Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 4, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la liste complète des nombres entiers, l'équation du second degré, les deux conditions.
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[ Nice juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Si a et b sont deux quelconques des chiffres de 0 à 9 (inclus), on considère le nombre entier N qui s’écrit de la manière suivante, à l’aide de 6 chiffres, dans le système habituel de numération (à base 10) :

N = ababab.

L’ensemble, E, des nombres N comprend 100 éléments (par exemple N = 232323, ou bien N = 080808).

1. Montrer que tous les nombres N appartenant à E admettent plusieurs divi- seurs communs et, en particulier, qu’ils sont divisibles par 37.

2. Indiquer la liste complète des nombres entiers qui sont des diviseurs com- muns aux 100 éléments de E.

EXERCICE 2

Par rapport au repère orthonormé Ox, Oy , on définit deux points symétriques par rapport àO : le point A, de coordonnées (a ; b), et le point B, de coordonnées (−a ; −b), tels que l’on ait ab 6= 0. Quel est l’ensemble des points M tels que les bissectrices de l’angle AMB soient parallèles aux axes de coordonnées ?

EXERCICE 3

On donne une équation du second degré admettant, par hypothèse, deux racines réelles et distinctes :

x2− sx +p = 0.

Les deux racines sont désignées par α et β.

Partie A

Dans cette question, ondésigneparP la fonctionqui fait correspondre à tout nombre réel x le nombre ax +b, où a et b sont deux nombres réels donnés. À chaque couple (a ; b) correspond donc une fonction P . On représente par P (x) l’image de x par la fonction P , c’est-à-dire que l’on pose P (x)= ax +b.

1. Montrer qu’il existe toujours une fonction P et une seule telle que l’on ait

P (α)=A et P (β)= B,

où A et B sont deux nombres fixés arbitrairement.

On calculera les valeurs correspondantes de a et b à l’aide de α,β, A et B.

2. À chaque entier naturel n (n > 0) on associe ainsi la fonction Pn , fonction P particulière, définie par les deux conditions

Pn(/al pha)=αn et Pn(β)=βn .

On forme une autre fonction P , notée Qn , définie par

Qn = Pn+1−αPn .

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

Calculer Qn(α) et Qn(β). En déduire que l’on a

(1) Qn(x)=βn(x α).

Montrer que l’on a les relations

Qn =βQn−1 (n > 1)

et (2) Pn+1− sPn +pPn−1 = 0.

Partie B

On désigne par un la dérivée (constante) de chaque fonction Pn .

1. Établir la relation

(3) un = βn αn

βα .

2. Déduire, d’autre part, des égalités (1) et (2) entre binômes, les égalités numé- riques suivantes :

pour n > 0, et (4) un+1−αun =βn

et (4′) un+1−βun =αn

et, pour n > 1,

(5) un+1− sun +pun−1 = 0.

Prouver, en conséquence, que les deux nombres α et β sont racines de toute équation de la forme

xn = un x pun−1 (n > 1).

3. Si n et m sont deux entiers naturels quelconques, on demande de vérifier la relation

un+m = unαm +umβn .

[Il suffit d’utiliser les expressions analogues à (3).]

Établir finalement la formule suivante [qui généralise la formule (5)] :

(6) un+m = s ·un um p. (un um−1+um un−1) .

Partie C

Application à la résolution approchée d’une équation.

1. Expliquer la possibilité de calculer les termes successifs de la suite (un ) en utilisant systématiquement la relation (5) à partir deU0 = 0, u1 = 1.

2. On suppose, pour fixer les idées, |α| < |β|. Montrer, d’après (3), que la suite (xn ) dont le n-ième terme est

xn = un+1

un (n > 1)

admet une limite égale à β.

Nice 2 juin 1967

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

3. Montrer, en outre, d’après (4) et (4’), que les rapports successifs xn β xn α

forment

une progression géométrique de raison α

β .

4. On donne, par exemple, l’équation

x2−6x −1= 0,

dont les racines sont

α= 3− p 10< 0 et β= 3+

p 10> 0.

Calculer les termes de la suite (un ) correspondante pour n 6 5, puis ceux de la suite (xn) pour

16 n 6 4.

En utilisant l’égalité x2−β x2−α

= α

β ·

x1−β x1−α

, montrer que β est compris entre x1 et

x2. Montrer, plus généralement, que le nombre β est encadré par deux termes consécutifs quelconques de la suite (xn ).

Nice 3 juin 1967

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