; , )O u v .

On appelle f l’application qui à tout point Md’affixe z différente de –1, fait correspondre le point M’

d’affixe 1

1z  .

Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite  d’équation 1

2 x   .

1. Soient A, B et C les points d’affixes respectives A 1

2 z   , B

1

2 z i   et C

1 1

2 2 z i   .

a. Placer les trois points A, B et C sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique.

b. Calculer les affixes des points A’ = f(A), B’ = f(B) et C’ = f(C) et placer les points A’, B’et C’ sur la figure.

c. Démontrer que les points A’, B’ et C’ ne sont pas alignés.

2. Soit g la transformation du plan qui, à tout point Md’affixe z, fait correspondre le point M1 d’affixe z + 1.

a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g.

b. Sans donner d’explication, placer les points A1, B1 et C1, images respectives par g de A, B et C et tracer

la droite 1, image de la droite  par g.

c. Démontrer que 1 est l’ensemble des points Md’affixe z telle que 1z z  .

3. Soit h l’application qui, à tout point Md’affixe z non nulle, associe le point M2 d’affixe 1

z .

a. Justifier que h(A1) = A’,h(B1) = B’ et h(C1) = C’.

b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a : 1

1 1 1z z z      .

c. En déduire que l’image par h de la droite 1 est incluse dans un cercle  dont on précisera le centre et

le rayon. Tracer ce cercle sur la figure. On admet que l’image par h de la droite 1 est le cercle  privé de O.

4. Déterminer l’image par l’application f de la droite .

5. Exercice 4 (5 points, spécialistes)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( ; , )O u v .

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives zA = –1 + i, zB = 2i et zC = 1 + 3i et  la droite d’équation y = x +2.

1. Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite .

Sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique, placer les points A, B, C

et tracer la droite .

2. Résoudre l’équation  1 3 0i z i    et vérifier que la solution de cette équation est l’affixe d’un

point qui n’appartient pas à la droite .

Dans la suite de l’exercice, on appelle f l’application qui, à tout point Md’affixe z différente de –1 + 2i,

fait correspondre le point M’ d’affixe  

1

1 3i z i   .

Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite .

3. Soit g la transformation du plan qui, à tout point Md’affixe z, fait correspondre le point M1 d’affixe

 1 1 3z i z i    .

a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g.

b. Calculer les affixes des points A1, B1 et C1, images respectives par g des points A, B et C.

c. Déterminer l’image 1 de la droite  par la transformation g et la tracer sur la figure.

4. Soit h l’application qui, à tout point Md’affixe z non nulle, fait correspondre le point M2 d’affixe 1

z .

a. Déterminer les affixes des points h(A1), h(B1) et h(C1) et placer ces points sur la figure.

b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a : 1 1 1

2 2 2

z z z      .

c. En déduire que l’image par h de la droite 1 est incluse dans un cercle  dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

d. Démontrer que tout point du cercle  qui est distinct de O est l’image par h d’un point de la droite 1.

5. Déterminer l’image par l’application f de la droite .

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