T.P modélisation mathématique  - 9, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

T.P modélisation mathématique - 9, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur les variations de la fonction f . Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les figures simples, l’application composée.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Sport-études \ juin 1982

EXERCICE 1 4 points

f est la fonction définie sur R par f (0)= 0 et

- si x < 0 alors f (x)= e 1 x ,

- si x > 0 alors f (x)= xe x−1 x2 .

1. La fonction f est-elle continue en 0 ? La fonction f est-elle dérivable en 0 ?

2. Étudier les variations de la fonction f .

3. a. Rappeler le résultat de lim x→0

ex −1

x

b. Montrer que la droite d’équation y = x+1 est asymptote à la courbe re- présentative, C de la fonction f .

Tracer C dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

.

EXERCICE 2 4 points

1. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel, n, le reste de la division eu- clidienne de 3n par 5.

2. Trouver tous les entiers naturels, n, tels que

3n n [5].

PROBLÈME 12 points

Dans tout le problème, des figures simples pourront suggérer les démonstrations demandées.

Partie A

1. E2 est un plan vectoriel euclidien orienté et (

−→

ı , −→

)

une base orthonormée

directe de E2.

a. D1 et D2 sont les droites vectorielles de bases respectives :

−→

u1 = −→

ı + −→

et −→

u2 = −→

.

Soit s1 et s2 les symétries vectorielles orthogonales par rapport, respecti- vement, à D1 et D2.

Déterminer l’application composée r = s2 ◦ s1.

b. D3 est la droite vectorielle de base −→

u3 = −→

ı +4 −→

et s3 la symétrie vecto- rielle orthogonale par rapport à D3. Montrer que s3 a pour matrice, dans

la base (

−→

ı , −→

)

,

1

17

(

−15 8 8 15

)

.

Terminale C A. P. M. E. P.

c. Démontrer l’existence d’une symétrie vectorielle orthogonale unique, s4 telle que

s4 ◦ s3 = s2 ◦ s1.

Donner une base de son axe D4. Quel est l’angle des droites vectorielles (D3, D4) ?

2. E2 est unplan affine euclidien associé àE2 et (

O, −→

ı , −→

)

un repère orthonormè

direct de E2.

Soit A(5 ; 0), B(4 ; 1), A′(−3 ; 2), B′(−4 ; 1) quatre points de E2.

a. Montrer qu’il existe un déplacement, f , de E2, et un seul, tel que

f (A)=A′ et f (B)=B′.

Donner sa nature et ses éléments fondamentaux.

b. m est le point de coordonnées (0 ; −3) et D la droite ωA, sD est la symé- trie orthogonale par rapport à la droite affine D. Montrer qu’il existe une droite D′, et une seule, telle que

f = sD′ ◦ sD.

Faire une figure.

c. R est la rotation de centre A et dont l’angle a pourmesure π

2 et T la trans-

lation affine de vecteur −−→

AA′ . Montrer que

f = T R.

Soit B1 =R(B). Quelle est la nature du quadrilatère AA′B′B1 ?

d. g est l’antidéplacement tel que g (A) = A′ et l’endomorphisme associé est s1 de E2 (défini au 1. a.)

Montrer que g est la composée commutative d’une symétrie orthogo-

nale par rapport à une droite ∆ et d’une translation de vecteur −→

v appar-

tenant à la direction de∆. Préciser∆ et −→

v et vérifier que lemilieu I de (A, A′) est sur ∆.

e. Montrer que les cinq points O, I, A, B,ω sont cocycliques.

Partie B

E3 est un espace vectoriel euclidien orienté dedimension 3, rapporté à la base (

−→

ı , −→

, −→

k )

orthonormée directe.

1. σ1 et σ2 sont les symétries vectorielles orthogonales par rapport aux droites vectorielles de bases respectives

−→

u = −→

ı − −→

et −→

k .

Montrer que l’application σ3 = σ2 ◦σ1 est une rotation vectorielle dont on précisera l’axe et l’angle.

2. σ4 est la symétrie vectorielle orthogonale par rapport à la droite vectorielle de

base −→

. Caractériser ρ = σ4 ◦σ3 pour cela on étudiera la restriction de ρ au

plan vectoriel de base (

−→

ı , −→

)

supposé orienté à l’aide du vecteur −→

k .

3. E3 est un espace affine euclidien associé à E3 et (

O, −→

ı , −→

, −→

k )

un repère or-

thonormé direct de E3. C et C′ sont les points de coordonnées respectives : (5 ; 0 ; 1) et (−3 ; 2 ; 1).

Sport-études 2 juin 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

a. R′ est l’application affine associée à ρ, telle que R′(C)= C′. Montrer que R′ est une rotation dont on déterminera l’axe et l’angle ; pour cela on étudiera la restriction de R′ au plan d’équation z = 1.

b. T ′ est la translation affine de vecteur 6 −→

k . Soit F ′ = T ′ ◦R′. Donner la na- ture de F ′, ses éléments caractéristiques, ainsi que l’ensemble des points invariants par F ′.

L est la droite de E3 d’équations

{

y = −3 z = 1

SL est la symétrie orthogonale par rapport à la droite L.

Montrer qu’il existe une symétrie orthogonale par rapport à une droite L′, à déterminer, telle que

F ′ = SL′ ◦SL.

Sport-études 3 juin 1982

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