Théorie de calcul - travaux pratiques 9, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 avril 2014

Théorie de calcul - travaux pratiques 9, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul - travaux pratiques sur les sommets des coniques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre dans C l’équation, Démontrer par récurrence l’existence de deux suites.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Djibouti 1 juin 1986 \

EXERCICE 1 4 points

Soit E un plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Soit Γ l’ensemble des points de E dont les coordonnées (x ; y) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

vérifient :

16x4+81y4+72x2y2−1296y2 = 0.

Montrer que Γ est la réunion de deux coniques Γ1 et Γ2 (on remarquera que le membre de gauche est une différence de deux carrés).

2. Représenter Γ après avoir précisé le centre et les sommets des coniques Γ1 et Γ2.

EXERCICE 2 4 points

1. Résoudre dans C l’équation

z6+1= 0.

On poseα=

p 3

2 +i

1

2 ;montrer que les solutions de l’équation précédente sont

les six premiers termes d’une suite géométrique de premier terme α.

2. Ondésignepar A, B, C, D, E, F respectivement les points d’affixes 2α,4α3 ,4α5 , 1

α , 1

α3 , 2

α5 et par O le point d’affixe zéro.

Représenter sur un dessin la figure formée par les sept points A, B, C, D, E, F, O.

Montrer que les points A, B, C, D, E, F appartiennent au cercle de diamètre [BF]. On pourra, par exemple,montrer que les trianglesOEF, OFC,ODA etOAB sont rectangles.

PROBLÈME 12 points

Soit f l’application de R dans R qui à x associe

f (x)= (1+ x)e−2x .

On se propose dans ce problème d’utiliser une équation différentielle satisfaite par f pour donner uneméthode de calcul des dérivées successives de f , et d’interpréter géométriquement cette méthode.

Partie A

1. Étudier f . En donner, dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

, la représenta-

tion graphique (C ) soignée en précisant les points d’intersection avec les axes, ainsi que les tangentes en ces points (unité : 2 cm).

1. Maroc, Portugal, Sénégal,

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Soit a un réel strictement plus grand que −1. On note (D) le domaine délimité par la droite d’équation x = a, l’axe des abscisses et (C ).

Calculer en cm2 l’aire de (D) en fonction de a.

Montrer que cette aire a une limite quand a tend vers +∞ et la calculer.

Partie B

1. Quels doivent être les coefficients a et b pour que la fonction f vérifie l’équa- tion différentielle du second ordre :

(1) y ′′+ay ′+by = 0?

Démontrer qu’alors, toutes les dérivées de f vérifient (1). Calculer l’ensemble des primitives de f , et chercher si une de ces primitives vérifie l’équation (1).

2. On pose f (0) = f et pour n entier naturel non nul on note f (n) la dérivée n- ième de f .

La fonction f est une solution de l’équation différentielle

y ′′+4y ′+4y = 0.

Démontrer par récurrence l’existence de deux suites (cn ) et (dn) qui vérifient : pour tout n entier naturel.

f (n) = cn f ′+dn f cn+1 = −4cn +dn dn+1 = −4cn .

3. On définit deux suites (

γn )

et (δn) (n> 0) par les formules

cn = (−2) nγn ; dn = (−2)

nδn .

Montrer que la suite de terme général δn − 2γn admet une valeur constante que l’on déterminera. En déduire que la suite

(

γn )

est une suite arithmétique que l’on explicitera.

Calculer f (n)(x) en fonction de n et de x.

Partie B

Soit l’application : g : M(x ; y) 7−→ M ′ (

x′ ; y ′ )

définie analytiquement par les rela- tions :

{

x′ = −4x+ y y ′ = −4x.

1. Dans un repère (

O, −→ ı ,

−→ )

, soit A(1 ; 0) et B(0 ; 1). On note A′ = g (A).

Quelles sont les coordonnées de A′ ?

On définit une unique application affine s par les relations

s(O) = O, s(A) = B, s(B) = A

Reconnaître s et donner ses éléments caractéristiques.

2. On pose h = s g . Démontrer que h est une application affine. Déterminer h(O), h(A), h(B) et reconnaître que h est une affinité.

En déduire, à l’aide de la relation h = s g une construction géométrique de l’image M ′ d’un point M par g .

N.B. - La partie C du problème est indépendante des parties A et B.

La partie C est hors programme.

Djibouti 2 juin 1986

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