TP géométrie algorithmique 15, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

TP géométrie algorithmique 15, Exercices de Géométrie Algorithmique

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TP de géométrie algorithmique 15 - la mesure de l’angle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Préciser la nature et les éléments caractéristiques de l’application r ′. En déduire en fonction de m la nature de...
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Pondichéry avril 1992 \

EXERCICE 1 4 points

Dans le plan orienté P on considère la figure ci-dessous. Les triangles ABC et ACD sont deux triangles équilatéraux directs

tels que (

−−→ BC ,

−−→ BA

)

= π

3 et

(

−−→ DA ,

−−→ DC

)

= π

3 .

Les points O et I sont les milieux respectifs de [AC] et [AB] et les points L et E sont

tels que −−→ OC =

−→ CL =

−→ LE .

bb

b

b

b

b b

b

O A

B

C

D

L E

I

Soit r la rotation de centre A dont l’angle a pour mesure π

3 , et t la translation de

vecteur −−→ OA .

On note r ′ = r t (composée de t et de r ).

1. a. Quelle est l’image de O par r ′ ?

b. Donner une mesure de l’angle (

−→ IO ,

−→ IA

)

?

c. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de l’application r ′.

2. M est un point quelconque du plan, on note N = r (M), J le milieu du segment [EM] et K le milieu du segment [ND].

a. Soit P l’antécédent deM par t . Quel est le milieu du segment [LP ] ?

b. Montrer, lorsque I, J et K sont distincts, que le triangle IJK est équilaté- ral. On pourra utiliser r ′(L) et r ′(P ).

EXERCICE 2 4 points

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On désigne parm un nombre réel et par (Em) l’ensemble des points M du plan (P), de coordonnées (x ; y) vérifiant l’équation :

(m−1)x2+3my2+2(m−14)x+m+3= 0.

1. Déterminer (Em) pour les valeurs particulières m = 0 et m = 1.

2. Pour quelle valeur dem l’ensemble (Em) est-il un cercle ? Préciser dans ce cas son centre et son rayon.

3. Dans cette questionm est un réel non nul et différent de 1.

Soit O′ le point de coordonnées (−1 ; 0).

On notera (X ; Y ) les coordonnées deM dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Terminale C A. P. M. E. P.

a. Montrer que l’équation de (Em) dans ce repère est :

(m−1)X 2+3mY 2+4= 0.

b. En déduire en fonction dem la nature de (Em).

PROBLÈME 12 points

Partie A

L’objet de cette partie est d’étudier la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : ln x

f (x)= lnx

x2 + x−1.

OnappelleC la courbe représentative de la fonction f dans le planmuni d’un repère

orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

dont l’unité vaut 2 cm.

1. a. Étudier sur ]0 ; +∞[ le sens de variation de la fonction g définie par

g (x)= x3−2lnx+1.

b. En déduire que g (x)> 0 pour tout x de ]0 ; +∞[.

2. a. Calculer f ′(x), et démontrer que f ′(x) et g (x) sont de même signe.

b. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition, puis construire son tableau de variations.

c. Démontrer que la droite D d’équation y = x−1 est asymptote à la courbe C .

Étudier la position de D par rapport à C .

d. Écrire une équation de la tangente T à la courbeC au point d’abscisse 1.

3. Placer les droites T et D et construire la courbe C .

Partie B

Soit λ un réel supérieur ou égal à 1.

1. On appelle A (λ) l’aire de la partie du plan comprise entre C , D et les droites d’équations x = 1 et x =λ.

Calculer A (λ). (On pourra utiliser une intégration par parties).

2. Déterminer la limite L de A (λ) quand λ tend vers +∞.

3. Montrer que l’équation :

A (λ)= L

2

est équivalente à l’équation (E) définie par 2lnλλ+2= 0.

4. Prouver que l’équation (E) admet une unique solution a sur [1 ; +∞[.

Vérifier que 5< a < 6.

Partie C

Cette partie va permettre de déterminer une approximation de a. Pour cela, on introduit la suite (un ) définie par u0 = 5 et pour tout n de N, un+1 = ϕ (un ), où ϕ est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par ϕ(x)= 2lnx+2.

1. a. Démontrer que pour tout n de N, un appartient à [5 ; 6].

b. Montrer que la suite (un ) est croissante.

Pondichéry 2 avril 1992

Terminale C A. P. M. E. P.

c. Montrer que la suite (un ) est convergente et que sa limite est égale à a.

2. a. Prouver que pour tout x de l’intervalle [5 ; 6] on a :

ϕ′(x) ∣

∣6 2

5 .

b. En déduire que pour tout n deN :

|un+1−a|6 2

5 |un a| .

c. Démontrer alors que pour tout n deN :

|un a|6

(

2

5

)n

.

3. Déterminer un entier n tel que un soit une valeur approchée de a à 10−3 près.

En déduire alors une approximation de a à 10−3 près.

Pondichéry 3 avril 1992

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