T.P modélisation mathématique  - 10, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

T.P modélisation mathématique - 10, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur les entiers naturels diviseurs stricts. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Fonction scalaire de Leibniz, l’intervalle.
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[ Baccalauréat C juin 1982 Strasbourg \

EXERCICE 1 4 points

1. Onappelle diviseur strict d’un entier naturel tout diviseur autre que le nombre lui-même.

Déterminer les entiers naturels diviseurs stricts de 220.

2. On appelle nombres amiables deux entiers naturels tels que chacun d’eux soit égal à la somme des entiers naturels diviseurs stricts de l’autre. Vérifier que 220 et 284 sont amiables.

3. a. On appelle nombre parfait un nombre égal à la somme de ses diviseurs stricts (amiable avec lui-même). Le nombre 28 est-il parfait ?

Déterminer un entier p premier tel que le nombre 24p soit parfait.

b. Plus généralement, soit n et p deux entiers naturels, p premier ; quelle doit être l’expression nécessaire de p en fonction de n pour que 2n · p soit parfait ? Donner la liste des nombres parfaits de cette forme pour n < 10.

EXERCICE 2 4 points

Fonction scalaire de Leibniz

Dans un plan affine euclidien P , on considère un triangle ABC isocèle et rectangle

en A tel que ∥

−→ AB

∥= a (a est un réel strictement positif donné).

1. Déterminer et construire le barycentre G des points pondérés (A, 2), (B, 1) et (C, 1).

2. Pour tout point M du plan P , on pose

−→ v =−2

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC .

Démontrer que −→ v est un vecteur constant, indépendant de M .

Construire le point A′ tel que −−−→ A′N =

−→ v . Calculer

−−−→ A′N

∥ et ∥

−−→ AG

∥ en fonction

de a.

3. Déterminer et construire l’ensemble (γ) des points du plan P tels que

∥2 −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC

∥=

∥−2 −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC

∥ .

4. Déterminer et construire l’ensemble (ǫ) des points du plan P tels que

−2MA2+MB2+MC2 = a2.

(On pourra remarquer que le point G appartient à (ǫ).)

PROBLÈME 12 points

Dans l’espace vectoriel F de toutes les fonctions numériques définies sur R, on considère l’ensemble E des fonctions f définies par

∃(a, b, c, d) ∈R4, x ∈R,

f (x)= e−x (a cosx +b sinx +cx cos x +d x sinx).

Terminale C A. P. M. E. P.

Partie A

1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de F . On pourra utiliser les va-

leurs de ces fonctions en 0, π

2 , π,

3π

2 .

2. Soit les quatre fonctions de E suivantes :

f1 : x 7−→ e−x cosx; f2 : x 7−→ xe−x cosx; f3 : x 7−→ e−x sinx; f4 : x 7−→ xe−x sinx.

Montrer que (

f1, f2, f3, f4 )

est un système libre de E .

En déduire que B = (

f1, f2, f3, f4 )

est une base de E .

3. a. Calculer les dérivées f ′1, f

2 , f

3, f

4 de f1, f2, f3, f4 et montrer qu’elles ap- partiennent à E ; en déduire que

D : E → E f 7−→ D( f )= f

est un endomorphisme de E .

b. Si une fonction f de E a pour composantes (a, b, c, d) dans la base B, quelles sont les composantes de D( f ) dans B ?

c. Déterminer le noyau de D. En déduire que D est un automorphisme de E .

Définir analytiquement l’application réciproque D−1 de D.

Si f est élément de E , que représente D−1( f ) ?

Partie B

Soit la fonction f de E définie par

x ∈R f (x)= e−x (cosx + sinx +2x sinx).

1. Étudier les variations de cette fonction sur [0, ; π] et tracer la courbe représen- tative C dans un repère orthogonal. On prendra pour unités :

sur Ox, π est représenté par 12 cm ;

sur Oy l’unité est 4 cm.

2. On désigne par g la restriction de f à I = [

0 ; π

4

]

. Déterminer J = g (I). En dé-

duire que g est une bijection de I sur J.

Soit g−1 : J → I la bijection réciproque de g . Quel est le domaine de dérivabi- lité de g−1 ? Représenter graphiquement g et g−1 dans unmême repère ortho- normé (unité : 4 cm).

3. a. Montrer que l’équation

{

f (x)= 0 x ∈ [0 ; π]

admet une unique solution x0. Vé-

rifier que x0 appartient à l’intervalle

]

5π

6 ; π

[

.

b. Calculer pour tout élément k de Z, f (2), f (π+2), f (2π+2).

Montrer que sur l’intervalle ]2; 2+2π[, la fonction f admet exac- tement un maximum et unminimum qui sont de signes contraires.

c. Déduire du résultat précédent que pour tout élément k de Z, l’équation f (x)= 0 admet sur l’intervalle ]; +π[ une solution unique.

Quelques valeurs : e− π

4 ≈ 0,46 ; e− π

2 ≈ 0,20 ; e− 3π 4 ≈ 0,09;

e−π ≈ 0,04.

Strasbourg 2 juin 1982

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