Tavaux pratiques de mathèmatique et technique 3, Exercices de Mathématiques

Tavaux pratiques de mathèmatique et technique 3, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique et technique 3 sur le foyer de cette parabole. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les progressions géométriques, les constantes a et b.
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[ Baccalauréat C Reims juin 1966 \ Mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Étant donné, dans un plan, une droite (∆) et deux droites (T) et (T′), discuter l’exis- tence d’une parabole admettant (∆) comme directrice et tangente à (T) et (T′). On cherchera, pour cela, à construire le foyer de cette parabole.

EXERCICE 2

Déterminer les progressions géométriques de sept termes (à termes réels) telles que la somme des trois premiers termes est égale à 2 et la somme des trois derniers termes est égale à 1250.

EXERCICE 3

On considère l’application qui, à tout nombre complexe z différent de−1, associe le nombre Z défini par la formule

Z = z2+5z+6

z+1 (z 6= −1).

1. Déterminer les constantes a et b telles que

Z = z+a+ b

z+1 .

2. On suppose que z décrit le corps des réels (sauf la valeur −1). b) Déterminer tous les entiers z tels que Z soit entier .

a. Étudier les variations de la fonction qui, à z, fait correspondre Z . Repré- senter le graphe, (H), de cette fonction par rapport à un repère ortho- normé, Oz, OZ .

b. Soit C le point de rencontre des asymptotes de (H), −→ ı le vecteur uni-

taire de Oz, −→ I le vecteur unitaire de OZ ,

−→ le vecteur unitaire défini par

(

−→ ı ,

−→

)

= π

4 +2dans le plan orienté zOZ .

Si M est un point de (H), exprimer le vecteur −−→ CM sous la forme

−−→ CM = u

−→ + v

−→ I , où u et v sont des fonctions de z, que l’on demande de

déterminer.

En déduire que (Hl est une hyperbole, dont on demande la distance fo- cale.

c. Calculer l’aire, S, du domaine compris entre OZ , la courbe (H), la droite d’équation Z = z + 4 et la droite d’équation z = e− 1, où e est la base des logarithmes népériens (on pourra effectuer la translation des axes de coordonnées amenant l’origine au point d’abscisse −1 de l’axe Oz).

3. On suppose que z décrit le corps des complexes (sauf la valeur−1) et l’on pose

z = x+ iy, Z = X + iY .

a. Déterminer X et Y en fonction de x et y .

b. Au nombre complexe z on associe son image, P(x ; y), dans le plan com- plexe. Quel est l’ensemble des points P tels que Z soit réel ?

Donner alors, suivant les cas trouvés, l’expression de Z en fonction de la seule abscisse, x, du point P.

4. On suppose que z décrit le corps des rationnels (sauf la valeur −1).

Baccalauréat Mathématiques élémentaires A. P. M. E. P.

a. Démontrer que, si Z est entier, z est nécessairement entier (on prendra

z sous forme d’une fraction irréductible p

q ).

Il s’agit, dans ces deux dernières questions, d’entiers relatifs.

Reims 2 juin 1966

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