T.P modélisation mathématique  - 4, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

T.P modélisation mathématique - 4, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur le système décimal. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique, les variations de f .
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[ Baccalauréat C Pondichéry avril 1982 \

EXERCICE 1

On considère le nombre A qui s’écrit dans le système décimal : A = x y x y x y x y x5, x et y étant des chiffres de ce système, x étant non nul.

1. À quelle condition ce nombre est-il divisible par 25 ?

2. Déterminer les différentes valeurs de A, telles que A soit divisible par 225.

3. On considère le nombre B = x y x y x y toujours écrit dans le système décimal avec x et y qui sont des chiffres, x étant non nul. Déterminer B tel que B soit divisible par 225.

EXERCICE 2

1. Soit ϕ la fonction numérique définie par

t ∈R ϕ(t)= 1+et + tet .

Étudier les variations de ϕ. En déduire le signe ϕ(t) suivant les valeurs de t .

2. On définit la fonction numérique f par

f (0)= 0 et ∀x ∈R− {0} f (x)= x

1+e 1 x

.

a. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.

b. Étudier les variations de f .

Montrer que la droite d’équation y = 1

2 x

1

4 est asymptote à la courbe repré-

sentative de f

( on pourra poser t =

1

x

) .

Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormé, l’unité de longueur étant 6 cm (on admettra que la courbe est au-dessus de l’asymp- tote).

PROBLÈME

Notations : E est un espace affine, −→ E est son espace vectoriel associé. f1 et f2 sont

deux applications affines de E dans E ; −→ f1 et

−→ f2 sont les endomorphismes associés

respectivement à f1 et f2. Pour tout point M de E, on notera M1 le point f1(M) et M2 le point f2(M). Étant donné deux réels α1 et α2 tels que α1+α2 = 1, on étudie dans la suite du pro- blème l’application f (qui dépend de f1, f2, α1, α2 qui à tout point M de E associe le point f (M), barycentre de M1 affecté du coefficient α1 et de M2 affecté du coeffi- cient α2. On notera M ′ l’image par f du point M .

Partie A Étude de deux cas particuliers

1. Dans cette question, −→ V1 et

−→ V2 sont deux éléments de E, f1 est la translation de

vecteur −→ V1 et f2 est la translation de vecteur

−→ V2 .

Montrer que f est la translation de vecteur −−−→ α1V1 +

−−−→ α2V2 .

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Dans cette question, E est un plan affine, D est une droite affine de E, D′ est une droite vectorielle de E distincte de la direction de D, f1 = IdE et f2 est la projection affine sur D de direction D′.

a. Montrer que les points de D sont invariants par f .

b. Exprimer −−−−−→ M2M ′ , en fonction de α1 et de

−−−−→ M2M . Dessiner l’image M

d’un point M par f dans le cas où α1 = 2. Quelle est l’application f dans le cas où α1 =−1 ?

Partie B

1. Soit O un point de E. Montrer que

−−−−→ O′M ′ =

−−−−−−−−→ α1 f1 (OM) +

−−−−−−−−→ α2 f2 (OM)

pour tout point M de E (on rappelle que M ′ désigne f (M) et O′ désigne f (O). En déduire que f est une application affine, préciser son endomorphisme as- socié.

2. Si f1 et f2 sont deux homothéties de rapports respectifs k1 et k2, quelle est la nature de f (discuter) ?

3. Dans cette question E est un plan affine.

a. (A, B, C, D) est un parallélogramme de E ( −−→ AB =

−−→ DC

) , g est une applica-

tion affine. Montrer que (g (A), g (B), g (C), g (D) est un parallélogramme (éventuellement aplati) :

b. Soit (A1, B1, C1, D1) , (A2, B2, C2, D2) deuxparallélogrammes ( −−−→ A1B1 =

−−−−→ D1C1 ,

−−−→ A2B2 =(

−−−−→ D2C2

) .

(On suppose que (A1, B1C1D1) n’est pas aplati), montrer qu’il existe une application affine notée f2 telle que

f2(A1)=A2, f2(B1)=B2, f2(C1)=C2, f2(D1)=D2.

c. Soit A′, B′, C′, D′ les barycentres respectifs de (A1, α1) et (A2, α2), (B1, α1) et (B2, α2), (C1, α1) et (C2, α2), (D1, α1), (D2, α2).

Montrer que ( A′, B′, C′, D′

) est un parallélogramme.

Partie C

Dans ce paragraphe E est un plan affine euclidien orienté, rapporté à un repère

orthonormé direct ( O,

−→ e1 ,

−→ e1

) . À tout point M de E on associe son affixe z.

1. Soit f1 et f2 deux similitudes directes de E. Montrer que f est soit une simi- litude directe, soit une application constante (on pourra utiliser les nombres complexes).

2. f1 et f2 sont deux similitudes directes de même rapport k/ : (k > 0), de même angle θ, de centres respectifs A1 et A2. Montrer que f est la similitude directe de rapport k, d’angle θ et de centre A barycentre de (A1, α1) et (A2, α2) .

3. a. Soit un carré (A, B, C, D) ( −−→ AB =

−−→ DC

) et g une similitude directe. Mon-

trer que (g (A), g (B), g (C), g (D)) est un carré tel que

á(−−→ AB ,

−−→ AD

) =

á(−−−−−−−→ g (A)g (B) ,

−−−−−−−→ g (A)g (D)

) .

Pondichéry 2 avril 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

b. (A1 B1 C1,D1) et (A2, B2 C2, D2) sont deux carrés dont la longueur des côtés est non nulle tels que

−−−→ A1B1 =

−−−−→ D1C1 ,

−−−→ A2B2 =

−−−−→ D2C2

et

á(−−−→ A1B1 ,

−−−−→ A1D1

) =

( −−−→ A2B2 ,

−−−−→ A2D2

) .

Montrer qu’il existe une similitude directe f2 telle que

A2 = f2 (A1) , B2 = f2 (B1) , C2 = f2 (C1) , D2 = f2 (D1) .

A′, B′, C′, D′, étant définis comme dans B 3. c. montrer que (A′, B′, C′, D′) est un carré, éventuellement réduit à un point.

N.B. - Pour a. et b. l’usage des nombres complexes est déconseillé.

4. On se donne trois points A1, A2 B distincts.

M1 décrit le cercle de centre A1 contenant B d’un mouvement uniforme tel

que á(−−→

A1B , −−−−→ A1M1

) =ωt (ω 6= 0).

M2 décrit le cercle de centre A2 contenant B d’un mouvement uniforme tel

que á(−−→

A2B , −−−−→ A2M2

) =ωt .

M′ est le barycentre de (M1, α1) et (M2, α2).

Quel est le mouvement deM′ (utiliser la question C 2.) ?

Pondichéry 3 avril 1982

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