Travaux pratiques d'algèbre 5, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Travaux pratiques d'algèbre 5 sur les modules et arguments respectifs des solutions de l’équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les images respectives, les coordonnées d’un point.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Montpellier juin 1966 \ Mathématiques élémentaires et mathématiques et

technique

EXERCICE 1

Déterminer les modules et arguments respectifs des solutions de l’équation

z4 =−i.

Représenter géométriquement leurs images respectives.

EXERCICE 2

1. Démontrer que, dans un repère constitué par un trièdre orthonormé direct Ox y z, les équations

x −2= y +1= z −3

sont celles d’une droite (D).

2. Démontrer que, dans le même repère, les équations 4t 1- 3t

x = 4t

t +1 , y =

1−3t

t +1 , et z =

2t +4

t +1 (t 6= −1)

donnent les coordonnées d’un point se déplaçant sur une droite (∆).

3. Montrer que les droites (D) et (∆) ont un point commun.

4. Déterminer les composantes scalaires d’un vecteur −→ V orthogonal auplan formé

par (D) et (∆).

EXERCICE 3

Soit un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy et le cercle (C) de centre O, de rayon R. On considère la transformation ponctuelle T qui, au point M(x ; y), fait corres- pondre le point M′(x′ ; y ′), intersection de la parallèle menée deM à l’axe y ′Oy et de la polaire deM par rapport au cercle (C).

1. Montrer que x′ = x et y ′ = R2− x2

y .

Définir la transformation réciproque T−1. La transformation T est-elle involu- tive ?

Déterminer ses points doubles, ainsi que les points qui ne possèdent pas d’ho- mologues.

Existe-t-il des droites globalement invariantes dans la transformation T ?

2. On suppose que l’ensemble des positions du point M est une parallèle à l’axe x′Ox, d’équation y = y0.

Déterminer analytiquement l’ensemble des positions deM′, ainsi que le som- met, le paramètre, le foyer et la directrice dumême ensemble.

3. Trouver géométriquement l’ensemble des pointsωmilieux des segmentsMM′ . (On pourra étudier le comportement du cercle de diamètre MM′ dans l’inver- sion de pôle O et de puissance R2.)

En déduire, par une transformation ponctuelle connue, l’ensemble des points M′, déjà vu.

Baccalauréat Mathématiques élémentaires et mathématiques et technique A. P. M. E. P.

4. a et b étant des constantes, déterminer l’équation de la courbe (Γ) homologue de la droite d’équation y = ax+b dans la transformationT. (On suppose a 6= 0.)

5. Cette équation peut se mettre sous la forme y = f (x).

Étudier les variations de cette fonction et la représenter graphiquement en choisissant R = 3 cm, a = 2,b = 4 cm.

6. Dans ce dernier cas, mettre la fonction f sous la forme y = AX + B

X +C, où X

est de la forme X =αx +β et A, B, C, α et β étant des constantes.

En déduire une primitive de la fonction f de la variable x.

Montpellier 2 juin 1966

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