Travaux pratiques d'algèbre 3, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Travaux pratiques d'algèbre 3 sur les variations de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: un repère orthonormé, la nature géométrique de l’application.
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[ Baccalauréat C Lille juin 1966 \ Mathématiques élémentaires et mathématiques et technique

EXERCICE 1

Soit la fonction définie par

y = f (x)= sinx(7+cos2x).

1. Comparer f (−x) et f (x).

2. Comparer f (πx) et f (x).

3. Étudier et représenter graphiquement les variations de la fonction sur le seg-

ment [

0 ; π

2

]

.

4. En utilisant les résultats des questions 1. et 2., construire le graphe correspon- dant au segment [−π ; +π].

EXERCICE 1

Dans un plan orienté rapporté à un repère orthonormé direct Ox, Oy on prend les points A(R ; 0) et B(−R ; 0) (R : longueur donnée). À tout point M du plan on associe le point M′ défini par les conditions

module de −−−→

BM′ = module de −−→ AM ,

(

−−→ AM ,

−−−→

BM′ )

=

π

2 modulo 2π.

On désigne par P le milieu deMM′.

Partie A

1. Préciser la nature géométrique de l’application (T) transformant M en M′ et celle de l’application (T′) transformant M en P.

Quel est le point double de (T) ?

2. Connaissant les coordonnées (x ; y) deM, donner les coordonnées (

x′ ; y ′ )

de M′ et les coordonnées (X ; Y ) de P.

3. M décrivant la droite d’équation x = 2R, préciser le lieu de M′, le lieu de P et l’enveloppe de la droite MM′.

Partie B

Dans tout ce qui suit, on suppose que M décrive le cercle de centre A et de rayon R.

1. Préciser le lieu deM′, le lieu de P et l’enveloppe de la droite MM′.

2. Écrire les équations dans le repère −−→ Ox ,

−−→ Oy du lieu deM, du lieu deM′, du lieu

de P et de l’enveloppe de la droite MM′.

Montrer que l’enveloppe deMM′ est bitangente au lieu deM, au lieu de M′ et au lieu de P.

3. Ondésigne parα l’angle polaire (

−→ Ax ,

−−→ AM

)

défini à 2près. Donner, en fonc-

tion de α et de R, les coordonnées deM, deM′ et de P.

R et α étant donnés, former l’équation cartésienne de la droite MM′. Calculer le carré, z, de la distance de l’origine O à la droite MM′.

Exprimer z en fonction de tg α

2 = t .

Baccalauréat Mathématiques élémentaires et mathématiques et technique A. P. M. E. P.

4. Étudier les variations et le graphe de la fonction

z = 2R2(1+ t)2

(

t2+1 ) (

t2+4t +5 ) ,

R désignant une longueur donnée et t variant de −∞ à +∞.

À cet effet, on se bornera à effectuer le changement de variable défini par θ = t +1 et à étudier la fonction z(θ) ainsi obtenue.

N. B. - Les différentes questions sont, dans une large mesure, indépendantes. Par « lieu », il faut entendre « ensemble de points ».

Lille 2 juin 1966

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