Tavaux pratiques de mathèmatique et technique 4, Exercices de Mathématiques. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

Tavaux pratiques de mathèmatique et technique 4, Exercices de Mathématiques. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Travaux pratiques de mathématique et technique 4 sur le logarithme népérien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan rapporté à un repère orthonormé, le centre de gravité du triangle.
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[ Baccalauréat Rennes juin 1966 \ Mathématiques élémentaires et Mathématiques et Technique

EXERCICE 1

Log x désigne le logarithme népérien d’un nombre positif x.

1. Calculer la dérivée de la fonction f telle que

f (x)= xLog x.

2. En écrivant Log x = (Log x +1)−1, calculer une primitive de Log x.

3. Calculer l’aire du triangle mixtiligne délimité par le graphe de la fonction g telle que g (x)= Log x, l’axe Ox et la droite d’équation x = e, le plan étant rap- porté à un repère orthonormé xOy .

EXERCICE 1

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy on considère les points A et A′ de l’axe x′Ox d’abscisses respectives −a et a (a > 0). On appelle (C) le cercle de diamètre AA′, (T) et (T′) les tangentes en A et en A′ à ce cercle. On désigne par (∆) une droite qui coupe (T) et (T′) respectivement en B et B′, d’ordonnées λ et λ′.

1. Démontrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que (∆) soit tan- gente au cercle (C) se traduit par la relation λλ′ = a2.

2. Soit (D) la droite d’équation x = 3a. Par le point M de (D) d’ordonnée m on mène les tangentes au cercle (C), qui coupent la droite (T) en P et Q d’ordon- nées λ et µ.

Montrer que λ et µ sont les racines de l’équation en u

u2+mu−2a2 = 0.

3. Montrer que le centre de gravité du triangle MPQ reste fixe lorsque M décrit (D) et qu’il est aussi l’enveloppe des polaires des points de (D) par rapport au cercle (C).

4. Montrer que les cercles (Ω) de diamètre PQ appartiennent à un faisceau (F ) à points de base. Ceux-ci seront appelés I et J.

Montrer que l’axe radical du cercle variable (Ω) et du cercle (C) passe par un point fixe.

5. Montrer que les polaires de chaque point M de (D) par rapport à tous les cercles du faisceau (F ) sont concourantes en un point N. [On associe ainsi à chaque point M de (D) un point N du plan.]

Prouver que tout cercle de diamètreMNappartient au faisceau dont les points limites sont I et J.

Déterminer l’équationdu cercle dediamètreMNpar rapport au repère X ′AX ,Y ′AY

déduit du repère x′Ox, y ′Oy par la translation de vecteur −−→

OA .

Quel est le lieu du point N lorsque le point M décrit la droite (D) ?

6. On suppose maintenant que le point M d’ordonnée m décrit la droite (D) sui- vant la loi horaire

m = 2at .

Étudier alors lemouvement du pointN sur son lieu, en caractérisant le vecteur accélération de ce mouvement.

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