TP géométrie algorithmique 11, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

TP géométrie algorithmique 11, Exercices de Géométrie Algorithmique

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TP de géométrie algorithmique 11 - l'unique rotation R. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l'angle. Démontrer que son centre est un point de (C ).
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1992 \

EXERCICE 1 4 points

Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que :

(

−−→ AB ,

−−→ AC

)

=

π

3 [2π] et AB< AC.

On note (C ) le cercle circonscrit au triangle ABC et O son centre. Soit E le milieu du segment [BC] et P le point du segment [AC] tel que AB = CP. La droite (OE) coupe (C ) en I et J, tels que J et A soient sur le même arc BC du cercle (C ).

1. a. Faire une figure.

b. Quel est l’ensemble des points M du plan tels que

(

−−→ MB ,

−−→ MC

)

=

π

3 [2π]?

c. Quel est l’ensemble des points M du plan tels que

(

−−→ MB ,

−−→ MC

)

=

π

3 [2π] etMB<MC?

2. a. Justifier qu’il existe une unique rotation R telle que R(A) = P et

R(B) = C.

Déterminer son angle.

b. Démontrer que son centre est un point de (C ) que l’on précisera.

c. Quelle est la nature du triangle JAP ?

3. Déterminer l’image de B par la composée R ◦ SB où SB désigne la symétrie de centre B.

Donner la nature et les éléments caractéristiques de cette composée.

EXERCICE 2 4 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

1. On considère les points A de coordonnées (−1 ; 0) et I de coordonnées (4 ; 0).

Soit (E) l’ellipse de centre I, dont un sommet est A et un foyer est O.

a. Déterminer les trois autres sommets de (E).

b. Calculer l’excentricité de (E), et donner une équation de sa directrice as-

sociée au foyer O dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

c. Former une équation de (E) dans le repère (

I ; −→ u ,

−→ v

)

d’origine le centre

I de l’ellipse.

d. Tracer (E).

2. Dans cette question, à tout réel θ de l’intervalle [0 ; π] on associe l’équation :

z2−2(4+5cosθ)z+ (4cosθ+5)2 = 0.

1. Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, Toulouse

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Résoudre l’équation dans C.

b. Lorsque θ appartient à l’intervalle ]0 ; π[, on note z1 la solution de l’équa- tion dont la partie imaginaire est strictement positive, et z2 l’autre solu- tion.

Soit M1 le point d’affixe z1 et M2 le point d’affixe z2.

Déterminer les coordonnées deM1 en fonctionde θ dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

puis dans le repère (

I ; −→ u ,

−→ v

)

.

En déduire l’ensemble des points M1 puis celui des points M2 lorsque θ varie dans l’intervalle ]0 ; π[.

PROBLÈME 4 points

Les parties B et C sont indépendantes. Pour les représentations graphiques de ce problème l’unité choisie est 2 cm ; et il convient de placer l’axe des ordonnées suffisamment à gauche de la feuille afin de réserver 16cm pour le demi-axe des abscisses positives.

Partie A

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= x(1− lnx) si x > 0, et f (0)= 0.

On appelle (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère or-

thonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Justifier que f est continue sur [0 ; +∞[.

2. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers 0. En déduire que f n’est pas dérivable en 0.

3. a. Étudier la limite de f (x)

x quand x tend vers +∞.

b. Étudier les variations de f . Faire un tableau de variations.

4. a. Écrire une équationde la tangente (T) à la courbe (C ) aupoint d’abscisse e.

b. Tracer (T) et (C ). Préciser la tangente à (C ) au point O.

Partie B

1. On désigne par α et x des nombres réels strictement positifs ; calculer l’inté-

grale ∫x

α f (t)dt , à l’aide d’une intégration par parties.

2. Soit α un nombre réel strictement positif et A (α) l’aire en cm2 de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe (C ) et les droites d’équations x =α et x = e.

a. Montrer que A (α)= 4 ∫x

α f (t)dt .

(On distinguera les deux cas α6 e et α> e.

Calculer A (α) en fonction de α.

b. Calculer la limite de A (α) quand α tend vers 0.

c. Déterminer α tel que : α> e et A (α)= e2.

3. Soit x un réel de [0 ; +∞[.

Prouver l’existence de l’intégrale : ∫x

0 f (t)dt .

Métropole groupe 4 2 juin 1992

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. Soit F la fonction définie sur [0 ; +∞[ par F (x)= ∫x

0 f (t)dt .

Montrer que F est dérivable sur [0 ; +∞[ et préciser sa fonction dérivée.

Quelle est la limite de F en 0 ?

5. a. Déduire du B 1. que pour x > 0 :

F (x)−F (1)= x2

4 (3−2lnx)−

3

4 .

b. Calculer la limite de x2

4 (3−2lnx) quand x tend vers 0.

En déduire la valeur de F (1). En conclure que si x > 0 :

F (x)= x2

4 (3−2lnx).

Partie C

À tout réel k on associe la fonction fk , définie sur [0 ; +∞[ par :

fk (0)= 0, et si x > 0 fk (x)= x(k− lnx).

On appelle (Ck ) la courbe représentative de fk , dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Soit a un réel strictement positif, Ak le point d’abscisse a de (Ck ) et (Tk ) la tangente à (Ck ) au point Ak .

Déterminer l’ordonnée du point d’intersection de (Tk ) avec l’axe des ordon- nées.

En déduire que, lorsque k varie dans R, les tangentes (Tk ) sont concourantes

en un même point de l’axe (

O ; −→

)

.

2. a. Montrer que l’homothétie de centre O et de rapport ek transforme la courbe (C0) en la courbe (Ck ).

b. Remarquer que la courbe (C1) est la courbe (C ) tracée au A. 4. b.

Par quelle transformation ponctuelle, la courbe (C0) se déduit-elle de (C1) ? Construire (C0) sur la même figure que (C1) ainsi que ses tan-

gentes aux points d’abscisses 1

e et 1.

3. Déduire, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

le tracé de (C2) de celui de (C0) sur lamême

figure que (C0) et (C1). Construire les tangentes à (C2) aux points d’abscisses e, ee et 1.

Faire apparaître sur le graphique le point d’intersection des tangentes aux courbes (Ck ) , (C1) et (C2) aux points de ces courbes d’abscisse 1.

Métropole groupe 4 3 juin 1992

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