Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 12, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 12, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la théorie des congruences, le nombre réel donné, les coordonnées.
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[ Strasbourg juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires et

mathématiques et technique

EXERCICE 1

En utilisant la théorie des congruences, trouver les restes de la division par 7 des nombres

53, 56, 56n+1 +53n+2 −2.

(n est un entier naturel quelconque.)

EXERCICE 2

Partie A

Le plan est rapporté à un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy . Soit T l’application qui, au point M , de coordonnées (x ; y), non toutes deux nulles, fait correspondre M ′(X ; Y ) tel que

X = k2x

x2 + y2 , Y =

k2 y

x2 + y2 ,

k étant un nombre réel donné, strictement positif.

1. T a-t-elle des points doubles ?

Montrer que l’application T du plan privé de O est biunivoque et involutive.

2. Montrer que les points O, M et M ′ sont alignés.

Calculer −−−→ OM ·

−−−→ OM ′ . En déduire la nature de l’applica- tion T .

Partie B

Soit, dans le plan, le point A de coordonnées (a ; 0), a > 0, la droite (D) d’équation x = 2a, le cercle (C) de centre A, passant par O et la droite (L) passant par O et telle que (Ox, L) = u :

06 u < π, u 6= π

2

1. (L) coupe le cercle (C) en P et la droite (D) en Q.

Écrire l’équation de (C) et trouver les coordonnées des points P et Q.

2. Soit N le point tel que −−→ ON =

−−→ PQ . Calculer les coordonnées, x1 et y1 de N.

Trouver une relation indépendante de u entre ces coordonnées.

Partie C

1. Étudier les variations de la fonction

y = x

x

2a x .

Tracer son graphique, (G). On précisera la tangente en O.

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

2. En déduire le graphique, (G′), de la fonction

y =−x

x

2a x

et l’ensemble, (G′′), des points dont les coordonnées sont liées par

x (

x2 + y2 )

= 2ay2.

Partie D

Appliquer à (G′′) la transformation T . Montrer que l’on obtient alors une parabole privée du point O. Déterminer k pour que le foyer de cette parabole soit le point A.

N. B. - On pourra considérer que les parties A, B et C sont indépendantes.

Strasbourg 2 juin 1967

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