TP géométrie algorithmique 2, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

TP géométrie algorithmique 2, Exercices de Géométrie Algorithmique

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TP de géométrie algorithmique 2 - le plan orienté . Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer la position du point O, Construire les points Msur d1 et N sur d2.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1992 \

EXERCICE 1 4 points

Soit dans un plan orienté les trois points A, B et C non alignés tels que AB < AC. On

pose (−−→ AB ,

−−→ AC

)

=α modulo (2π).

Soit d1 la demi-droite de support (AB), d’origine B, ne contenant pas le point A. Soit d2 la demi-droite d’origine C contenant A. On place sur d1 un point M différent de B et sur d2 un point N tel que CN = BM.

1. Justifier l’existence d’une unique rotation r transformant B en C et M en N.

Préciser l’angle de r en fonction de α.

2. a. Démontrer que le centre O de r est situé sur le cercle circonscrit au tri- angle ABC.

b. Déterminer la position du point O.

3. Soit f la similitude directe de centre O transformant B en M.

a. Démontrer que f r = r f .

b. En déduire que f (C) = N, puis que MN

BC =

OM

OB .

4. Construire les points M sur d1 et N sur d2 sachant que BM = CN et MN = BC.

EXERCICE 2 4 points

Une unité de longueur étant choisie, on considère dans un plan un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 2a et AC = a, où a est un réel positif donné.

1. Déterminer et construire l’ensemble E1 des points M du plan tels que :

−−→ MA +

−−→ MB −

−−→ MC

∥= ∥

∥2 −−→ MA −

−−→ MB −

−−→ MC

∥ .

2. On désigne par H le point du plan tel que :

−−→ AH =

1

2

−−→ AB +2

−−→ AC .

a. Démontrer que H est le barycentre des points A, B et C affectés de coef- ficients que l’on déterminera.

b. On considère l’ensemble des points M du plan tels que :

−3MA2+MB2+4MC2 = k.

Pour quelle valeur du nombre réel k, cet ensemble contient-il le point A ?

Pour cette valeur préciser l’ensemble obtenu, noté E2 et le construire.

PROBLÈME 12 points

L’objet du problème est l’étude d’une famille de fonctions. Pour n entier naturel non nul, on définit sur [0 ; +∞[ la fonctionn numérique fn par :

{

fn (x) = xn (2lnx−1) si x ∈]0 ; +∞[ fn (0) = 0

Terminale C A. P. M. E. P.

Ondésigne par (Cn) la courbe représentative de fn dans le plan rapporté à un repère

orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(l’unité graphique est 4 cm).

A. Dans toute cette partie, n = 1

1. a. Étudier la continuité et la dérivabilité de f1 sur [0 ; +∞[.

b. Étudier le sens de variation de f1.

c. Étudier la limite de f1 en +∞.

d. Préciser la tangente à (C1) au point O.

2. Soit le point M0 d’abscisse x0 strictement positive de la courbe (C1).

a. Montrer que la tangente en M0 à (C1) coupe l’axe des ordonnées en un point T0 dont on donnera les coordonnées.

b. En déduire une construction simple de la tangente à (C1) au point M0.

3. On désigne par A le point de (C1) d’ordonnée nulle, autre que O.

Tracer la tangente en A à (C1) puis la courbe (C1)·

4. Soit α un réel de l’intervalle ]0 ; e] ; à l’aide d’une intégration par parties, cal-

culer l’intégrale : ∫e

α

t ln t dt .

5. a. Étudier la position relative de la courbe (C1) et de la droite (∆) d’équation xy = 0. On précisera les points d’intersection.

b. Calculer, en cm2 , l’aire S(α) de la portiondeplan comprise entre la courbe (C1), la droite (∆) et la droite d’équation x =α.

c. Calculer lim α→0

S(α).

Dans cette partie on étudie fn pour n > 2

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de fn sur [0 ; +∞[.

2. Déterminer la fonction dérivée f n .

3. On désigne par xn la valeur, autre que 0, pour laquelle f n s’annule.

a. Montrer que pour tout entier n (n> 2), on a : 16 xn < p e.

b. Étudier la variation de la suite (xn )n>2.

c. Montrer que la suite (xn )n>2 converge et trouver sa limite.

4. a. Étudier la limite de fn en +∞.

b. Dresser pour n > 2, le tableau de variation de fn ; en déduire que pour n> 2, fn (x)6−1.

c. Étudier lim n→+∞

fn (xn ).

5. Pour tout entier naturel non nul n, on définit sur [0 ; +∞[ la fonction gn par :

gn(x)= fn(x)− fn+1(x).

Étudier le signe de gn(x) et en déduire la position relative des courbes (Cn) et (Cn+1).

6. Tracer soigneusement la courbe (C2) dans le même repère que (C1) en men- tionnant sa tangente en O.

Amérique du Nord, Espagne 2 juin 1992

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