Théorie de calcul - travaux pratiques 10, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 avril 2014

Théorie de calcul - travaux pratiques 10, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul - travaux pratiques sur l’équation d’inconnue complexe z. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Écrire l’équation, Déterminer les solutions.
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[ Baccalauréat C Espagne juin 1986 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit α un nombre réel appartenant à ] − π

2 ; π

2

[ .

On considère l’équation d’inconnue complexe z :

(E) (1+ iz)3(1− i tanα)= (1− iz)3(1+ i tanα).

1. Soit z une solution de (E).

a. Montrer que |1+ iz| = |1− iz|.

b. En déduire que z est réel.

2. a. Exprimer 1+ i tanα

1− i tanα en fonction de eiα.

b. Soit z un nombre réel ; on pose z = tanϕ où − π

2 <ϕ<

π

2 .

Écrire l’équation portant sur ϕ traduisant (E) et la résoudre.

c. Déterminer les solutions z1, z2, z3 de (E).

EXERCICE 2 5 POINTS

Soit A et A′ deux points distincts du plan, ∆ et ∆′ les droites perpendiculaires à la droite (AA′), respectivement en A et A′, et O le milieu de [AA′]. On pose OA = r . Pour tout point F du segment [AA′], distinct de A et de A′, on note P la parabole de foyer F et de sommet A, P′ la parabole de foyer F et de sommet A′, D la directrice de P et D′ la directrice de P′.

1. Dans cette question F est fixé et on suppose donné un point commun à P et P′.

a. Placer les éléments géométriques précédents sur une figure.

b. Soit H et H′ les projections orthogonales deM sur D et D′.

Prouver que le cercle C de centre M passant par F est tangent à D et D′

aux points H et H′ et que MF = 2r .

Prouver que droites (FH) et (FH′) sont orthogonales ; en déduire que les tangentes à P et P′ au point M sont orthogonales.

c. Prouver que I milieu de [FM] appartient à la médiatrice de [AA′] et que OF2+OI2 = r 2. (On pourra utiliser l’homothétie h de centre F et de rap- port 1/2.)

2. On suppose maintenant que F parcourt le segment [AA′].

a. Prouver que P et P′ se coupent en deux points M1 et M2 symétriques par rapport à la droite (AA′) et indiquer comment on peut construire ces points.

b. À l’aide de 1. c. déterminer le lieu géométrique des milieux I1 et I2 de [FM1] et [FM2].

c. En employant un repère cartésien convenablement choisi, déterminer le lieu géométrique E des points M1 et M2 et placer E sur la figure.

N.B.- On admettra le théorème suivant : Théorème. (admis).

Soit (P) la parabole de foyer F et de directrice (D) ; soit M un point de P et H sa projection orthogonale sur D ; la tangente enM à P est la bissectrice intérieure de l’angle HMF.

Le baccalauréat de 1986 A. P. M. E. P.

PROBLÈME 11 POINTS

Pour tout entier naturel non nul, soit fn la fonction définie sur R par :

fn (x)= x ne−x .

On appelle (Cn) la courbe représentative de fn dans le plan P rapporté au repère

orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→

) (unité 2 cm).

1. a. Calculer la dérivée de fn et préciser la valeur de f n(0) lorsque n = 1 puis lorsque n > 2. Dresser le tableau de variations de fn pour n = 1, n pair, n impair supérieur à 1.

b. Montrer que, pour tout n et pour tout x de [0 ; +∞[,

fn (x)6 fn(n)=n ne−n .

c. Représenter sur une même figure (C1) et (C2).

2. Pour tout réel X > 0, on pose

Fn(X )= ∫X

0 fn (x)dx.

a. Déterminer des nombres réels a0, a1, · · · , an tels que la fonction :

Gn : x 7−→ e −x

( anx

n +·· ·+a1x+a0

)

soit une primitive de la fonction fn sur [0 ; +∞[.

b. En déduire l’expression de Fn(X ) en fonction de X et de n.

c. L’entier n étant donné, montrer que Fn(X ) admet une limite In lorsque X tend vers +∞ et que In =n!.

3. On se propose d’encadrer In par une méthode directe, indépendante des ré- sultats du 2.

a. Á l’aide du 1. b., montrer que

∫2n

0 xne−x dx 6 2nnne−n .

b. Montrer que, si x > 2n, (x 2

)n e−

x 2 6nne−n , et que fn(x)6 (2n)

ne−ne− x 2

En déduire que, si X > 2n,

X

2n xne−x dx6 2(2n)ne−2n .

c. Á l’aide de 3. a. et 3. b., majorer Fn (X ) lorsque X > 2n.

En déduire que In 6 2nne−n [ n+

( 2

e

)n] .

d. Montrer, d’autre part, que

(n+1)ne−n−1 6 ∫n+1

n xne−x dx 6 In .

4. Déduire de 3. c. et 3. d. un encadrement de

un = ln In n lnn

n

et déterminer la limite de un lorsque n tend vers +∞.

Espagne 2 juin 1986

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