Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 14, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 14, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre positif, les tables numériques, la courbe représentative.
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[ Tahiti juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires et

mathématiques et technique

EXERCICE 1

Soit deux cercles, de centre O et P′, de rayons respectifs R et 2R, tangents extérieu- rement en un point A. À tout point M du premier on associe le point M ′ du second tel que (

−−−→

OM , −−−−→

O′M ′ )

=

π

3 .

Déterminer le centre, I, de la similitude qui transforme OM en O′M ′. Indiquer sa distance à OO′.

EXERCICE 2

On considère l’équation

−0,256cos x +1,217sin x =C ,

C est un nombre positif.

1. Montrer que cette équation a des solutions pour les valeurs de C au plus égales à un nombre positif, C0.

2. On donne l’extrait suivant de la table des carrés :

N N 2 N N 2

25 625 121 14 641 26 676 122 14 884 . . . . . . 123 15 129

124 15 376 125 15 625

À l’aide de cette table, calculer une valeur approchée de C0 avec trois déci- males.

3. On prend C = C0. Résoudre l’équation. (Le candidat indiquera explicitement les tables numériques utilisées.)

EXERCICE 3

1. Étudier les variations de la fonction qui, à x réel, associe

y = f (x) = x3 −3x.

Construire la courbe représentative (C ) dans un repère orthonormé, en pre- nant une unité égale à 3 cm.

2. Résoudre l’équation f (x) = f (x0) , x0 étant une valeur donnée.

Discuter.

Par le point M0 de (C ) d’abscisse x0, on mène la parallèle à l’axe des x, qui, pour certaines valeurs de x0, recoupe (C ) en deux points, P et Q . Déterminer le lieu géométrique (T ) du milieu de PQ . Construire ce lieu. Déterminer ses intersections avec (C ).

3. Par le point A de coordonnées (+1 ; −2), on mène une droite (D) de pente t .

Pour quelles valeurs de t la droite (D) coupe-t-elle (C ) en des points, R et S, distincts de A ?

Étudier le lieu géométrique du point E conjugué harmonique de A par rapport à R et S.

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

4. On considère les points de la courbe (C ) d’abscisses 2 et 2+h (h > 0).

Montrer que

f (2+h)− f (2) = h f ′(c),

c est un nombre compris entre 2 et 2+h.

Déterminer la valeur de c en fonction de h.

Montrer que, quand h varie, le rapport u = c −2

h reste supérieur à

1

2 .

Déterminer la limite de ce rapport u quand h tend vers 0.

Tahiti 2 juin 1967

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