T.P modélisation mathématique  - 7, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

T.P modélisation mathématique - 7, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur la base orthonormée. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des points m, la limite.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C septembre 1982 Rouen \

EXERCICE 1 4 points

P est un plan vectoriel euclidien, muni d’une base orthonormée (

−→ ı ,

−→

)

.

P est un plan affine, de plan vectoriel associé P, muni d’un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

f (x)= ex −e−x .

1. a. Étudier les variations de f .

b. Tracer sur un même graphique, en prenant 5 cm comme unité de lon- gueur, les courbes :

(C’) représentative de la fonction x : 7−→ ex dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

;

(C”) représentative de la fonction x 7−→ e−x dans le même repère ;

(C) représentative de la fonction f dans le même repère.

2. Montrer que f admet une fonction réciproque f −1.

On pose y = f (x). Exprimer ex puis x en fonction de y .

En déduire f −1(y).

Calculer la fonction dérivée de f −1. Tracer la courbe représentative de f −1 sur le graphique du 1.

3. λ est un nombre réel positif.

Calculer l’aire de l’ensemble des pointsm dont les coordonnées vérifient :

{

0 6 x 6 λ f (x) 6 y 6 ex

On exprimera cette aire en cm2

admet-elle une limite quand λ tend vers +∞ ?

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