Travaux pratiques de géométrie 2, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Travaux pratiques de géométrie 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plus grand diviseur commun de x et y, l'espace vectoriel sur R.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Rouen juin 1976 \

EXERCICE 1

k étant un entier relatif, on pose :

x = 2k −1 y = 9k +4

Montrer que tout diviseur commun à x et à y divise 17. En déduire, suivant les valeurs de k, le plus grand diviseur commun de x et y .

EXERCICE 2

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes le système

{

2iz1− z2 = 1−6i z1+2iz2 = i

2. Dans un plan affine euclidien orienté identifié au plan complexe, déterminer

les rotations de mesure + π

2 et −

π

2 transformant le point m1 d’affixe z1 en le

point m2 d’affixe z2.

PROBLÈME

On rappelle que l’ensemble A des applications de R dans R, muni de l’addition de deux fonctions et de la multiplication d’une fonction par un réel, est un espace vec- toriel sur R. Soit D l’ensemble des applications f ∈ A admettant, pour tout entier naturel non nul n, une dérivée d’ordre n notée f (n) (ou f ′ pour n = 1, f ′′ pour n = 2, . . .).

Partie A

1. a. Montrer que D est un espace vectoriel sur R.

b. On considère l’ensemble E des applications de A définies par :

fa, b(x)= ae 2x

+be−2x avec (a ; b) ∈R2

Établir que E est un espace vectoriel de base (

f1, 0 ; f0, 1 )

tel que :

fa, b E ,∀x ∈R, (

f ′′a, b −4 fa, b )

(x)= 0

2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, l’application φn dansA qui à fa, b E associe f

(n) a, b est un endomorphisme de E ; en donner la matrice dans

la base (

f1, 0 ; f0, 1 )

.

En déduire que :

a. Pour n pair, φn est une homothétie vectorielle dont on précisera le rap- port.

b. pour n impair, φn est la composée d’une homothétie vectorielle et d’une symétrie vectorielle qu’on précisera.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. a. Montrer que P , ensemble des fonctions paires de E , et J , ensemble des fonctions impaires de E , sont deux droites vectorielles de E de base res- pective f1, 1 et f1, −1 telles que :

E = P J .

(P et J supplémentaires dans E ).

b. Étudier les variations des fonctions f1, 1 et f1, −1.

Tracer leurs courbes représentatives dans un plan affine rapporté à un repère orthonormé.

Vérifier que f1, −1 est une bijection de R sur R ; définir sa bijection réci- proque.

Partie B

On pose, pour f et g de D :

( f g )(x)= ∫x

0 f (t)g (x t)dt .

1. a. Établir que :

∀( f , g , h) ∈D3, ( f + g )⋆h = ( f h)+ (g h)

α ∈R, ∀( f ; g )∈D2, (α f )⋆ g =α( f g )

b. A étant l’élément de D défini par :

A(x)= 2x2−1

calculer (

f1, 0⋆ A )

(x) et (

f0, 1⋆ A )

(x).

(On pourra intégrer par parties).

2. Déduire du B 1. que l’application

φ : f ∈D 7−→ f A ∈A

est linéaire et que l’imageφ(E ) deE parφ est un espace vectoriel de dimension 2 dont on précisera une base.

Rouen 2 juin 1976

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