Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 6, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 6, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La variable x, les composantes du vecteur vitesse, le « produit » de M.
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[ Paris juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires et

mathématiques et technique

EXERCICE 1

La variable x décrivant l’intervalle [0 ; π], étudier la variation de la fonction f définie par

f (x)= cosx +2cos2x

et construire son graphique dans un repère orthonormé (unité : 2 cm). Déterminer, à l’aide d’une table, l’abscisse, en radians, du point où ce graphique rencontre l’axe x′Ox.

EXERCICE 2

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy , la position d’un point mobile M , à l’instant de date t , est définie par les relations

x = 1−3t2 et y = 3t t3.

On appelle P le point où la tangente en M à la trajectoire de M rencontre la droite (D) perpendiculaire à x′Ox au point M0 de coordonnées (+1 ; 0). Trouver, à l’instant de date t , les composantes du vecteur vitesse du point M et celles du vecteur vitesse du point P . Comparer les longueurs de ces deux vecteurs.

EXERCICE 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy . La notation M(x ; y) dé- signe le point M d’abscisse x et d’ordonnée y . On utilisera les points E (+1 ; 0) et E′(−1 ; 0).

1. Étant donné un point M du plan, on appelle M1 son transformé dans la symé- trie orthogonale d’axe y ′Oy . Former la relation entre x et y qui équivaut à la

nullité du produit scalaire −−→

ME · −−−→

ME′ .

Montrer que l’ensemble des points M qui satisfont à cette condition est l’hy- perbole équilatère (H) de sommets E et E′.

2. Étant donné deux points M(x ; y) et M ′(x′ ; y ′) de (H), distincts ou non, on définit le point S(X ; Y ) par

{

X = xx′+ y y ′, Y = x y ′+ y x′.

On dit que S est le « produit » de M par M ′ et l’on pose

S = M M ′.

On établira alors les propriétés suivantes :

a. S appartient à (H) ;

b. on a M M ′ = M ′⋆M ;

c. étant donné un troisième point quelconque, M ′′ (

x′′ ; y ′ )

, de (H), on a (

M M ′ )

M ′′ = M ⋆ (

M ′⋆M ′′ )

.

Puis on calculera M⋆ E et l’on montrera que, pour tout point M(x ; y) de (H), il existe un point M de (H), que l’on précisera, tel que M M = E. [En résumé le « produit » noté ⋆munit (H) d’une structure de groupe commutatif.]

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

3. Étant donné deux points distincts, M et M ′, de (H), on pose S = M M ′.

Vérifier que S est le point de (H) tel que les cordes ES et M M ′ soient parallèles.

Que devient ce résultat quand M ′ tend vers M ?

Trouver la propriété de la corde M M ′ qui équivaut à S = E′.

Donner une propriété équivalente faisant intervenir le produit scalaire −−→

ME · −−−→

ME′ .

4. a. Soit AB et CD deux cordes rectangulaires de (H). On pose A B = P et C D =Q .

Que peut-on dire des vecteurs −−→

PE et −−→

QE ?

Déduire de ceci que le « produit » AB C D est égal à E′.

Déduire alors du 2 que les cordes AC et BD sont rectangulaires, ainsi que les cordes AD et BC .

b. Soit AB et AC deux cordes rectangulaires de (H).

Calculer le « produit » AAB C .

Que peut-on dire de la tangente en A à (H) ?

Montrer que le cercle de diamètre BC recoupe (H) au point A′ symé- trique de A par rapport à O.

c. On fixe un point A de (H). On considère deux cordes, AB et AC , de (H), qui varient en restant rectangulaires.

Que peut-on dire de la droite BC ?

Paris 2 juin 1967

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