Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 3, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction de la variable réelle, les symétries axiales planes, la nature de la transformation ponctuell...
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[ Nantes juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

On désigne par f la fonction de la variable réelle x telle que l’on ait

f (x)= y = cos3 x − 3

2 cosx.

Étudier ses variations et tracer son graphique dans un repère orthonormé. Indiquer la période de la fonction et les éléments de symétrie du graphique.

EXERCICE 2

On donne, dans un plan orienté, trois droites, D1, D2 et D3, concourantes en O et satisfaisant à

(D1, D2)= π

6 (modπ),

(D2, D3)= π

4 (modπ),

On désigne respectivement par S1,S2,S3 les symétries axiales planes par rapport à ces trois droites.

1. Indiquer la nature de la transformation ponctuelle plane, T , définie par

T = Sa3 ◦S2 ◦S1

(composition des symétries axiales planes autour de D1, D2, D3 prises dans cet ordre).

2. Indiquer la nature de la transformation ponctuelle plane, T1 définie par

T1 = S1 ◦S3 ◦S2 ◦S1.

(composition des symétries axiales planes autour de D1, D2, D3 et D1, prises dans cet ordre.)

EXERCICE 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé dont les axes sont x′Ox et y ′Oy . Un point m, de coordonnées (x ; y), étant donné, on appelle M le point de coordon- nées

(1) X = ax

2x a et Y =

ay

2x a

a est un nombre réel donné, strictement positif.

1. a. Quel est l’ensemble des points m du plan pour lesquels M n’existe pas ?

Dans toute la suite du problème on supposera que m n’appartient pas à cet ensemble ; les formules (1) définissent alors une transformation ponctuelle T qui associe M à m.

Quel est l’ensemble des points invariants dans T ? Quelle est la transfor- mation réciproque de T ?

b. Quel est le transformé d’un point de l’axe y ′Oy ? Quel est l’ensemble des points transformés des points d’une droite (∆) dans les cas particuliers suivants :

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

(∆) passe par le point A(a ; 0) ;

(∆) est parallèle à y ′Oy ;

(∆) est parallèle à x′Ox ?

2. Démontrer que les points O, m et M sont alignés et que les projections ortho- gonales de m et M sur x′Ox sont conjuguées harmoniques par rapport à O et A.

En déduire une définition géométrique de la transformation T et donner une solution géométrique aux questions du 1.

3. Trouver l’équation de la courbe (F ), transformée du cercle (C ) passant par O et centré en (λ ; 0) : on supposera λ 6= 0.

Discuter, suivant les valeurs de λ, de la nature géométrique de (F ) et indiquer dans chaque cas ses éléments de symétrie.

On tracera (F ) dans les trois cas suivants :

λ=− a

4 ,

λ= a

4 ,

λ= a

2 .

4. Déterminer c en fonction de a et de λ pour que le cercle ayant pour équation

x2+ y2−2λx +c = 0

soit transformé en un cercle. On appelle (Γ) tout cercle jouissant de cette pro- priété.

Quel est alors le cercle transformé de (Γ) ?

Montrer que la polaire de O par rapport à tous les cercles (Γ) est une droite fixe.

En déduire que les cercles (Γ) forment un faisceau, dont on précisera la nature et dont on déterminera l’axe radical.

N. B. - Les questions 2, 3 et 4 sont indépendantes.

Nantes 2 juin 1967

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