TP géométrie algorithmique 16, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

TP géométrie algorithmique 16, Exercices de Géométrie Algorithmique

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TP de géométrie algorithmique 16 - l’intervalle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la limite a de la suite u. l’ensemble des points M du plan.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Sportifs de haut-niveau \ septembre 1992

EXERCICE 1 5 points

On considère la suite u de premier terme u0 = 0 et définie pour tout entier positif par la relation de récurrence :

un+1 = p 2

2

1+un .

1. a. Montrer que pour tout entier n strictement positif on a l’encadrement :

p 2

2 6 un 6 1.

b. Étudier le sens de variation de la suite u et en déduire que la suite u est convergente.

c. Déterminer la limite a de la suite u.

2. a. Montrer que pour tout nombre x de l’intervalle [0 ; u], on a :

1+cosx 2

= cos ( x

2

)

.

b. Montrer alors que pour tout entier naturel n on a :

un = cos (

π

2n+1

)

.

c. Retrouver ainsi la limite a de la suite u.

EXERCICE 2 5 points

Dans le plan orienté on considère un cercle (C ) de centre O et de rayon 1,5 et un cercle (C ′) de centre O’et de rayon 3. On suppose de plus que la distance de O à O′

est égale à 6. Faire une figure (unité graphique : 1 cm).

1. On appelle (Γ) l’ensemble des points M du plan tels que MO′

MO = 2.

a. Montrer que si I est le centre d’une similitude directe qui transforme (C ) en (C ′) alors I est un point de (Γ).

b. Montrer que (Γ) coupe la droite (OO′) en deux points A et B que l’on ca- ractérisera comme barycentres des points O et O′.

c. Montrer que M est élément de (r) si et seulement si −−→ MA ·−−→MB = 0.

Déterminer (Γ) et le représenter sur la figure.

2. On veut prouver l’existence et l’unicité d’une similitude directe f d’angle π

2 qui transforme (C ) en (C ′).

a. Dans cette question on admet l’existence de f ·

Quelle est alors l’image de O par f et quel est le rapport de f ?

Soit T le point d’intersection de (C ) avec le segment [OO′].

Déterminer l’image T’ de T par f ·

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. En déduire l’existence et l’unicité de f ; construire le centre de f (on ex- pliquera la construction).

PROBLÈME 10 points

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]−1 ; 4[ par :

f (x)= 2ln 4(x +1) 4− x

.

(ln désigne le logarithme népérien). Dans la partie A on étudie la fonction f et on calcule l’intégrale :

J = ∫2

0 f (x)dx.

Dans les parties B et C on étudie deux méthodes d’approximation de J . La partie C est indépendante de la partie B.

A.

1. Montrer que l’on a pour tout nombre x de l’intervalle ]−1 ; 4[ :

f (x)= 2ln(x +1)−2ln(4− x)+4ln2.

Déterminer les limites de f en −1 et 4 et étudier les variations de f . 2. Tracer la courbe (C ) représentative de f dans un repère orthogonal d’unités

3 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.

3. a. Calculer F (x)= ∫x

1 2ln t dt pour x > 0.

b. On considère sur l’intervalle ]−1 ; 4[ les fonctions h et H définies par

h(x) = 2ln(x +1)−2ln(4− x) H(x) = F (x +1)+F (4− x)

Montrer que H est une primitive de h sur ]−1 ; 4[. c. Calculer la valeur exacte de J .

B. Soit P le polynôme défini par P (x) = ax2+bx + c, où a, b et c sont des nombres réels.

1. Déterminer a,b et c pour que :

P (0)= f (0), P (1)= f (1) etP (2)= f (2).

2. On prend désormais : P (x)= (−5ln2+3ln3)x2+ (11ln2−5ln3)x.

Calculer I = ∫2

0 P (x)dx.

3. Calculer |JI |. Donner à l’aide de la calculatrice une valeur approchée à 10−3

près du quotient : |J I |

J .

C.

1. On note (T) la tangente à (C ) au point d’abscisse 3

2 .

Déterminer une équation de (T) sous la forme y = t(x). Placer (T) sur la fi- gure.

Sportifs de haut-niveau 2 septembre 1992

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. On pose g (x)= f (x)− 8

5 x +

12

5 −4ln2 pour x appartenant à ]−1 ; 4[.

a. Étudier le signe de la dérivée de g .

b. Étudier le signe de g . Interpréter géométriquement ce signe.

c. Calculer

K = ∫2

0 t(x)dx.

Donner une interprétation géométrique de la valeur |J K |. Donner à l’aide de la calculatrice une valeur décimale approchée à 10−3

près du quotient : |J K |

J .

Sportifs de haut-niveau 3 septembre 1992

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