Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 7, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

Travaux pratiques d'algèbre - mathématiques élémentaires 7, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Travaux pratiques d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coordonnées du point d’intersection de la droite, les deux fonctions, l’allure dumouvement.
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[ Poitiers juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Dansun repère orthonormé, ondonne la droite (d) de vecteur directeur −→

V (−1 ; +3 ; +1) passant par le point A(+1 ; +2 ; −3) et le plan P d’équation x −3y + z −1= 0. Calculer les coordonnées du point d’intersection de la droite (d) et du plan P.

EXERCICE 2

Montrer qu’on peut appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction

y = √

4− x2

entre les extrémités de l’intervalle de définition. Reconnaitre son graphique et donner une interprétation géométrique du résultat précédent.

EXERCICE 3

1. Étudier et représenter les deux fonctions

z1 = x +1−e x

et z2 =−x −1−e x (axes orthonormés).

Faire deux figures différentes pour leurs graphiques respectifs.

2. λ étant un nombre réel donné, soit une fonction de la variable x définie par

= (x)=λ(x +1)−e x

et Γλ son graphique dans un repère orthonormé x ′Ox, y ′OO y .

Montrer que, quand x tend vers −∞, Γλ admet une asymptote, qui passe par un point fixe, A, quand λ varie.

Montrer que Γλ passe également par un point fixe, B, quand λ varie.

3. Quel est l’ensemble, E1, des valeurs de λ pour lesquelles admet un maxi- mum? Soit le point correspondant de Γλ. Déterminer et construire l’en- semble (γ) des points quand λ varie.

Quelle est, en fonction de λ, l’équation de la tangente à (γ) au point ?

En déduire les coordonnées du point , intersection de cette tangente avec y ′Oy .

4. Le paramètre t ∈ [1 ; +∞[ représente le temps et l’on considère lemouvement, dans le repère orthonormé x′Ox, y ′Oy , d’unmobile dont la position à l’instant t est le point G(x ; y) défini par

x = Log t et y = 1− t +Log t .

Si t ∈ [1 ; +∞[ déterminer la trajectoire dumobile.

Quel est l’hodographe relatif à O ? Étudier l’allure dumouvement.

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