Théorie de calcul - travaux pratiques 5, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 avril 2014

Théorie de calcul - travaux pratiques 5, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul - travaux pratiques sur le plan complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer et construire l’ensemble des points M. Démontrer que les quatre points O, A0, B0 et ­ sont cocycl...
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[ Baccalauréat C groupe 1 1 juin 1986 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Dans le plan complexe, on considère les points : A d’affixe 1

2 + 1

2 i , B d’affixe 2i.

M est le point d’affixe z, z 6= 1

2 + 1

2 i.

Soit z ′ = z−2i

2z−1− i .

1. Déterminer et construire l’ensemble des points M tels que z ′ soit réel.

2. Déterminer et construire l’ensemble des points M tels que z ′ soit imaginaire pur.

3. Déterminer et construire l’ensemble des pointsM tels que qu’un argument de

z ′ soit égal à 3π

2 .

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit un triangle isocèle (OAB) (OA = OB) et un point P variable du segment [AB], P 6= A et P 6= B. La parallèle menée de P à la droite (OB) coupe la droite (OA) en A′ et la parallèle menée de P à la droite (OA) coupe la droite (OB) en B′.

1. Démontrer que OA′ = BB′.

2. En déduire qu’il existe une rotation r telle que r (O) = B et r (A′) = B′ dont on

déterminera l’angle en fonction de l’angle (

−−→ OA ,

−−→ OB

)

.

Démontrer que r (A) = O. Déterminer alors le centreΩ de cette rotation.

3. Démontrer que les quatre points O, A′, B′ etΩ sont cocycliques.

PROBLÈME 12 POINTS

Le but du problème est : – A. L’étude de la fonction g . – B. La détermination d’un encadrement de g . – C. L’évaluation d’une aire et de l’erreur commise.

On considère la fonction numérique g définie su [0 ; 1] par

{

g (t) = (

1−e−t )

ln t pour 0< t 6 1 g (0) = 0

(ln désigne le logarithme népérien.)

A.

1. Démontrer que lim t→0

1−e−t

t = 1.

2. Démontrer que g est continue sur [0 ; 1]. Étudier la dérivabilité de g sur [0 ; 1]

et démontrer pour tout réel t de ]0 ; 1] g ′(t)= e−t

t

(

t ln t +et −1 )

.

1. Amiens - Rouen

Le baccalauréat de 1986 A. P. M. E. P.

3. Soit la fonction numérique f définie sur ]0 ; 1] par

f (t)= t ln t +et −1.

Étudier le sens de variation et les valeurs aux bornes de f ′. Montrer que f

s’annule une seule fois sur ]0 ; 1] un un point t0 (on ne calculera pas t0).

En déduire le signe de f ′ et le sens de variation de f sur ]0 ; 1].

En déduire que f ne s’annule qu’une seule fois sur ]0 ; 1] pour une valeur t1 (on ne calculera pas t1).

4. Terminer l’étude de la fonction g . Tracer sa courbe représentative dans un re-

père orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité = 6 cm). On tracera la tangente à la courbe

au point d’abscisse 0. On admettra que t1 ≈ 0,3.

B. Soit n un entier naturel. On définit sur [0 ; 1] la fonction numérique ϕn par

ϕ0(t)= 1 ; ϕ1(t)= 1− t ; ϕ2(t)= 1− t + t2

2! .

et pour tout n > 2,

ϕn(t)= 1− t + t2

2! +·· ·+ (−1)n

tn

n! .

1. Démontrer que pour tout entier naturel non nul et pour tout réel t de [0 ; 1] ϕ n(t)=−var phin−1(t).

2. On se propose de démontrer que pour tout entier n ∈N et pour tout réel t de [0 ; 1] : ϕ2n+1(t)6 e−t 6ϕ2n(t)

a. Soit Φ etΨ deux fonctions numériques définies sur [0 ; 1], dérivables sur [0 ; 1] telles que Φ(0)=Ψ(0).

Démontrer que si pour tout réel t de [0 ; 1] : Φ′(t)6Ψ′(t) alors pour tout réel t de [0 ; 1], Φ(t)6Ψ(t).

b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n et pour tout réel t de [0 ; 1] : ϕ2n+1(t)6 e−t 6ϕ2n(t).

3. Pour tout entier naturel n, déduire de la question précédente un encadrement de la fonction g sur ]0 ; 1] faisant intervenir les fonctions ϕ2n et ϕ2n+1.

C. On considère l’ensemble ∆ des points M du plan de coordonnées (t ; y) dans le

repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

vérifiant 06 t 6 1 et g (t)6 y 6 0.

On se propose de déterminer une valeur approchée de l’aire de ∆.

1. Soit n un élément deN et α un réel tel que 0<α6 1.

On pose

In (α)= ∫1

α

tn ln t dt .

Calculer In (α) en utilisant une intégration par parties. Déterminer la limite de In (α) lorsque α tend vers 0 par valeurs positives.

2. En utilisant le B. 3., donner un encadrement de ∫1

α

g (t)dt au moyen des inté-

grales du type In (α).

En déduire un encadrement de ∫1

0 g (t)dt .

3. Donner en cm2 une valeur approchée par excès de l’aire ∆ à 10−2 près.

Aix-Marseille 2 juin 1986

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