T.P modélisation mathématique  - 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

T.P modélisation mathématique - 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur les entiers relatifs. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormé direct, l’ensemble E.
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[ Baccalauréat C juin 1982 Poitiers \

EXERCICE 1 4 points

1. a. En supposant que a = 9p+4q et b = 2p+q , démontrer que les entiers a et b d’une part ; p et q d’autre part ont le même PGCD.

b. Démontrer que les entiers 9p+4 et 2p+1 sont premiers entre eux. Quel est leur PPCM?

2. Déterminer le PGCDdes entiers relatifs 9p+4 et 2p−1 en fonction des valeurs de p.

EXERCICE 2 4 points

Unplan affine euclidienorienté est rapporté à un repère orthonormédirect (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On se propose de déterminer l’ensemble E des points M de ce plan dont les affixes z = x+ iy (x et y réels) vérifient

|(1+ i)z−2i| = 2.

Les deux questions proposent chacune une méthode et peuvent être résolues de façon indépendante l’une de l’autre.

1. Calculer le carré dumodule du complexe (1+i)z−2i en fonction des coordon- nées (x ; y) de M . Déterminer E par une équation cartésienne. Reconnaître E puis le dessiner.

2. On note s la similitude directe de centre O, de rapport p 2, d’angle de mesure

π

4 et t la translation de vecteur −2−→v .

a. Un point M ayant pour affixe z, calculer l’affixe du point s(M) puis l’af- fixe du point t s(M).

b. Soit C l’ensemble des points M ′ d’affixe z ′ tels que ∣

z ′ ∣

∣ = 2. Reconnaître C et le dessiner. Déterminer l’ensemble t s(E) ; en déduire l’ensemble E.

PROBLÈME 12 points

Un plan affine est rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

orthonormé ; pour exécuter les

figures on prendra pour unité de longueur 2 cm. On donne le point A de coordonnées (1 ; 1).

Partie A

1. α étant un réel donné non nul, soit D la droite d’équation x =α. Montrer qu’il existe une application affine , et une seule, que l’on détermi- nera, qui satisfait aux deux conditions

(0)=A et ∀M ∈D −−−−−−−→ M fα(M) =

−→ ı .

2. On considère l’application f qui, au point M de coordonnées (x ; y) fait cor- respondreM ′ = f (M) de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

telles que

x′ = x+1 et y ′ = x+ y +1.

Terminale C A. P. M. E. P.

Vérifier que f = dans le casα=−1. Montrer que f est une bijection du plan affine.

Y a+il des points invariants par f ? Quelle est la matrice de l’endomorphisme ϕ associé à f ?

3. a. Vérifier que, quel que soit le réel λ, les vecteurs (−→ ı +λ

−→

)

et ϕ (−→ ı +λ

−→

)

forment une famille libre.

b. Soit∆ une droite affine du plan : donner une condition nécessaire et suf- fisante pour qu’elle soit parallèle à son image f (∆) ?

4. Chercher l’image f (∆) de la droite ∆ dans chacun des cas suivants :

a. ∆ a pour équation x = k. Montrer que, siM appartient∆, le vecteur −−−−→ MM

est égal à un vecteur constant −→ uk dont on donnera les coordonnées.

b. ∆ a pour équation y = k ′. c. ∆ a pour équation y = t x ; calculer dans ce cas les coordonnées du point

P d’intersection des droites ∆ et f (∆) en fonction de t . Quel est l’en- semble Π décrit par P lorsque t décrit R ?

Figure : représenterΠ. Tracer les droites ∆ et f (∆) dans le cas des droites L ayant respectivement pour équation x =−1, y =−1, y =−2x.

5. Faire une nouvelle figure.

On appelle M0 l’origine du repère et l’on pose

M1 = f (M0) et ∀n ∈N⋆, Mn = f (Mn−1) .

Soit (

xn ; yn )

les coordonnées deMn . Calculer les coordonnées deM1,M2,M3. Exprimer xn et yn en fonction de xn−1 et yn−1.

En déduire xn et yn en fonction de n.

Vérifier que ∀n ∈N, Mn appartient à la courbe C d’équation y = x(x+1)

2 . Re-

connaître C et la dessiner.

6. a. Soit g une application continue de R dans R. En utilisant une primitive G de g , établir l’égalité

λ2

λ1

g (x)dx = ∫λ2+1

λ1+1 g (x−1)dx.

λ1 et λ2 réels donnés.

b. Si une courbe Γ a pour équation y = h(x), montrer que son image f (Γ) a pour équation y = h(x−1)+ x. Quelle est l’image de la courbeC du 5. ?

c. Cas particulier : soit En la région du plan comprise entre la courbe C et le segment [Mn−1Mn] ; hachurer sur la figure les régions E1, E2 ,E3 ,E4.

Déduire du a. et du b. ci-dessus que l’aire de En est indépendante de n. Quelle est sa valeur ?

Partie B

On considère l’application h0 de R dans R définie par

h0(x)= e−x −1;

soitΓ sa représentation graphique.Montrer que son image f (Γ) est la représentation de l’application h1 de R dans R définie par

h1(x)= e−x −1+ x.

Poitiers 2 juin 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

Étudier les applications h0 et h1 ; représenter sur la même figure Γ et f (Γ), en dessi- nant soigneusement l’asymptote de chacune d’elles. λ étant un réel, supérieur à 1, calculer en fonction de λ l’aire A (λ) de la partie du plan dont les frontières sont les droites x = 1 et x = λ, la courbe f (Γ) et son asymp- tote. Montrer que, lorsque λ tend vers +∞, A (λ) a une limite à déterminer.

Poitiers 3 juin 1982

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